24.4.3 切线长定理 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
课时2 切线长定理
1.掌握切线长定理及其应用.（重点）
2.学会与切线长定理有关的计算和证明问题. （难点）
学习目标
新课导入
情境导入
新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．
新课讲解
知识点1 切线长定理
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之
间的线段的长.
P
B
C
O
切线长和切线的区别：
切线是直线，切线长是切线上一部分线段的长度
切线是：
直线PB和PC
切线长是：
线段PB和PC的长度
新课讲解
O.
P
A
B
切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
B
P
O
A
C
E
D
（1）图中所有的垂直关系：
（2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角：
（3）图中所有的相等的线段：
（4）图中所有的全等三角形:
（5）图中所有的等腰三角形:
新课讲解
PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC
PA=PB，AC =BC，OA =OB.
△AOP ≌ △BOP，
△AOC ≌ △BOC，
△ACP ≌ △BCP.
△ABP △AOB
新课讲解
例
典例分析
1 已知：如图,四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H. 求证： AB + CD = DA + BC.
证明：∵ AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，
E，F，G，H是切点，
∴AE = AH，BE = BF,CG = CF，DG = DH.
∴AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，
即 AB + CD = DA + BC.
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
2 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为
A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.
求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.
新课讲解
分析：(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB，
而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝
∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；
(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也可
用同位角相等两直线平行来证．
例
新课讲解
解：(1)∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴由切线长定理知∠APO＝∠BPO＝ ∠APB，PA＝PB，
∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°.
又∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB.
∴∠ABP＋∠ABC＝90°.
∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB，
即∠APB＝2∠ABC.
(2)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，
即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.
新课讲解
练一练
1
2
如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　　)
A．4　　　B．8　　　C．4　　　D．8
如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是 切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
B
C
新课讲解
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是AB 上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则△PDE的周长为____，∠DOE的度数为____．
⌒
60°
6
3
课堂小结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
当堂小练
1. 如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，连接OP，AB.下列结论不一定正确的是(　　)
A．PA＝PB B．OP垂直平分AB
C．∠OPA＝∠OPB D．PA＝AB
2.如下列说法正确的是(　　)　
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
D
C
当堂小练
3. 如图,过☉O外一点P作圆的切线PA,PB,F是劣弧AB上任意一点,过点F作☉O的切线分别交PA,PB于点D,E,如果PA=10,∠P=42°.
求:(1)△PED的周长; (2)∠DOE的度数.
解:(1)∵DA,DF分别切☉O于点A,F,
∴DA=DF. 同理EF=EB,PB=PA=10.
∴△PED的周长为PD+PE+DE
=PD+PE+DF+EF=PD+PE+DA+EB
=(PD+DA)+(PE+EB)=PA+PB=20.
当堂小练
(2)∵DA,DF分别切☉O于点A,F,∴∠DAO=∠DFO=90°.
在Rt△AOD与Rt△FOD中,
∵AO=FO,OD=OD, ∴Rt△AOD≌Rt△FOD,
∴∠AOD=∠FOD = ∠AOF,
同理∠EOF=∠BOE= ∠BOF,
∴∠DOE=∠FOD+∠EOF= ∠AOF+ ∠BOF
= (∠AOF+∠BOF)= ∠AOB.又∠PAO=∠PBO=90°,
∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=180°-∠P=138°,
∴∠DOE= ∠AOB=69°.
D
拓展与延伸
1.已知在⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.
(1)如图（1），若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；
(2)如图（2），过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点 D，若BD＝MA，求∠AMB的大小．
拓展与延伸
解：(1)∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，
∴MA＝MB，∠OAM＝90°，
∴∠MAB＝∠MBA.
又∵∠OAB＝25°，
∴∠MAB＝90°－∠OAB
＝90°－25°＝65°.
∴∠AMB＝180°－2∠MAB
＝180°－2×65°＝50°.
(2)如图 （2），过点B作BH⊥AM于点H，
∵直径AC⊥BD，MA是⊙O的切线，
∴BE＝ BD，四边形BHAE是矩形，
∴HA＝BE＝ BD.
又∵BD＝MA，MA＝MB，
∴MH＝ MB.
在Rt△MBH中，∵MH＝ MB，
∴∠MBH＝30°，∴∠AMB＝60°.
拓展与延伸