2021-2022学年 沪教新版九年级上册数学 期中考试复习试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年沪教新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝x2﹣（x+4）（x+2） B．y＝2（x+1）（x﹣3）
C．y＝ax2+bx+c D．y＝
2．在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（　　）
A．8，6 B．8，2 C．，6 D．，2
3．已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
4．若2a＝3b（a≠0），则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
5．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似
C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
（1）abc＞0；（2）b＜a+c；（3）4a+2b+c＞0；（4）2c＜3b；（5）a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为　 　米．
8．如果抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是　 　．
9．抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴是　 　．
10．若函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象经过原点，最大值为16，且形状与抛物线y＝﹣4x2+2x﹣3相同，则此函数的关系式为　 　．
11．已知二次函数y＝﹣x2+2x+5，若P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是该二次函数图象上的两点，且y1＞y2，则实数n的取值范围为 　 　．
12．化简：＝　 　．
13．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的重心到其直角顶点的距离是　 　．
14．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　 　．
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解是　 　，　 　．
16．如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线分别交AB，BD，CD于点F，G，H．若GE＝5，则FH的长为　 　．
17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为 　 　．
18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°，＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）已知＝＝，求的值．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
21．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE AD；
（2）求证：∠BED＝∠ABC．
22．（10分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．
（1）求证：CE AD＝DE2；
（2）求证：．
23．（12分）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝21米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AD＝2，求tan∠E；
（3）如图2，连接AG，请在下面选择EG，DG，AG三者之间的数量关系并证明．我的选择是　 　．
①EG﹣DG＝AG；②EG﹣DG＝AG；③EG﹣DG＝AG．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．解：A、y＝x2﹣（x+4）（x+2）＝x2﹣x2﹣6x﹣8＝﹣6x﹣8，是一次函数，故本选项不合题意；
B、y＝2（x+1）（x﹣3）＝2（x2﹣2x﹣3）＝2x2﹣4x﹣6，是二次函数，故本选项符合题意；
C、y＝ax2+bx+c，不一定是二次函数，故本选项不合题意；
D、y＝的右边是分式，不是二次函数，故本选项不合题意；
故选：B．
2．解：在△ABC和△DEF中，
∵AB＝3DE，
∴＝3，
∵AC＝3DF，
∴＝3，
∴＝，
∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF，
∴＝＝3，
∵△ABC的周长为24，
∴△DEF的周长＝×24＝8，
∴＝＝32＝9
∵S△ABC＝18，
∴S△DEF＝S△ABC＝2．
故选：B．
3．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝3，函数图象开口向上，当x＝3时取得最小值﹣1，
∵当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，当x＝0时，y＝8，当x＝6时，y＝8，
∴m＝6，
故选：C．
4．解：∵2a＝3b（a≠0），
∴a＝b，
∴＝＝2；
故选：C．
5．解：A、等腰三角形不一定相似，是假命题，故A选项错误；
B、等边三角形都相似，是真命题，故B选项正确；
C、锐角三角形不一定都相似，是假命题，故C选项错误；
D、直角三角形不一定都相似，是假命题，故D选项错误．
故选：B．
6．解：（1）图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，此结论错误；
②当x＝﹣1时，由图象知y＜0，
把x＝﹣1代入解析式得：a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，
∴此结论错误；
③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x＝1，
能得到：a＜0，c＞0，﹣＝1，
所以b＝﹣2a，
所以4a+2b+c＝4a﹣4a+c＞0，
∴此结论正确；
④∵由①②知b＝﹣2a且b＞a+c，
∴2c＜3b，此结论正确；
⑤当x＝1时，y＝a+b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∵m≠1的实数，图象开口向下，对称轴为x＝1，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b），
∴此结论正确．
故选：B．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．解：设A，B两地的实际距离为xcm，则：
1：2000＝4.5：x，
解得x＝9000．
9000cm＝90m．
故答案为：90．
8．解：∵抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最低点，
∴抛物线的开口向上，
∴a＞0，
故答案为a＞0．
9．解：对称轴为直线，
∵a＝1，b＝﹣2，
∴对称轴为直线．
故答案为：直线x＝1．
