1.4全称量词与存在量词 题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第一章（Word含答案解析）

1.4　全称量词与存在量词
1.4.1　全称量词
1.4.2　存在量词
基础过关练
题组一　对全称命题、特称命题的理解
1.下列命题中全称命题的个数是(　　)
①任意一个自然数都是正整数;
②所有的素数都是奇数;
③有的等差数列也是等比数列;
④三角形的内角和是180°.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列命题不是“ x∈R,x2>3”的另一种表述的是(　　)
A.有一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,使得x2>3成立
C.任选一个x∈R,使得x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
3.“a∥α,则a平行于平面α内的任一直线”是(　　)
A.全称命题 B.特称命题
C.不是命题 D.真命题
4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为　　　　　　　　　　　　　　.
5.用全称量词或存在量词表示下列语句:
①不等式x2+x+1>0恒成立;
②当x为有理数时,x2+x+1也是有理数;
③方程3x-2y=10有整数解.
题组二　全称命题、特称命题的真假判定
6.下列命题中,既是真命题又是全称命题的是(　　)
A.对任意实数a,b,都有a2+b2-2a-2b+2<0
B.梯形的对角线不相等
C. x0∈R,=x0
D.对数函数在定义域上是单调函数
7.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列命题中为假命题的是(　　)
A.存在x∈R, f(x)≤f(x0)
B.存在x∈R, f(x)≥f(x0)
C.任意x∈R, f(x)≤f(x0)
D.任意x∈R, f(x)≥f(x0)
8.下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈R,cos x<2
B. x∈Z,log2(3x-1)<0
C. x>0,3x>3
D. x∈Q,方程x-2=0有解
9.命题p: x0∈R,+2x0+5<0是　　　　(填“全称命题”或“特称命题”),它是　　　　命题(填“真”或“假”).
10.下列命题:
①存在x<0,使|x|>x;
②对于一切x<0,都有|x|>x;
③已知an=2n,bn=3n,对于任意n∈N*,都有an≠bn;
④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},对于任意n∈N*,都有A∩B= .
其中,所有真命题的序号为　　　　.
题组三　根据命题的真假求参数的取值范围
11.若 x∈R,x+=m,则实数m的取值范围是　　　　　　.
12.已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“ x>0, f(x)<0”为真,则m的取值范围是　　　　.
13.(湖北武汉部分市级示范性高中高三联考)已知命题p: x∈R,ax2+ax+1≥0,命题q:|2a-1|≤3.
(1)若命题p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若p∨q是真命题,p∧q是假命题,求实数a的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(福建莆田高二期中,★★☆)下列命题中的假命题是(　　)
A. x∈R,2x-1>0 B. x∈N*,(x-1)2>0
C. x0∈R,ln x0<1 D. x0∈R,tan x0=2
2.(★★☆)下列命题中的假命题是(　　)
A. x0∈R,3-8x0+9=0
B. x0∈(0,1),lg x0>ln x0
C. x∈(0,+∞),>
D. x∈R,x2-3x+4>0
3.(2018宁夏育才中学高二期末,★★☆)若命题“ x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,则k的取值范围是(　　)
A.-4≤k≤0 B.-4≤k<0
C.-44.(★★★)若命题“存在x∈R,使x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.a>3或a<-1 B.a≥3或a≤-1
C.-1二、填空题
5.(广东潮州高三第二次模拟,★★☆)已知a∈R,命题p: x∈[1,2],x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命题p∧q为真命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
6.(★★☆)已知函数f(x)=x2+m,g(x)=,若对任意x1∈[-1,3],存在x2∈[0,2],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是　　　　.
7.(广东东莞高二期末,★★☆)已知命题“ x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0”为真命题,则a的取值范围为　　　　.
三、解答题
8.(内蒙古赤峰高二期末,★★☆)设命题p:对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,命题q:存在x∈[-1,1],使得不等式x2-x+m-1≤0成立.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围.
9.(★★★)已知a>且a≠1,命题p:函数f(x)=log(2a-1)x在其定义域上是减函数;命题q:函数g(x)=的定义域为R,如果p∨q为真,试求a的取值范围.
10.(★★★)设集合A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1},若命题“ t0∈R,A∩B≠ ”是真命题,求实数a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.D　命题①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“所有的三角形的内角和都是180°”,故有三个全称命题,命题③是特称命题.
2.C　选项C是全称命题,故错误.
3.A　该命题是全称命题,且是假命题.
4.答案　 x0<0,使得(1+x0)(1-9x0)>0
5.解析　①对任意实数x,不等式x2+x+1>0恒成立.
②对任意有理数x,x2+x+1是有理数.
③存在一对整数x0,y0,使3x0-2y0=10成立.
6.D　A是全称命题,且a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故A是假命题;B中隐含量词“所有的”,是全称命题,但梯形中只有等腰梯形的对角线相等,故B是假命题;C是特称命题;D是全称命题且是真命题.
7.C　f(x)=ax2+bx+c=a+(a>0),
由题意知2ax0+b=0,∴x0=-,当x=x0时,函数f(x)取得最小值,
∴ x∈R, f(x)≥f(x0),从而A,B,D为真命题,C为假命题.
