1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4第一章（Word含答案解析）

第一章　三角函数
1.4　三角函数的图象与性质
1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
基础过关练
题组一　正、余弦(型)函数的周期性
1.(湖北高一期中)下列定义在R上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=sinx,T=
B.y=cos 4x,T=
C.y=cos x,T=2π
D.y=sin,T=6π
2.函数y=cos(x∈R)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是　　　　.
3.(安徽高一月考)已知函数f(x)=2sinx,则f(1)+f(2)+…+f(2 020)=　　　　.
题组二　正、余弦(型)函数的定义域、值域
4.(上海金山中学高一月考)函数y=2sin x的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则b-a的值不可能是(　　)
A. B. C. D.π
5.(辽宁大连八中高一期中)已知函数y=a-b·cos(a,b∈R,b>0)的最大值为3,最小值为-1.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈时,求函数g(x)=4asin的值域.
题组三　正、余弦(型)函数的奇偶性与对称性
6.(安徽淮南二中高一上期末)已知函数f(x)=sin,则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点对称
D.fx-是奇函数
7.(福建莆田一中高一下期中)设f(x)=sinx+θ,若f是偶函数,则f= (　　)
A. B. C. D.
8.(福建永安、德化、漳平高一上联考)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且x∈时,f(x)=cos x,则f =(　　)
A. B. C.- D.-
题组四　正、余弦(型)函数的单调性
9.若函数y=sin x和y=cos x在区间D上都是增函数,则区间D可以是(　　)
A. B. C. D.
10.(安徽高一期末)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,且存在唯一的x0∈[0,π],使得f(x0)=1,则实数ω的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
11.(广东中山一中高一月考)求函数y=2·sin的单调递增区间.
能力提升练
一、选择题
1.(★★☆)下列关系式中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.sin 11°B.sin 168°C.cos 80°D.sin 168°2.(山东济南外国语学校高一月考,★★☆)函数y=-cos的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
3.(山东烟台栖霞一中高一下期末,★★☆)若函数f(x)=sin,x∈,则函数f(x)的最大值与最小值的和是(　　)
A. B. C. D.
4.(河北冀州中学高一上期中,★★☆)同时具有性质:①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在上是增函数的一个函数是(　　)
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=sin
5.(浙江金华十校高一上期末,★★☆)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),则f(x)的奇偶性(　　)
A.与ω有关,且与φ有关 B.与ω有关,但与φ无关
C.与ω无关,且与φ无关 D.与ω无关,但与φ有关
6.(河南平顶山高一下期末,★★☆)已知函数f(x)=sin(2x+φ).若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
7.(吉林高一期末,★★☆)已知函数f(x)=-cos4x-,则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
D.f(x)的图象关于点对称
二、填空题
8.(福建福州高一下期末,★★☆)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+3(其中a、b、α、β为非零实数),若f(2 001)=5,则f(2 018)的值是　　　　.
9.(广东中山一中高一月考,★★☆)函数y=cos2x-4sin x的值域是　　　　.
10.(江苏苏州五中高一月考,★★☆)方程1-2sin2x+2cos x-m=0有解,则实数m的取值范围是　　　　.
11.(上海复旦附中高一期中,★★☆)已知函数f(x)=2sin(ω>0),且是其单调区间,则ω的取值范围是　　　　.
12.(江苏盐城高一上期末,★★★)若函数f(x)=(ω>1)在区间上单调递减,则实数ω的取值范围是　　　　.
三、解答题
13.(河南高一月考,★★☆)已知函数f(x)=2sin.
(1)当x∈时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求出函数f(x)图象的对称中心和对称轴方程;
(3)若x∈,求f(x)的取值范围.
答案全解全析
第一章　三角函数
1.4　三角函数的图象与性质
1.4.2　正弦函数、余弦
函数的性质
基础过关练
1.A　y=sinx(x∈R)的周期T==;
y=cos 4x(x∈R)的周期T==;
y=cos x(x∈R)的周期T==2π;
y=sin(x∈R)的周期T==6π.故选A.
2.答案　13
解析　∵函数y=cosx+(x∈R)的最小正周期不大于2,∴T=≤2,即|k|≥4π,则正整数k的最小值为13.
3.答案　
解析　函数f(x)=2sinx的最小正周期T=6,易知f(1)+f(2)+…+f(6)=0,故f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=.
4.C　∵函数y=2sin x的定义域为[a,b],值域为[-2,1],
∴x∈[a,b]时,-1≤sin x≤,
∵y=2sin x为周期函数,且最小正周期为2π,∴不妨在一个周期内研究,取-,.
当a=-,b=时,区间长度b-a最小,为;
当a=-,b=时,区间长度b-a最大,为,所以≤b-a≤,
故b-a一定不可能为,故选C.
5.解析　(1)由余弦函数的性质可知-1≤cos≤1,
又b>0,所以-b≤bcos≤b,
所以a-b≤a-bcos≤a+b,
因为函数y=a-bcos(a,b∈R,b>0)的最大值为3,最小值为-1,
所以解得
(2)由(1)可得g(x)=4sin,
因为x∈,
所以2x-∈,
由正弦函数的性质可得-=sin≤sin≤sin=1,
所以-2≤4sin≤4,
所以函数g(x)=4sin的值域为[-2,4].
