2.1.1曲线与方程 题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章（Word含答案解析）

第二章　圆锥曲线与方程
2.1　曲线与方程*
2.1.1　曲线与方程
2.1.2　求曲线的方程
基础过关练
题组一　曲线与方程的概念
1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是(　　)
A.(0,0) B.(-1,3)
C.(1,1) D.(-1,1)
2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是(　　)
A.(1,1) B.(-1,-1)
C.(1,1),(-1,-1) D.(0,0)
3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为(　　)
A. B. C.或 D.或
4.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2”的　　(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
题组二　方程的曲线
5.方程4x2-y2+6x-3y=0表示的图形是(　　)
A.直线2x-y=0
B.直线2x+y+3=0
C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0
D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=0
6.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是(　　)
7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为　　　　.
题组三　求曲线的方程
8.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程是(　　)
A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4
C.y2=2x D.y2=-2x
9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程为　　　　　　　　.
10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P在直线AM上运动,且=3,求动点P的轨迹方程.
11.已知△ABC中,AB=2,AC=BC.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)求△ABC的面积的最大值.
能力提升练
一、选择题
1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy2+x2y=1所表示的曲线(　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点中心对称 D.关于直线y=x对称
2.(鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-)=0表示的曲线为(　　)
A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆
C.一条直线和半个圆 D.两条线段
3.(北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是(　　)
A.②③ B.①④ C.③ D.③④
4.(江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P满足|·|=||,则动点P的轨迹方程是(　　)
A.y2=4x B.x2=4y C.y2=-4x D.x2=-4y
5.(★★☆)方程x2+y2=1(xy<0)表示的曲线形状是(　　)
6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)
A. B.
C. D.9π
二、填空题
7.(贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足=,此时阿波罗尼斯圆的方程为　　　　　　　　.
8.(北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.
①请写出曲线W的一条对称轴方程:　　　　　;
②曲线W上的点的横坐标的取值范围是　　　　.
三、解答题
9.(贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.
10.(上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).
(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;
(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.B　点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上 f(x0,y0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C上.
2.C　由得或故选C.
3.C　将点P的坐标代入方程(x-2)2+y2=3,得(cos α-2)2+sin2α=3,解得cos α=.又0≤α<2π,所以α=或.
4.B　设M(x0,y0),由点M的坐标满足方程y=-2,得y0=-2,∴=4x0,∴点M在曲线y2=4x上.反之不成立,故选B.
5.C　∵4x2-y2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0,
∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.
6.D　对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.
7.答案　2
解析　方程表示的图形是边长为的正方形(如图所示),其面积为()2=2.
8.A　设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P的轨迹是以C为圆心,为半径的圆,因此点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.
9.答案　y=2x-2
解析　设点C(x,y),则=(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以+t(-)=(1+t,2t),所以消去t,得点C的轨迹方程为y=2x-2.
10.解析　设M(x0,y0),P(x,y),
则=(x-4,y-2),=(x0-x,y0-y),
由题意可得
所以
因为点M(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
所以2×-+3=0,即8x-4y+3=0,
所以点P的轨迹方程为8x-4y+3=0.
11.解析　(1)以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),
由AC=BC,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],
即(x-3)2+y2=8,
又在△ABC中,y≠0,
所以点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y≠0).
(2)因为AB=2,所以S△ABC=×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y2=8(y≠0),
所以0<|y|≤2,所以S△ABC≤2,即△ABC的面积的最大值为2.
能力提升练
一、选择题
1.D　设P(x0,y0)是曲线xy2+x2y=1上的任意一点,则x0+y0=1.设点P关于直线y=x的对称点为P',则P'(y0,x0),因为y0+x0=x0+y0=1,所以P'在曲线xy2+x2y=1上,故该曲线关于直线y=x对称.
2.A　由方程(3x-y+1)(y-)=0得y=(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x2+y2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),
∴方程(3x-y+1)(y-)=0表示一条线段和半个圆.
3.C　将x=-x代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y轴对称;
将x=-x,y=-y代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称;
当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;
令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.
4.A　设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以=(-1-x,2-y),=(1,0),=(1-x,-y),因为|·|=||,所以|1+x|=,
整理得y2=4x.
5.C　方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C.
6.A　设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,
得(x+3)2+y2=4[(x-2)2+y2],
化简,得3x2+3y2-22x+7=0,
即+y2=,
所以所求图形的面积S=.
二、填空题
7.答案　x2+y2-12x+4=0
解析　设M(x,y),因为=,
所以=,
整理得x2+y2-12x+4=0.
8.答案　①y=0　②[0,5]
解析　①由W的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点与也都是曲线上的点,因此直线x=也是曲线W的一条对称轴.
②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.
三、解答题
9.解析　(1)设动点M的坐标为(x,y),
则|MA|=,
|MB|=
所以=2,
化简得(x-3)2+y2=4.
因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.
(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,
圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切;
当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,
则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,
由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=-.
所以切线方程为3x+4y+1=0.
综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.
10.解析　(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y),
因为点B在曲线Γ上,所以+=1.①
因为M为线段AB的中点,
所以则
代入①式得(2x-2)2+4y2=1,
化简得(x-1)2+y2=,其中y≥0.
则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=(y≥0).
(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),
结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,
则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,
连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2+1.