苏教版六上第5单元：分数混合运算及应用
重点1：分数四则混合运算（含简算）
1、分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法，后算加减法；有括号的先算 括号里面的，后算括号外面的。
2、分数四则混合运算的运算律：
加法的交换律：a×b=b×a
加法的结合律：(a×b)×c = a ×(b×c)
乘法的交换律：a×b= b×a
乘法的结合律：(a×b)×c= a×(b×c)
乘法的分配律：(a ±b)×c =a×c+ b×c
3、乘法分配律中注意常用的技巧有：（1）化乘为除（2）凑因数1（3）常见百分数、小数化分数（4）带分数化假分数
4、数字化加式和减式（加减±几，观察分母与整数差值）乘法分配律的逆定律，分数乘整数的转换方法，先判断分数里的分子与整数，谁与分数里的分母的倍数更接近，就转化谁。
5、裂项相减法
这个方法适用多个于分子相同、分母是两个差相同自然数乘积形式，可以总结为：=×（-）
6、分数乘除混合简便运算统一化除为乘
1、（2021 龙岗区模拟）一个数的是，这个数的是（ ）
A． B． C．
【解答】解：÷×
＝×
＝
答：这个数的是。故选：A。
2、（2020秋 陵城区期末）60的相当于80的（ ）
A． B． C．
【解答】解：60×÷80
＝48÷80
＝
答：60的相当于80的。故选：B。
3、（2020秋 济南期末）在计算（+□）×时，若算成+□×，这样得数比原来多了（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：+□×﹣（+□）×
＝+□×﹣（×+□×）
＝+□×﹣×﹣□×）
＝﹣×
＝×（1﹣）
＝×
＝
答：这样得数比原来多了。故选：C。
4、（2020秋 河口县期末）甲数的与乙数的相等，如果乙数是120，那么甲数是 。
【解答】解：120×÷
＝40
＝64
答：甲数是64。故答案为：64。
5、（2020秋 正阳县期末）一个数的是12，这个数的倒数是 ，这个数的是 。
【解答】解：12÷＝16
1÷16＝
16×＝2
答：这个数的倒数是，这个数的是2。故答案为：，2。
6、（2021 江苏模拟）能简便则简便。
（28+×）× [﹣（﹣）]×
×67 ÷（﹣）
【解答】解：（1）（28+×）×
＝（28+）×
＝28×+×
＝7+
＝7
（2）[﹣（﹣）]×
＝[﹣]×
＝×
＝
（3）×67
＝×（66+1）
＝×66+×1
＝67+
＝68
（4）÷（﹣）
＝÷
＝
7、（2021 连云港模拟）能简算的要简算。
（1） （2）1.24+5+3.76
（3）（51×68×78）÷（17×34×13） （4）
【解答】解：（1）
＝+÷
＝+
＝
（2）
＝
＝5+29
＝34
（3）（51×68×78）÷（17×34×13）
＝（17×34×13）×（3×2×6）÷（17×34×13）
＝3×2×6
＝36
（4）
＝
＝6﹣（﹣+﹣+……+﹣）
＝6﹣（﹣）
＝6﹣
＝5
1、比80的少8的数是（ ）
A．13 B．16 C．7 D．23
【解答】解：80×﹣8，
＝15﹣8，
＝7；
故选：C．
2、甲数是10的，乙数的是6，丙数是6个，则（ ）
A．甲数＞乙数＞丙数 B．乙数＞丙数＞甲数
C．甲数＞丙数＞乙数 D．乙数＞甲数＞丙数
【解答】解：甲数：10×＝6；
乙数：6÷＝10；
丙数：×6＝4；
10＞6＞4
即：乙数＞甲数＞丙数．故选：D．
3、甲、乙两数相差20，如果将甲乙两数都减少，这时两数的差是
【解答】解：令甲数＝30，
那么此时乙数是30﹣20＝10；
减少后的甲数：
30﹣30×＝27
减少后的乙数：10﹣10×＝9
它们的差：27﹣9＝18；
答：这时两数的差是18．故答案为：18．
4、（2021春 东川区期中）计算，能简算的要简算。
（15﹣14×）××
【解答】解：①
＝
＝
②
＝（）×
＝
＝
③（15）×
＝（15﹣8）×
＝
＝
④87×
＝（86+1）×
＝
＝
＝3
5、（2021 山西模拟）能简算的要简算。
（1）×÷× （2）÷+÷ （3）×2014 （4）17×19×（﹣）
【解答】解：（1）×÷×
＝××2×
