24.5 三角形的内切圆 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
课时1 三角形的内切圆
1.了解三角形内切圆的作法、
2.理解三角形的内心与性质.（重点）
3.应用三角形内心的性质证明或解决有关问题. （难点）
学习目标
新课导入
情境导入
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
最大的圆与三角形三边都相切
若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？
新课导入
新课讲解
知识点1 三角形内切圆的定义和性质
问题一 如何画一个圆，使其与△ABC的三边都相切呢？
作法：
1. 作∠ABC，∠ACB的平分线BE，
CF，设它们交于点O.
2. 过点O作OD⊥BC于点D.
3. 以点O为圆心、OD为半径作☉O.
则☉O即为所作.
O
C
A
B
F
E
D
合作探究
新课讲解
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
这个三角形叫做圆的外切三角形.
内切圆的圆心叫做三角形的内心，
C
O
A
B
F
E
D
☉O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
新课讲解
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
垂直平分线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.OD=OE=OF
2.AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
●O
A
B
C
C
O
A
B
F
E
D
新课讲解
例
典例分析
1 如图,在 △ABC 中，∠B=43°，∠C =61°，点I是△ABC
的内心，求∠BIC的度数.
解：连接IB，IC.
因为点I是△ABC 的内心，所以IB，
IC 分别是∠B、∠C 的平分线.
在△IBC中，有
∠BIC = 180°－(∠IBC+ ∠ICB)
= 180°－ (∠B+ ∠C) = 180°－ (43°+61°)=128°
A
B
C
I
新课讲解
2 如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径r.
例
分析：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，
利用S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC
求解．还可以发现四边形OECD为正
方形，则可利用切线长定理，用含r的
代数式表示 AB的长，再求解．
解：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，
则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥BC，OE⊥AC，
OF⊥AB.
在Rt△ABC中，AB＝
∵S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC，
∴
∴r＝
新课讲解
新课讲解
练一练
1
2
如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，那么点O是△DEF 的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心(三条高的交点)
如图,在△ABC中,内切圆I与边BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若∠A=70°,则∠EDF=　　°.
A
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课堂小结
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
有关概念
内心概念及性质
应用
1.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（　 ）
A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
2.直角三角形的两直角边BC=5 cm,AC=12 cm 则其内切圆的半径为______,外接圆的半径为______。
2 cm
6.5 cm
当堂小练
A
3.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
当堂小练
D
拓展与延伸
1.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上. ①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径＝4，则半圆的直径AB ＝ ．
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