1.2.2 同角三角函数的基本关系 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4第一章（Word含答案解析）

第一章　三角函数
1.2.2　同角三角函数的基本关系
基础过关练
题组一　利用同角三角函数的基本关系求值
1.(湖南高一月考)已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B.- C. D.
2.(辽宁高一期中)若sin α=,tan α<0,则cos α=(　　)
A.- B. C.- D.
3.若tan α=2,α∈,则cos α=(　　)
A. B.- C.- D.
4.(河南西华一中高一下期末)已知α是第三象限角,且sin α=-,则3cos α+4tan α=(　　)
A.- B. C.- D.
5.(江西高一月考)若A是三角形ABC的内角,且tan A=-,则sin A+cos A=　　　　.
题组二　弦、切互化求值
6.(安徽淮北一中高一下期末)若3sin α+cos α=0,则的值为(　　)
A. B. C. D.-2
7.(江西高一期中)若=,则tan α=　　　　.
8.(福建莆田一中高一下期中)已知角α的终边经过点P(m,-2m)(m≠0),则2+sin α·cos α-cos2α的值为　　　　.
题组三　公式1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2的应用
9.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α=(　　)
A.- B.- C.-或- D.或
10.(广东佛山一中高一下期中)A为△ABC的一个内角,若sin A+cos A=,则这个三角形为(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
11.(广西南宁三中高一下月考)化简=　　　　　　　.
题组四　三角函数式的化简求值及证明
12.(河南林州一中高一月考)若sin θcos θ=,则=(　　)
A.-2 B.2 C.±2 D.
13.(甘肃会宁一中高一期中)化简+=　　　 <α<2π.
14.(浙江镇海中学高一期中)已知tan α=2,求下列各式的值.
(1);
(2)sin αcos α+2sin2α.
15.已知sin α=,求的值.
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)若sin α=,cos α=,则m的值为(　　)
A.0 B.8 C.0或8 D.32.(★★☆)化简的结果是(　　)
A.cos B.sin C.-cos D.-sin
3.(宁夏银川长庆高级中学高一下期末,★★☆)若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α=(　　)
A.- B. C. D.-
4.(河北冀州中学高一上期中,★★☆)已知2tan α·sin α=3,-<α<0,则sin α等于(　　)
A. B.- C. D.-
5.(山东济南外国语学校高一月考,★★☆)若sin θ·cos θ=,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.sin θ= B.sin θ=-
C.sin θ+cos θ=1 D.sin θ-cos θ=0
6.(广西南宁二中高一上期末,★★☆)下列结论中正确的是(　　)
A.若角α的终边过点P(3k,4k),则sin α=
B.若α是第二象限角,则为第二象限或第四象限角
C.若cos θ+sin θ=,0<θ<π,则cos θ-sin θ=±
D.对任意x∈(0,1),(x-sin x)tan x>0恒成立
7.(浙江衢州五校高一期末联考,★★☆)如图,点A、B在圆O上,且点A位于第一象限,圆O与x轴的正半轴的交点是C,点B的坐标为,∠AOC=α,若|AB|=1, 则sin α的值为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
8.(云南玉溪民族中学高一下月考,★★☆)已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则sin θ-cos θ=　　　　.
9.(★★☆)在△ABC中,sin A=,则A=　　　.
10.(江西景德镇高一下期末,★★☆)已知sin α=-,其中sin 2α>0,则tan α=　　　　.
11.(广东揭阳一中高一下月考,★★☆)函数y=sin2x-cos x的值域为　　　　.
三、解答题
12.(★★☆)已知x∈(-π,0),且sin x+cos x=.
(1)求sin x-cos x的值;
(2)求4sin xcos x-cos2x的值.
13.(福建晋江季延中学高一下期末,★★★)已知函数y=sin2x+acos x+a-.
(1)当a=1时,求该函数的最大值;
(2)是否存在实数a,使得该函数在闭区间上的最大值为1 若存在,求出对应的a的值;若不存在,试说明理由.
答案全解全析
第一章　三角函数
1.2.2　同角三角函数的
基本关系
基础过关练
1.B　因为sin α=,所以cos2α=1-2=,
又α是第二象限角,所以cos α=-.故选B.
2.A　∵tan α=<0,且sin α=>0,∴cos α<0,
∴cos α=-=-.故选A.
3.B　∵∴cos α=±.
又α∈,∴cos α<0,∴cos α=-.故选B.
4.A　因为α是第三象限角,且sin α=-,所以cos α=-,tan α==.
所以3cos α+4tan α=-2+=-.故选A.
5.答案　-
解析　由题意得
∴sin A=,cos A=-,
∴sin A+cos A=- .
6.B　由3sin α+cos α=0可得3sin α=-cos α,故tan α==-,
则原式===.故选B.