＝
（2）÷+÷
＝×4+×
＝
＝2
（3）×2014
＝×（2013+1）
＝×2013+1×
＝10
（4）17×19×（﹣）
＝17×19×﹣×17×19
＝19﹣17
＝2
重点2：分数乘除混合基本应用类型
一、量与率对应
在分数乘除混合应用中，“量”对应的常见指的是：比较量、相差量、标准量（单位“1”的量）；“率”对应的是：比较率、相差率、标准率“1”
量——多加少减，
率——多：÷（1+几分之几）
少：÷（1-几分之几）
1、甲占（是）乙的几分之几
几分之几=甲÷乙； 甲=乙×几分之几； 乙=甲÷几分之几；
2、甲占（是）总量的几分之几，求乙？ 乙=总量-甲×几分之几
3、甲比乙多（增加、上升、提高）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷乙；
甲=乙×（1+几分之几）； 乙=甲÷（1+几分之几）
乙比甲少（减少、下降、降低）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷甲；
甲=乙÷（1-几分之几）； 乙=甲×（1-几分之几）
二、统一单位“1”
这类问题涉及到题目中有多个单位“1”，解决这类问题需要我们首先能准确区别单位“1”，同时能根据题目中已知条件将不同单位“1”条件转化为同一个单位“1”，这样能达到方便解题的功能，这类问题统一单位“1”以不变的量为原则。
三、与比结合：按比例分配
这类应用中学会理解比与分数的联系，能灵活将比和分数互相转化，运用分数乘除量率关系和按比例分配结合一起
1、一个数的是24，这个数的是 ．
【解答】解：24＝32
32×＝16
答：这个数的是 16．
故答案为：16．
2、一根绳子长15m，剪去它的后，再剪去m，还剩 m．
【解答】解：15﹣15×﹣
＝15﹣5﹣
＝10﹣
＝9（米）
答：还剩下9米．故答案为：9．
3、比50的少3的数是 ，20千克增加它的是 千克．
【解答】解：（1）50×﹣3
＝30﹣3
＝27
答：比50的少3的数是27．
（2）20×（1+）
＝20×
＝26（千克）
答：20千克增加它的是26千克．
故答案为：27、26．
4、六(1)班有42人，六(2)班有40人，六(3)班的人数相当于六(1)班和六(2)班总人数的 ．六(3)班有多少人？
【答案】 解： (人)
5、火车从上海开往天津，已经行了 ，剩下的每小时行106千米，5小时到达天津，上海到天津的铁路长多少千米？
【答案】 解：106×5÷(1-)
=106×5÷
=530÷
=1325（千米）
答：上海到天津1325千米。
6、一项建筑工程，有三个队都想承包．
甲队说：“我在保证工程质量的前提下，240天一定完成任务，而且工钱优惠．”
乙队说：“我的质量只有比甲队好，绝不比他差，而且工钱也相同．但是，我的工期只比他的 多5天．”
丙队说：“别的都和他们相同，就是工期不同，我保证比他们两队工期之和的 少30天．”哪个队工期最短？
【答案】 解：乙队工期:240 × 5/6+5=205天
甲队工期：（240+205） × 3/5-30=333天。所以乙对工期最短。
7、水果店新进一批苹果，第一天卖出了全部的 ，第二天卖出了余下的 ，第三天比第一天少卖了 ，这时还剩下350千克。水果店共运进了多少千克苹果？
【答案】 解： (千克)。
8、小红看一本书，已看的页数与剩下的页数的比是2：3，如果再看56页，正好看完全书的 ．这本书一共有多少页？
【答案】 解：56÷（ ﹣ ），
=56÷（ ﹣ ），
=56÷ ，
=56× ，
=160（页）；
答：这本书一共有160页．
1、一个数的是32，它的是 ．
【解答】解：32÷×
＝160×
＝．
答：它的是．故答案为：．
2、 千克增加后是50千克．比30千克少是 千克．
【解答】解：（1）50
＝
＝40（千克）
答：40千克增加后是50千克．
（2）30﹣30×
＝30﹣6
＝24（千克）
答：比30千克少是24千克．
故答案为：40、24．
3、小强读了一本书，第一天读了全书的 ，第二天又读了余下的 ，这时还剩80页没有读，这本书共有多少页？
【答案】 解法1:
答：这本书共有200页。
解法2:
