24.7.1 弧长与扇形面积 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 24.7.1 弧长与扇形面积 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 18:06:45 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
第24章 圆
24.7 弧长与扇形面积
课时1 弧长与扇形面积
1.经历弧长和扇形面积公式的探求过程.（重点）
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. （难点）
学习目标
新课导入
情境导入
如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
新课讲解
知识点1 弧长公式
弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.在半径为R的圆中， 360 的圆心角所对的弧长就是____________.
圆周长
（1）1 的圆心角所对的弧长 C1 是：
（2）60 的圆心角所对的弧长C1是：
（3）n 的圆心角所对的弧长 C1是：
新课讲解
弧长公式:
注意:
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．
n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
新课讲解
例
典例分析
1 一滑轮装置如图，滑轮的半径R =10 cm，当重物上升15.7 cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动， π取 3.14)
解：设半径绕轴心O按逆时针方向旋转n°，则
解方程，得n ≈90.
答：滑轮按逆时针方向旋转的角度约为90°.
·
O
A
新课讲解
例
2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法. 如图，点 S 和点 A 分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里≈158.5 m). 当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离
直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，
由此估算出了地球的周长，你能
进行计算吗？
O
α
A
S
解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°.
设地球的周长为C，则
答：地球的周长约为39625km.
=250000 (希腊里)
≈39625 (km).
∴
O
α
A
S
新课讲解
新课讲解
练一练
1
2
120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( )
A．3 B．4 C．9 D．18
AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则 的长为( )
π B. π
C. π D. π
C
C
新课讲解
知识点2 扇形面积公式
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
新课讲解
扇形是圆周的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.在半径为R的圆中， 360 的圆心角所对的扇形的面积就是____________.
圆面积
（1）1 的圆心角所对的扇形面积 S1是：
（3）n 的圆心角所对的弧长S1是：
（2）60 的圆心角所对的弧长S1是：
扇形面积公式:
注意：
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式也揭示弧长和扇形面积之间的关系
新课讲解
新课讲解
例
典例分析
1 如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上的一点，∠ADB＝30°.
(1) 求∠AOC的度数；
(2) 若弦BC＝6，求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE， .
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠BOA＝60°.
(2)∵BC＝6，∴CE＝ BC＝3.
在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，
设OE＝x，则OC＝2x，CE＝ x＝3，解得x＝ .
∴OE＝ ，OC＝2 .
∵ ，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴S阴影＝S扇形BOC－S△OBC
＝ ×π×(2 )2－ ×6× ＝4π－3 .
新课讲解
新课讲解
练一练
1
2
如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中
阴影部分的面积为( )
A．π－4 B. π－1 C．π－2 D. π－2
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°,
CD＝2 ，则阴影部分的面积为( )
A．2π B．π C. D.
C
D
课堂小结
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
当堂小练
1.如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，
连接AB，则图中阴影部分的面积是 ( )
A．π－2 B．π－4
C．4π－2 D．4π－4
2.如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，
AB⊥CD于E，∠A=30°，则弧BC的
长为_____(结果保留π)．
A
当堂小练
3. 如图,点A,B,C在☉O上,AB为☉O的直径,且AB=4,AC=2.
(1)求∠ABC的度数;(2)求AC的长度
⌒
解:(1)∵AB为☉O的直径,∴∠C=90°.
∵AB=4,AC=2,∴sin∠B= ,
∴∠ABC=30°.
(2)连接OC,
∵∠B=30°,∴∠AOC=60°,
∴AC的长度=
⌒
4. 如图,正方形ABCD的边长为4,以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E.求阴影部分的面积(结果保留π).
解:如图,连接OE,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CBD=45°.
∵正方形ABCD的边长为4,
∴OB=OE=2,∴∠BOE=90°,
∴S阴影=S梯形CDEO-S扇形COE=
当堂小练
拓展与延伸
1.如图，在⊙O中，半径OA＝6 cm，C是OB的中点，∠AOB＝
120°，求阴影部分的面积．
分析：要求阴影部分的面积，
由于图形不规则，可
转化为两个规则图形
的面积之差，
即S阴影＝S扇形AOB－S△OAC .
拓展与延伸
解:如图，过点C作CD⊥AO，交AO的延长线于点D.
∵OA＝OB＝6 cm，C为OB的中点，∴OC＝3 cm.
∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°，∠OCD＝30°.
∴在Rt△CDO中，OD＝ OC＝ cm，
CD＝ (cm)．
∴S△AOC＝ ＝(cm2)．
又∵S扇形AOB＝ ＝12π(cm2)，
∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOC＝ ＝(cm2).