7.答案　-3
解析　因为=,所以=,即=,解得tan α=-3.
8.答案　
解析　∵角α的终边经过点P(m,-2m)(m≠0),∴tan α==-,
则2+sin α·cos α-cos2α
=2+=2+=2-=.
9.B　因为sin α+cos α=,α∈(0,π),①
所以(sin α+cos α)2=,
即1+2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=-<0,所以α为钝角,
所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,
又(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
所以sin α-cos α=,②
①②联立,解得sin α=,cos α=-,
所以tan α==-.
10.B　∵sin A+cos A=,
∴(sin A+cos A)2=1+2sin Acos A=,
∴sin Acos A=-<0,
又0无法判断其是不是等腰三角形,
∴△ABC为钝角三角形.故选B.
11.答案　cos 4-sin 4
解析　原式==|sin 4-cos 4|,∵<4<,∴由三角函数线的有关知识可知cos 4>sin 4,∴=cos 4-sin 4.
12.C　2====4,∴=±2,故选C.
13.答案　-
解析　+=+
=+=+=+=,
∵<α<2π,∴sin α<0,∴原式=-.
14.解析　(1)将的分子分母同时除以cos α得,将tan α=2代入可得==,故=.
(2)sin αcos α+2sin2α=,分子分母同时除以cos2α,得,
将tan α=2代入可得原式==2.
15.解析　==
===,
当α是第一象限角时,cos α=,tan α==,所以原式==;
当α是第二象限角时,cos α=- ,tan α==-,所以原式==.
能力提升练
一、选择题
1.C　由sin2α+cos2α=1得2+2=1,解得m=0或m=8.
2.C　==cos ,
∵<<π,∴cos <0,∴cos =-cos ,即=-cos ,故选C.
3.D　因为点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,所以角α的终边在第四象限,
因为cos α=,所以sin α=-=-,所以tan α==-,故选D.
4.B　∵2tan α·sin α=2· ·sin α=3,∴2sin2α=3cos α,∴2(1-cos2α)-3cos α=0,即(2cos α-1)(cos α+2)=0,
∵-15.D　∵sin θ·cos θ=,∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θ·cos θ=1-1=0,∴sin θ-cos θ=0,故选D.
6.D　对于A,当k<0时,sin α=-,故A错误;对于B,取α=480°,它是第二象限角,=240°为第三象限角,故B错误;对于C,cos θ+sin θ= (cos θ+sin θ)2=1+2sin θ·cos θ= 2sin θcos θ=-.又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,∴cos θ-sin θ<0,故C错误;对于D,∵x∈(0,1),∴x∈0,,∴tan x>x>sin x>0,∴(x-sin x)tan x>0,故D正确.
7.A　半径r=|OB|==1,
由三角函数的定义知,点A的坐标为(cos α,sin α).
∵点B的坐标为,-,|AB|=1,∴1=,
整理得-6sin α+8cos α=5,又sin2α+cos2α=1,
解得sin α=或sin α=,又点A位于第一象限,∴0<α<,∴sin α=,故选A.
二、填空题
8.答案　
解析　将sin θ+cos θ=两边分别平方得(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,则2sin θcos θ=-,
∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=.∵2sin θcos θ<0,θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0,∴sin θ-cos θ=.
9.答案　
解析　由题意知cos A>0,即A为锐角.将sin A=两边分别平方得2sin2A=3cos A.
∴2cos2A+3cos A-2=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去),∴A=.
10.答案　
解析　∵sin 2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),∴kπ<α又sin α=-,∴α为第三象限角,∴cos α=-=-.∴tan α==.
11.答案　-1,
解析　y=sin2x-cos x=1-cos2x-cos x=-+,
因为cos x∈[-1,1],所以当cos x=1时,函数取得最小值ymin=+=-1;
当cos x=-时,函数取得最大值ymax=--+2+=.所以函数的值域为-1,.
三、解答题
12.解析　(1)将sin x+cos x=两边分别平方,得1+2sin xcos x=,则2sin xcos x=-,
∵x∈(-π,0),∴sin x<0,cos x>0,∴sin x-cos x<0,又(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,∴sin x-cos x=-.
(2)由已知及(1)得解得则4sin xcos x-cos2x=4××-=-.
13.解析　(1)当a=1时,y=sin2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-cos x-2+.
由于-1≤cos x≤1,所以当cos x=时,函数取得最大值,最大值为.
(2)存在.y=-cos2x+acos x+a-=-cos x-2++-,∵x∈0,,∴0≤cos x≤1.
若a≥2,则当cos x=1时,y有最大值a-,令a-=1,解得a=<2,不合题意,舍去;
若0若a≤0,则当cos x=0时,y有最大值-,令- =1,解得a=,不合题意,舍去.
综上,a=.