答：这本书共有200页。
解法3:
设这本书共有x页，
，
，
。
答：这本书共有200页。
4、上海到天津的铁路长1325千米，火车从上海开往天津，已经行了 。剩下的每小时行106千米，几小时到达天津？
【答案】 解：1325×(1-)÷106=1325×÷106=530÷106=5（小时）答：5小时到达天津。
5、实验小学六（1）班女生与男生人数比是2：3．后来转来4名女生后，这时女生人数是男生的 ，六（1）班原有女生多少人？
【答案】 解：原有男生人数：
4÷（ ﹣ ），
=4÷ ，
=24（人）；
原有女生人数：
24× =16（人）；
答：六（1）班原有女生16人．
难点1：抓不变量
分数应用题中有许多数量前后发生变化的题型，一个数量的变化，往往引起另一个数量的变化，但总存在着不变量。解 题时要善于抓住不变量并作为单位“1”进行处理，问题就会迎刃而解。不变量的三种类型：
① 和不变，即各分量的和始终不变；
② 部分量不变，即某一个分量始终不变；
③ 差不变，即各分量的差始终不变。
1、朝阳小学六年某班原有36名同学，其中女生占 ，新学期转入几名女生，这时女生占班级人数的 ，新学期转入几名女生？
【答案】 解：男生 (人)，现在全班共(人) ，转来女生38－36=2(人)。
2、有一袋糖果，其中奶糖的块数占 ，如果再放入16块水果糖以后，奶糖的块数就只占 ．这袋糖果中有奶糖多少块？
【答案】 1÷9/20=20/9
1÷1/4=4 16÷（4-20/9）=9块
1、学校合唱队员原来的女生人数占总人数的 ，后来又来了2名女生，这时女生人数占总人数的 ．合唱队有男生多少人？
【答案】 解：设原来合唱团有x人， x+2=（x+2） ；（人）答：合唱队有男生24人.
2、某小学六（2）班男女生人数比是9：8，开学后转来了10名女生，这时男生比女生人数少 ，六（2）班原有多少人？
【答案】 解：男生有：
10÷（ ﹣ ）
=10÷ ，
=10× ，
=36（人），
女生原有：36÷9×8
=4×8，
=32（人），
六（2）班原有：36+32=68（人），
答：六（2）班原有68人．
难点2：工程问题
①常见的关系式：工作总量=工作效率×工作时间 工作时间=总量÷工作效率
工作效率=工作总量÷工作时间
②分数工程应用题中的工作总量不具体，而是用单位“1”来表示，工作效率则表示为工作时间的倒数
③分数工程问题经常会涉及到合作效率，一般工程量的合作效率为独做效率之和，但是水管问题的合作效率取决于进水和放水的效率差
1、有一项工程，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作60天完成，甲、乙、丙独做各需多少天完成？（按甲、乙、丙的顺序填写）
【答案】 解： 。
丙： （天）。
甲： 天。
乙：天 天。
2、加工一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做8小时完成，两人合作2小时，一共加工了210个零件，这批零件共有多少个？
【答案】 解：
3、一个水池的容量是1200升，它有A、B两个进水管和一个排水管．A、B两管单独注满水池分别要9小时和10小时．现水池中存有一部分水．如果A管单独进水，而排水管同时排水，则3小时可把水池中水放空；如果A、B两管一起进水，而排水管同时排水，则5小时可把水池中的存水放空．问水池中原来存有多少升的水？
【答案】 解：1200÷10÷（ ﹣ ），
=120÷ ，
=120× ，
=900（升）；
答：水池中原来存有900升的水．
1、加工一批零件，甲单独做，完成任务要8小时，甲、乙合做3小时可以完成这批零件的 ．乙单独加工这批零件需要多少小时？
【答案】 6小时
解：7/8 ÷ 3=7/24 1 ÷ （7/24-1/8）=6小时
2、一件工作，甲单独完成需要8天，乙的工效是甲的一半．两人同时合作，几天能完成这件工作？
【答案】 解：1÷（ + ÷2）
=1÷
= （天）
答： 天能完成这件工作．
1、（2020秋 济南期末）如果甲数是甲乙两数和的，那么甲数是乙数的（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：甲设成3份，则甲乙两数总和为11份，