10．解：∵函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，
把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0，
∵最大值为16，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k＝16，
又∵形状与抛物线y＝﹣4x2+2x﹣3相同，
∴二次项系数a＝﹣4，
把a＝﹣4，k＝16代入y＝a（x﹣h）2+k中，得h＝±2，
∴函数解析式是：y＝﹣4（x﹣2）2+16或y＝﹣4（x+2）2+16，
即y＝﹣4x2﹣16x或y＝﹣4x2+16x，
故答案为：y＝﹣4x2﹣16x或y＝﹣4x2+16x．
11．解：∵P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是函数y＝﹣x2+2x+5的图象上的两点，且y1＞y2，
∴﹣n2+2n+5＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+5，
化简整理得，4n﹣8＜0，
∴n＜2，
∴实数n的取值范围为n＜2．
故答案为：n＜2．
12．解：∵＝﹣＝+＝．
故答案为．
13．解：∵直角三角形的两条直角边长分别为3和6，
∴斜边的长度为＝3，
∴该三角形的重心到其直角顶点的距离是××3＝，
故答案为：．
14．解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
15．解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．
所以x1＝﹣1，x2＝5．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝5．
16．解：过点H作HM⊥AB，垂足为M，设FH交AE于N，连接AG，CG，如图
∵FH是AE的垂直平分线，
∴∠ANF＝90°，AN＝NE，AG＝GE，
∴∠BAE+∠AFN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝BC，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AFN＝∠AEB，
∵HM⊥AB，
∴∠AMH＝∠HMF＝90°，
∴四边形ADHM是矩形，
∴AD＝HM＝AB，
在△ABE和△HMF中，
，
∴△ABE≌△HMF（AAS），
∴FH＝AE，
∵G在AE的垂直平分线HF上，
∴GA＝GE＝5，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABG＝∠CBG＝45°，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠GAB＝∠GCB，
∴GE＝GC，
∴∠GEC＝∠GCE，
∴∠GEC＝∠GAB，
∵∠GEC+∠GEB＝180°，
∴∠GAB+∠GEB＝180°，
∴∠AGE＝360°﹣∠ABE﹣（∠BAG+∠GEB）＝360°﹣90°﹣180°＝90°，
∵GA＝GE＝5，
在Rt△AGE中，AE＝＝5，
∴FH＝AE＝5，
故答案为：5．
17．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
∵△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，
∴CA′＝CA＝3，
∵BA′≥BC﹣BA（当且仅当B、A′、C共线时取等号），
∴BA′的最小值为4﹣3＝1．
故答案为1．
18．解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），
∴＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．解：设＝＝＝k（k≠0），
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝．
20．解：（1）根据题意得，
解得，．
∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标（1，4）．
（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，
解得，x1＝0或x2＝2，
∵y＜3，
∴x＜0或x＞2．
21．证明（1）∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD：AD＝DE：CD，
∴CD2＝DE AD．
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD；
∵CD2＝DE AD，
∴BD2＝DE AD
∴BD：AD＝DE：BD；
又∵∠ADB＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED＝∠ABC．
22．证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，
∵∠AED＝∠B，
∴∠C＝∠AED，
∴△ADE∽△DEC，
∴，
∴CE AD＝DE2；
（2）∵△ADE∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴．
23．解：根据题意得∠AEB＝∠CED，
∵Rt△AEB∽Rt△CED，
∴＝，即＝，
解得：AB＝13.44．
答：教学楼的高度为13.44m．
24．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE BD+PE CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴这个二次函数有最大值．
当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n， n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2，
如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n， n﹣2），
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：t1＝，t2＝，
∴M3，M4（，）；
综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2，M3，M4（，）．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
∴BD⊥EC；
（2）解：∵AD＝2，
∴AE＝AD＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴＝，
∴AE DF＝AF DC，
设AF＝AB＝a（a＞0），则2（2﹣a）＝a2，
整理得：a2+2a﹣4＝0，
解得：a＝﹣1+或﹣1﹣（舍去），
∴AF＝﹣1+，
∴tanE＝＝；
（3）解：我的选择是：②EG﹣DG＝AG，证明如下：
在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP，如图2所示：
∵AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴PG＝AG，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG，
故答案为：②EG﹣DG＝AG．