6.C　函数f(x)=sin的最小正周期为4π,A错误;f(x)既不是奇函数也不是偶函数,B错误;因为f=0,所以f(x)的图象关于点,0对称,C正确;fx-=sin=-cos x,是偶函数,D错误,故选C.
7.B　因为f(x)=sinx+θ|θ|<,所以fx+=sinx++θ,
因为fx+是偶函数,所以有+θ=kπ+,k∈Z,即θ=kπ+,k∈Z,
又|θ|<,所以θ=,
所以f-=sin-+=sin=,故选B.
8.C　由题意得f-=f-=-f=-cos =-.故选C.
9.D　x∈时,y=cos x是减函数,A错误;
x∈时,y=sin x和y=cos x都是减函数,B错误;
x∈时,y=sin x是减函数,C错误;
x∈时,y=sin x和y=cos x都是增函数,D正确.故选D.
10.A　由函数f(x)在区间上单调递增,可得 ,且∈[0,π],解得≤ω≤,故选A.
11.解析　y=2sin=-2sin,
当2x-∈+2kπ,+2kπ(k∈Z)时,函数单调递增,
解得x∈(k∈Z),
即函数y=2sin的单调递增区间为(k∈Z).
能力提升练
一、选择题
1.C　sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 80°=cos(90°-10°)=sin 10°.因为正弦函数y=sin x(0°2.D　要求函数y=-cos的单调递增区间,只需求函数y=cos的单调递减区间,
令2kπ≤-≤2kπ+π,k∈Z,
解得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z,
∴原函数的单调递增区间为,k∈Z,故选D.
3.D　∵0≤x≤,∴0≤ ≤,∴0≤sin ≤,∴0≤sin ≤,即0≤f(x)≤,∴f(x)的最大值为,最小值为0,最大值与最小值的和为.故选D.
4.B　最小正周期是π,可得ω=2,排除选项A;
图象关于直线x=对称,则当x=时,y取得最值,排除选项D;
令t=2x+,当x∈-,,即t∈[0,π]时,y=cos t,t∈[0,π]是减函数,排除C.
故选B.
5.D　当φ=kπ,k∈Z时,函数f(x)=cos(ωx+φ)=±cos ωx,为偶函数;当φ=+kπ,k∈Z时,函数f(x)=cos(ωx+φ)=±sin ωx,为奇函数,所以f(x)的奇偶性与ω无关,但与 φ有关.故选D.
6.B　f(x)≤对x∈R恒成立,则f是函数的最大值或最小值,
即2×+φ=kπ+,k∈Z,
则φ=kπ+,k∈Z,
又f>f(π),所以sin(π+φ)>sin(2π+φ),即-sin φ>sin φ,即sin φ<0.
令k=-1,此时φ=-,满足条件sin φ<0.
令2x-∈2kπ-,2kπ+,k∈Z,解得x∈kπ+,kπ+,k∈Z.
则f(x)的单调递增区间是kπ+,kπ+(k∈Z).故选B.
7.D　对于函数f(x)=-cos,它的最小正周期为=,故A错误;
当x=时,f(x)=0,故f(x)的图象关于点对称,故D正确,B错误;
令2kπ≤4x-≤2kπ+π,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,故函数的单调递增区间为,k∈Z,故C错误,故选D.
二、填空题
8.答案　1
解析　∵f(2 001)=asin(2 001π+α)+bcos(2 001π+β)+3=asin(π+α)+bcos(π+β)+3=-asin α-bcos β+3=5,∴-asin α-bcos β=2,故 f(2 018)=asin(2 018π+α)+bcos(2 018π+β)+3=asin α+bcos β+3=-2+3=1.
9.答案　[-4,4]
解析　y=cos2x-4sin x=1-sin2x-4sin x=-(sin x+2)2+5,
∵sin x∈[-1,1],
∴当sin x=-1时,ymax=-1+5=4;
当sin x=1时,ymin=-9+5=-4,
∴函数y=cos2x-4sin x的值域为[-4,4].
10.答案　-,3
解析　方程1-2sin2x+2cos x-m=0有解,即m=2cos2x+2cos x-1有解,即m=2cos x+2-有解,∵cos x∈[-1,1],∴当cos x=-时,2cos x+2-取得最小值,最小值为-;当cos x=1时,2cos x+2-取得最大值,最大值为3,故m∈-,3.
11.答案　(0,1]
解析　当x∈时,ωx+∈,
∴<ω+≤,∴0<ω≤1,即ω∈(0,1].
12.答案　,
解析　由题意可得函数f(x)的最小正周期T=≥,又ω>1,∴1<ω≤2.
∵函数y=|sin x|的最小正周期为π,单调递减区间为kπ+,kπ+π,k∈Z,又ω>1>0,∴令kπ+≤ωx+≤kπ+π,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z,
∴函数f(x)=(ω>1)的单调递减区间为+,+,k∈Z.
又函数f(x)在区间π,上单调递减,
∴π, +,+,k∈Z,∴(k∈Z),
解得k+≤ω≤k+,k∈Z.
当k=0时,≤ω≤,不合题意;
当k=1时,≤ω≤,符合题意.
∴实数ω的取值范围是,.
三、解答题
13.解析　(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∵x∈,
∴f(x)的单调递增区间为.
(2)令2x-=kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),
∴函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
令2x-=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z),
∴函数f(x)图象的对称轴为x=+(k∈Z).
(3)∵x∈,
∴2x-∈,
∴sin∈,
∴f(x)的取值范围是[-,2].