乙数：11﹣3＝8
甲数是乙数的：3÷8＝。
故选：D。
2、12米增加它的后，再减少米，结果是（ ）
A．12米 B．11米 C．14米
【解答】解：12×（1）
＝15﹣
＝14（米）；
故选：C．
3、比8吨多吨是 吨，比12米少是 米．21米增加它的后，再减少米是 米．
【解答】解：（1）8+＝8（吨）
答：比8吨多吨是8吨．
（2）12×（1﹣）
＝12×
＝9（米）
答：比12米少是9米．
（3）21+21×﹣
＝21+7﹣
＝28﹣
＝27（米）
答：21米增加它的后，再减少米是27米．
故答案为：8，9，27．
4、（2021 南丹县模拟）直接写出得数。
①×2＝ ②÷＝ ③+＝ ④4×（+）＝
⑤1÷12.5%＝ ⑥5÷5÷＝ ⑦32×＝ ⑧39××＝
⑨36+32＝ ⑩﹣＝ 1.25×8＝ +﹣＝
【解答】解：
①×2＝ ②÷＝2 ③+＝ ④4×（+）＝1
⑤1÷12.5%＝8 ⑥5÷5÷＝5 ⑦32×＝4 ⑧39××＝14
⑨36+32＝45 ⑩﹣＝ 1.25×8＝10 +﹣＝
5、（2020秋 襄汾县期末）能简算的要简算。
[×（﹣）]÷ 12×（++）×5 98×﹣
【解答】解：（1）[×（﹣）]÷
＝[×]÷
＝÷
＝
（2）12×（++）×5
＝12××5+12××5+12××5
＝5+4+15
＝24
（3）98×﹣
＝（99﹣1）×﹣
＝99×﹣1×﹣
＝98﹣﹣
＝98﹣（+）
＝98﹣1
＝97
6、（2020秋 平昌县期末）计算我最细心，怎样算简便就怎样算。
（）×
【解答】解：①
＝（）﹣（）
＝2﹣1
＝1
②
＝（）
＝
＝3
③
＝×（）
＝
＝
④（）×
＝（）×（1+﹣）
＝（）×
＝
＝
7、（2020春 廉江市月考）能简算的要简算。
++++++ 139×+137× 48×（+）×54
【解答】解：（1）++++++
＝++++++
＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+
＝1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+
＝1﹣+
＝+
＝
（2）139×+137×
＝（138+1）×+
＝138×+1×+
＝137++
＝137+（+）
＝137+1
＝138
（3）48×（+）×54
＝48××54+48××54
＝2016+1080
＝3096
8、某工厂有一堆煤，第一个月用去它的 ，第二个月用去余下的 ，这时还剩下120吨，这堆煤一共有多少吨？
【答案】 解： (吨)。
9、小君读一本书，先读了全书的 ，以后又读了40页，正好读完，这本书共有多少页？
【答案】 解： （页）
10、第十中学体育队原有队员120人．今年女队员增加 ，男队员减少 后，现有队员114人．现在男、女队员各有多少人？
【答案】 解： (人)，原来男队员： (人)，现在男队员： (人)，现在女队员：114－60＝54(人)．
11、工程队架设一条电话线，上半个月已架设了45千米，还剩全部工程的 ．这条电话线的全长是多少千米？
【答案】 解：45 ÷ （1-4/9）=81千米
12、大象裁判．
森林里正在举行动物运动会，小鹿和小兔正准备参加200米决赛，在预赛时，小鹿跑了第一，它跑到终点时，小兔离终点还有6米，大象裁判认为小鹿个大，在同一起点跑不合理，所以决定在决赛时把小鹿在起点向后退6米，决赛开始了，一声枪响，小鹿和小兔都飞快地向终点跑去，跑的速度和预赛时相同，你说这回它们谁跑第一呢？
【答案】 小鹿跑第一 或 小鹿
13、一批零件、甲、乙两人合作12天可以完成，他们合作若干天后，乙因事请假，乙这时只完成了总任务的 ．甲继续做，从开始到完成任务用了14天，请问乙请假几天？
【答案】 解：（ ）÷14，
= ，
= ；
- = ；
= =9（天），
14﹣9=5（天）；
答：乙请假5天．
14、六年级一班女生人数比全班人数的 少12人，女生人数与男生人数的比是2：3，六年级一班共有学生多少人？
【答案】 解：2+3=5（份）；
12÷（ ）
=12
=12×
=70（人）；
答：六年级一班共有学生70人．