第24章 圆
24.7 弧长与扇形面积
课时1 弧长与扇形面积
1.经历弧长和扇形面积公式的探求过程.（重点）
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. （难点）
学习目标
新课导入
情境导入
如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
新课讲解
知识点1 弧长公式
弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.在半径为R的圆中， 360 的圆心角所对的弧长就是____________.
圆周长
（1）1 的圆心角所对的弧长 C1 是：
（2）60 的圆心角所对的弧长C1是：
（3）n 的圆心角所对的弧长 C1是：
新课讲解
弧长公式:
注意:
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．
n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
新课讲解
例
典例分析
1 一滑轮装置如图，滑轮的半径R =10 cm，当重物上升15.7 cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动， π取 3.14)
解：设半径绕轴心O按逆时针方向旋转n°，则
解方程，得n ≈90.
答：滑轮按逆时针方向旋转的角度约为90°.
·
O
A
新课讲解
例
2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法. 如图，点 S 和点 A 分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里≈158.5 m). 当太阳光线在塞伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离
直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，
由此估算出了地球的周长，你能
进行计算吗？
O
α
A
S
解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°.
设地球的周长为C，则
答：地球的周长约为39625km.
=250000 (希腊里)
≈39625 (km).
∴
O
α
A
S
新课讲解
新课讲解
练一练
1
2
120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( )
A．3 B．4 C．9 D．18
AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则 的长为( )
π B. π
C. π D. π
C
C
新课讲解
知识点2 扇形面积公式
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
新课讲解
扇形是圆周的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.在半径为R的圆中， 360 的圆心角所对的扇形的面积就是____________.
圆面积
（1）1 的圆心角所对的扇形面积 S1是：
（3）n 的圆心角所对的弧长S1是：
（2）60 的圆心角所对的弧长S1是：
扇形面积公式:
注意：
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式也揭示弧长和扇形面积之间的关系
新课讲解
新课讲解
例
典例分析
1 如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上的一点，∠ADB＝30°.
(1) 求∠AOC的度数；
(2) 若弦BC＝6，求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE， .
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠BOA＝60°.
(2)∵BC＝6，∴CE＝ BC＝3.
在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，
设OE＝x，则OC＝2x，CE＝ x＝3，解得x＝ .
∴OE＝ ，OC＝2 .
∵ ，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，
∴S阴影＝S扇形BOC－S△OBC
＝ ×π×(2 )2－ ×6× ＝4π－3 .
新课讲解
新课讲解
练一练
1
2
如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中
阴影部分的面积为( )
A．π－4 B. π－1 C．π－2 D. π－2
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°,
CD＝2 ，则阴影部分的面积为( )
A．2π B．π C. D.
C
D
课堂小结
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
当堂小练
1.如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，
连接AB，则图中阴影部分的面积是 ( )
A．π－2 B．π－4
C．4π－2 D．4π－4
2.如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，
AB⊥CD于E，∠A=30°，则弧BC的
长为_____(结果保留π)．
A
当堂小练
3. 如图,点A,B,C在☉O上,AB为☉O的直径,且AB=4,AC=2.
(1)求∠ABC的度数;(2)求AC的长度
⌒
解:(1)∵AB为☉O的直径,∴∠C=90°.
∵AB=4,AC=2,∴sin∠B= ,
∴∠ABC=30°.
(2)连接OC,
∵∠B=30°,∴∠AOC=60°,
∴AC的长度=
⌒
4. 如图,正方形ABCD的边长为4,以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E.求阴影部分的面积(结果保留π).
解:如图,连接OE,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CBD=45°.
∵正方形ABCD的边长为4,
∴OB=OE=2,∴∠BOE=90°,
∴S阴影=S梯形CDEO-S扇形COE=
当堂小练
拓展与延伸
1.如图，在⊙O中，半径OA＝6 cm，C是OB的中点，∠AOB＝
120°，求阴影部分的面积．
分析：要求阴影部分的面积，
由于图形不规则，可
转化为两个规则图形
的面积之差，
即S阴影＝S扇形AOB－S△OAC .
拓展与延伸
解:如图，过点C作CD⊥AO，交AO的延长线于点D.
∵OA＝OB＝6 cm，C为OB的中点，∴OC＝3 cm.
∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°，∠OCD＝30°.
∴在Rt△CDO中，OD＝ OC＝ cm，
CD＝ (cm)．
∴S△AOC＝ ＝(cm2)．
又∵S扇形AOB＝ ＝12π(cm2)，
∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOC＝ ＝(cm2).