8.A　A中,由于函数y=cos x的最大值是1,所以A是真命题;B中,log2(3x-1)<0 0<3x-1<1 9.答案　特称命题;假
解析　命题p: x0∈R,+2x0+5<0是特称命题.因为+2x0+5=(x0+1)2+4>0恒成立,所以命题p为假命题.
10.答案　①②③
解析　命题①②显然为真命题;③由于an-bn=2n-3n=-n<0,所以 n∈N*,都有an11.答案　(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析　依题意得,关于x的方程x+=m有实数解,
设f(x)=x+,
由基本不等式,得当x>0时, f(x)≥2,
当x<0时, f(x)≤-2,
故f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),
故实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
12.答案　(-∞,-2)
解析　易知函数f(x)=x2+mx+1的图象过点(0,1),
若命题“ x>0, f(x)<0”为真,
则函数f(x)=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧,且与x轴有两个交点,所以Δ=m2-4>0,且->0,即m<-2,
所以m的取值范围是(-∞,-2).
13.解析　(1)命题p是真命题时,ax2+ax+1≥0在R上恒成立,
∴①当a=0时,有1≥0恒成立;
②当a≠0时,有
解得0∴a的取值范围为[0,4].
(2)∵p∨q是真命题,p∧q是假命题,
∴p、q一真一假,
当q为真时,-1≤a≤2,
故①p真q假时,有
∴2②p假q真时,有
∴-1≤a<0.
∴a的取值范围为[-1,0)∪(2,4].
能力提升练
一、选择题
1.B　 A.2x-1>0在x∈R上恒成立,是真命题;
B.当x=1时,(x-1)2=0,是假命题;
C.当x0=1时,ln x0=0<1,是真命题;
D.y=tan x在上的值域为[0,+∞),所以 x0∈R,tan x0=2是真命题.
2.A　选项A中,Δ=64-4×3×9=-44,则方程3x2-8x+9=0无实数根,故选A.
3.C　当k=0时,有-1<0恒成立;
当k≠0时,令y=kx2-kx-1,∵y<0恒成立,∴抛物线y=kx2-kx-1开口向下,且与x轴没有公共点,∴k<0,且Δ=k2+4k<0,解得-4综上所述,k的取值范围为-44.D　因为命题是假命题,所以方程x2+(a-1)x+1=0没有实数根或有两个相等实数根,
所以Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.
二、填空题
5.答案　a≤-2或a=1
解析　若命题p:“ x∈[1,2],x2-a≥0”为真命题,则1-a≥0,解得a≤1.若命题q:“ x∈R,x2+2ax+2-a=0”为真命题,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.
因为p∧q是真命题,所以a≤-2或a=1.
6.答案　
解析　因为对任意x1∈[-1,3],f(x1)∈[m,9+m],所以f(x)的最小值为m.存在x2∈[0,2],使f(x1)≥g(x2)成立,只要满足g(x)在[0,2]上的最小值小于或等于m即可,而g(x)是单调递减函数,故g(x)的最小值为g(2)==,得m≥.
7.答案　(-∞,4]
解析　令f(x)=x2-ax+4,则其图象的对称轴为直线x=,
要使 x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0恒成立,即 x∈[1,3], f(x)min≥0.
当≤1,即a≤2时, f(x)min=f(1)=12-a+4≥0,解得a≤2;
当1<<3,即2当≥3,即a≥6时, f(x)min=f(3)=32-3a+4≥0,无解.
综上可得a∈(-∞,4].
三、解答题
8.解析　对于p,∵2x-2≥m2-3m对任意x∈[0,1]恒成立,y=2x-2在[0,1]上的最小值为-2,∴m2-3m≤-2,解得1≤m≤2.
对于q,存在x∈[-1,1],使x2-x+m-1≤0成立,所以y=x2-x+m-1在[-1,1]上的最小值小于等于0,即-+m≤0,∴m≤.
(1)若p为真命题,则1≤m≤2.
(2)若p∧q为假命题,p∨q为真命题,则p,q一真一假.
若p为真命题,q为假命题,则
∴若p为假命题,q为真命题,则∴m<1.
综上,m<1或9.解析　若p为真,则0<2a-1<1,得若q为真,则x+|x-a|-2≥0对任意x∈R恒成立.
记h(x)=x+|x-a|-2,
则h(x)=
所以h(x)的最小值为a-2,即q为真时,a-2≥0,即a≥2.
由p∨q为真,得10.解析　易知A={(x,y)|(x-4)2+y2=1}表示平面直角坐标系中以M(4,0)为圆心,1为半径的圆,B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1}表示以N(t,at-2)为圆心,1为半径的圆,且其圆心N在直线ax-y-2=0上,如图.
若命题“ t0∈R,A∩B≠ ”是真命题,即两圆有公共点,则圆心M(4,0)到直线ax-y-2=0的距离不大于2,
即≤2,解得0≤a≤.
所以实数a的取值范围是0≤a≤.