15、六（1）班原来男生占总数的 ，又转来5名男生，现在男生占总数的 ，女生有多少人？
【答案】 解：则转来前，男生人数占女生人数的：
÷（1﹣ ）
= ，
= ；
转来后，男生人占女生人数的：
÷（1﹣ ）
= ，
= ；
所以女生人数有：
5÷（ ﹣ ）
=5 ，
=30（人）．
答：女生有30人．
16、汽车运输公司要运送一批货物，第一天运了总数的 ，第二天运了300吨，这时已运的与未运的吨数比是3：2，这批货物有多少吨？
【答案】 解：300÷（ ﹣ ），
=300÷（ ﹣ ），
=300÷ ，
=857 （吨）．
答：这批货物有857 吨．
17、某校六年级有甲、乙两个班，甲班学生人数是乙班的 ．如果从乙班调3人到甲班，甲班人数是乙班的 ．甲、乙两班原来各有学生多少人？
【答案】 解： ﹣ = = ；
3 =108（人），
108× =45（人），
108﹣45=63（人）；
答：甲班原有人数45人，乙班原有人数63人．
18、小兰看一本故事书，第一天看了 ，第二天看了42页，这时已看的与未看的页数之比是2：3．这本书共有多少页？
【答案】 解： = ，
42÷（ ﹣ ），
=42÷ ，
=180（页）；
答：这本书共有180页．
19、一位数学家问一位赶着70头家畜来牧场的人：“你现在赶来的这群家畜占你所拥有的全部家畜的多少 ”牧人回答：“我赶来的家畜是全部家畜的 的 .”牧人家共有多少头家畜
【答案】 解; (头)。
20、妈妈把小龙10天的零花钱都给了他.小龙第1天拿走总数的 ，第2天拿走余下的 ，第三天拿走余下的 ……10天后，小龙还剩4元钱.妈妈给小龙多少钱？
【答案】 解：
=4×11
=44(元)
答：妈妈给小龙44元。
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课后巩固苏教版六上第5单元：分数混合运算及应用
重点1：分数四则混合运算（含简算）
1、分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法，后算加减法；有括号的先算 括号里面的，后算括号外面的。
2、分数四则混合运算的运算律：
加法的交换律：a×b=b×a
加法的结合律：(a×b)×c = a ×(b×c)
乘法的交换律：a×b= b×a
乘法的结合律：(a×b)×c= a×(b×c)
乘法的分配律：(a ±b)×c =a×c+ b×c
3、乘法分配律中注意常用的技巧有：（1）化乘为除（2）凑因数1（3）常见百分数、小数化分数（4）带分数化假分数
4、数字化加式和减式（加减±几，观察分母与整数差值）乘法分配律的逆定律，分数乘整数的转换方法，先判断分数里的分子与整数，谁与分数里的分母的倍数更接近，就转化谁。
5、裂项相减法
这个方法适用多个于分子相同、分母是两个差相同自然数乘积形式，可以总结为：=×（-）
6、分数乘除混合简便运算统一化除为乘
1、（2021 龙岗区模拟）一个数的是，这个数的是（ ）
A． B． C．
2、（2020秋 陵城区期末）60的相当于80的（ ）
A． B． C．
3、（2020秋 济南期末）在计算（+□）×时，若算成+□×，这样得数比原来多了（ ）
A． B． C． D．
4、（2020秋 河口县期末）甲数的与乙数的相等，如果乙数是120，那么甲数是 。
5、（2020秋 正阳县期末）一个数的是12，这个数的倒数是 ，这个数的是 。
6、（2021 江苏模拟）能简便则简便。
（28+×）× [﹣（﹣）]×
×67 ÷（﹣）
7、（2021 连云港模拟）能简算的要简算。
（1） （2）1.24+5+3.76
（3）（51×68×78）÷（17×34×13） （4）
1、比80的少8的数是（ ）
A．13 B．16 C．7 D．23
2、甲数是10的，乙数的是6，丙数是6个，则（ ）
A．甲数＞乙数＞丙数 B．乙数＞丙数＞甲数
C．甲数＞丙数＞乙数 D．乙数＞甲数＞丙数
3、甲、乙两数相差20，如果将甲乙两数都减少，这时两数的差是
4、（2021春 东川区期中）计算，能简算的要简算。
（15﹣14×）××
5、（2021 山西模拟）能简算的要简算。
（1）×÷× （2）÷+÷ （3）×2014 （4）17×19×（﹣）
重点2：分数乘除混合基本应用类型
一、量与率对应
在分数乘除混合应用中，“量”对应的常见指的是：比较量、相差量、标准量（单位“1”的量）；“率”对应的是：比较率、相差率、标准率“1”
量——多加少减，
率——多：÷（1+几分之几）
少：÷（1-几分之几）
1、甲占（是）乙的几分之几
几分之几=甲÷乙； 甲=乙×几分之几； 乙=甲÷几分之几；
2、甲占（是）总量的几分之几，求乙？ 乙=总量-甲×几分之几
3、甲比乙多（增加、上升、提高）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷乙；
甲=乙×（1+几分之几）； 乙=甲÷（1+几分之几）
乙比甲少（减少、下降、降低）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷甲；
甲=乙÷（1-几分之几）； 乙=甲×（1-几分之几）
二、统一单位“1”
这类问题涉及到题目中有多个单位“1”，解决这类问题需要我们首先能准确区别单位“1”，同时能根据题目中已知条件将不同单位“1”条件转化为同一个单位“1”，这样能达到方便解题的功能，这类问题统一单位“1”以不变的量为原则。
三、与比结合：按比例分配
这类应用中学会理解比与分数的联系，能灵活将比和分数互相转化，运用分数乘除量率关系和按比例分配结合一起
1、一个数的是24，这个数的是 ．
2、一根绳子长15m，剪去它的后，再剪去m，还剩 m．
3、比50的少3的数是 ，20千克增加它的是 千克．
4、六(1)班有42人，六(2)班有40人，六(3)班的人数相当于六(1)班和六(2)班总人数的 ．六(3)班有多少人？
5、火车从上海开往天津，已经行了 ，剩下的每小时行106千米，5小时到达天津，上海到天津的铁路长多少千米？
6、一项建筑工程，有三个队都想承包．
甲队说：“我在保证工程质量的前提下，240天一定完成任务，而且工钱优惠．”
乙队说：“我的质量只有比甲队好，绝不比他差，而且工钱也相同．但是，我的工期只比他的 多5天．”丙队说：“别的都和他们相同，就是工期不同，我保证比他们两队工期之和的 少30天．”哪个队工期最短？
7、水果店新进一批苹果，第一天卖出了全部的 ，第二天卖出了余下的 ，第三天比第一天少卖了 ，这时还剩下350千克。水果店共运进了多少千克苹果？
小红看一本书，已看的页数与剩下的页数的比是2：3，如果再看56页，正好看完全书的 ．这本书一共有多少页？
1、一个数的是32，它的是 ．
2、 千克增加后是50千克．比30千克少是 千克．
3、小强读了一本书，第一天读了全书的 ，第二天又读了余下的 ，这时还剩80页没有读，这本书共有多少页？
4、上海到天津的铁路长1325千米，火车从上海开往天津，已经行了 。剩下的每小时行106千米，几小时到达天津？
5、实验小学六（1）班女生与男生人数比是2：3．后来转来4名女生后，这时女生人数是男生的 ，六（1）班原有女生多少人？
难点1：抓不变量
分数应用题中有许多数量前后发生变化的题型，一个数量的变化，往往引起另一个数量的变化，但总存在着不变量。解 题时要善于抓住不变量并作为单位“1”进行处理，问题就会迎刃而解。不变量的三种类型：
① 和不变，即各分量的和始终不变；
② 部分量不变，即某一个分量始终不变；
③ 差不变，即各分量的差始终不变。
1、朝阳小学六年某班原有36名同学，其中女生占 ，新学期转入几名女生，这时女生占班级人数的 ，新学期转入几名女生？
2、有一袋糖果，其中奶糖的块数占 ，如果再放入16块水果糖以后，奶糖的块数就只占 ．这袋糖果中有奶糖多少块？
1、学校合唱队员原来的女生人数占总人数的 ，后来又来了2名女生，这时女生人数占总人数的 ．合唱队有男生多少人？
2、某小学六（2）班男女生人数比是9：8，开学后转来了10名女生，这时男生比女生人数少 ，六（2）班原有多少人？
难点2：工程问题
①常见的关系式：工作总量=工作效率×工作时间 工作时间=总量÷工作效率
工作效率=工作总量÷工作时间
②分数工程应用题中的工作总量不具体，而是用单位“1”来表示，工作效率则表示为工作时间的倒数
③分数工程问题经常会涉及到合作效率，一般工程量的合作效率为独做效率之和，但是水管问题的合作效率取决于进水和放水的效率差
1、有一项工程，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作60天完成，甲、乙、丙独做各需多少天完成？（按甲、乙、丙的顺序填写）
2、加工一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做8小时完成，两人合作2小时，一共加工了210个零件，这批零件共有多少个？
3、一个水池的容量是1200升，它有A、B两个进水管和一个排水管．A、B两管单独注满水池分别要9小时和10小时．现水池中存有一部分水．如果A管单独进水，而排水管同时排水，则3小时可把水池中水放空；如果A、B两管一起进水，而排水管同时排水，则5小时可把水池中的存水放空．问水池中原来存有多少升的水？
1、加工一批零件，甲单独做，完成任务要8小时，甲、乙合做3小时可以完成这批零件的 ．乙单独加工这批零件需要多少小时？
一件工作，甲单独完成需要8天，乙的工效是甲的一半．两人同时合作，几天能完成这件工作？
1、（2020秋 济南期末）如果甲数是甲乙两数和的，那么甲数是乙数的（ ）
A． B． C． D．
2、12米增加它的后，再减少米，结果是（ ）
A．12米 B．11米 C．14米
3、比8吨多吨是 吨，比12米少是 米．21米增加它的后，再减少米是 米．
4、（2021 南丹县模拟）直接写出得数。
①×2＝ ②÷＝ ③+＝ ④4×（+）＝
⑤1÷12.5%＝ ⑥5÷5÷＝ ⑦32×＝ ⑧39××＝
⑨36+32＝ ⑩﹣＝ 1.25×8＝ +﹣＝
5、（2020秋 襄汾县期末）能简算的要简算。
[×（﹣）]÷ 12×（++）×5 98×﹣
6、（2020秋 平昌县期末）计算我最细心，怎样算简便就怎样算。
（）×
7、（2020春 廉江市月考）能简算的要简算。
++++++ 139×+137× 48×（+）×54
8、某工厂有一堆煤，第一个月用去它的 ，第二个月用去余下的 ，这时还剩下120吨，这堆煤一共有多少吨？
9、小君读一本书，先读了全书的 ，以后又读了40页，正好读完，这本书共有多少页？
10、第十中学体育队原有队员120人．今年女队员增加 ，男队员减少 后，现有队员114人．现在男、女队员各有多少人？
11、工程队架设一条电话线，上半个月已架设了45千米，还剩全部工程的 ．这条电话线的全长是多少千米？
12、大象裁判．
森林里正在举行动物运动会，小鹿和小兔正准备参加200米决赛，在预赛时，小鹿跑了第一，它跑到终点时，小兔离终点还有6米，大象裁判认为小鹿个大，在同一起点跑不合理，所以决定在决赛时把小鹿在起点向后退6米，决赛开始了，一声枪响，小鹿和小兔都飞快地向终点跑去，跑的速度和预赛时相同，你说这回它们谁跑第一呢？
13、一批零件、甲、乙两人合作12天可以完成，他们合作若干天后，乙因事请假，乙这时只完成了总任务的 ．甲继续做，从开始到完成任务用了14天，请问乙请假几天？
14、六年级一班女生人数比全班人数的 少12人，女生人数与男生人数的比是2：3，六年级一班共有学生多少人？
15、六（1）班原来男生占总数的 ，又转来5名男生，现在男生占总数的 ，女生有多少人？
16、汽车运输公司要运送一批货物，第一天运了总数的 ，第二天运了300吨，这时已运的与未运的吨数比是3：2，这批货物有多少吨？
17、某校六年级有甲、乙两个班，甲班学生人数是乙班的 ．如果从乙班调3人到甲班，甲班人数是乙班的 ．甲、乙两班原来各有学生多少人？
18、小兰看一本故事书，第一天看了 ，第二天看了42页，这时已看的与未看的页数之比是2：3．这本书共有多少页？
19、一位数学家问一位赶着70头家畜来牧场的人：“你现在赶来的这群家畜占你所拥有的全部家畜的多少 ”牧人回答：“我赶来的家畜是全部家畜的 的 .”牧人家共有多少头家畜
20、妈妈把小龙10天的零花钱都给了他.小龙第1天拿走总数的 ，第2天拿走余下的 ，第三天拿走余下的 ……10天后，小龙还剩4元钱.妈妈给小龙多少钱？
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