2.2.1椭圆及其标准方程 题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章（Word含答案解析）

2.2　椭圆
2.2.1　椭圆及其标准方程
基础过关练
题组一　椭圆的定义及应用
1.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.平面内,若点M到定点F1(0,-1),F2(0,1)的距离之和为2,则点M的轨迹为(　　)
A.椭圆 B.直线F1F2
C.线段F1F2 D.线段F1F2的垂直平分线
3.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点F在BC上,则△ABC的周长是(　　)
A.2 B.6 C.4 D.12
4.已知椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.
5.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=　　　　.
6.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　　,∠F1PF2的大小为　　　.
题组二　椭圆的标准方程
7.已知椭圆的焦点在y轴上,椭圆上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为　　　　.
8.设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,当a=2b时,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,求椭圆的标准方程.
题组三　与椭圆有关的轨迹问题
9.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.无法确定
10.已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2:x2+(y+3)2=4,求动圆圆心M的轨迹方程.
题组四　椭圆方程中的求参问题
11.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数m的取值范围是(　　)
A.(3,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(3,+∞)∪(-∞,-2)
D.(3,+∞)∪(-6,-2)
12.若方程+=1表示椭圆,则实数m的取值范围是　　　　.
13.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点的坐标为(0,-4),则k的值为　　　　.
能力提升练
一、选择题
1.(江西南昌高二月考,★★☆)如图,已知F1,F2分别是椭 圆T:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.椭圆的一部分
2.(陕西宝鸡中学高三第一次模拟,★★☆)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且|PF1|=3,则△PF1F2的面积为(　　)
A. B. C. D.
3.(湖南长沙开福高三月考,★★☆)设椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2,P是C上一点,若|PF1|-|PF2|=a,且sin∠PF1F2=,则椭圆C的方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.(2018四川成都外国语学校期末,★★★)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M是椭圆上任一点,若·的取值范围为[-3,3],则椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+y2=1
二、填空题
5.(2018广东潮州期末,★★★)已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为直角时,点P的横坐标是　　　　　.
6.(云南师范大学附属中学高三月考,★★☆)设F1,F2分别为椭圆C:+y2=1的左、右焦点,M为C上一点,∠F1MF2=,则△F1MF2的面积为　　　　.
三、解答题
7.(湖北武汉部分学校高三质检,★★☆)设O为坐标原点,动点M在椭圆E:+=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设A(1,0),在x轴上是否存在一定点B,使|BP|=2|AP|总成立 若存在,求出B点坐标;若不存在,说明理由.
8.(2018黑龙江双鸭山期末,★★★)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=2,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且·≤,求点P的横坐标的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.D　易知a=5,因为点P到一个焦点的距离为2,所以点P到另一个焦点的距离为2×5-2=8.
2.C　由|MF1|+|MF2|=2=|F1F2|知,点M的轨迹是线段F1F2.
3.C　由椭圆方程,知a=.
由椭圆的定义,得|BF|+|BA|=|CF|+|CA|=2a=2,
所以|BC|+|BA|+|CA|=(|BF|+|CF|)+|BA|+|CA|=4,即△ABC的周长为4.
4.B　设椭圆的另一个焦点为F2,连接MF2,因为椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,所以|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=2a=10,所以|MF2|=8.
因为N是MF1的中点,O是F1F2的中点,所以|ON|=|MF2|=4.
5.答案　8
解析　因为直线AB过椭圆的焦点F1,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.
6.答案　2;120°
解析　由题意得|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,因为|PF1|=4,所以|PF2|=2.
在△PF1F2中,cos∠F1PF2==-,
所以∠F1PF2=120°.
7.答案　+x2=1
解析　由已知得2a=8,2c=2,
所以a=4,c=,a2=16,c2=15,
所以b2=a2-c2=16-15=1.
因为椭圆的焦点在y轴上,
所以椭圆的标准方程为+x2=1.
8.解析　∵a=2b,b2+c2=a2,∴c2=3b2.
又PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.
由椭圆的定义及已知得|PF1|+|PF2|=2a=4b,又|PF1|·|PF2|=2,
∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,
∴b2=1,a2=4.
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
9.A　由题意得|PF1|+|PF2|=2a(a为大于零的常数,且2a>|F1F2|),|PQ|=|PF2|,
所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.
所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.
10.解析　设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),易知两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径r1=8,r2=2,则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.故|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.又|C1C2|=6<10,所以动圆圆心M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(不包含与y轴负半轴的交点),设其方程为+=1(a>b>0,y≠-5),其焦点为C1(0,3),C2(0,-3),2a=10,即a=5,c=3,则b2=a2-c2=25-9=16.所以动圆圆心M的轨迹方程是+=1(y≠-5).
11.D　由于椭圆的焦点在x轴上,所以即
解得m>3或-612.答案　
解析　由方程+=1表示椭圆,
知解得m>且m≠1.
13.答案　
解析　易知k>0,椭圆焦点在y轴上,椭圆方程变形为+=1,所以-=16,解得k=.
能力提升练
一、选择题
1.B　延长F2Q,与F1P的延长线交于点M,连接OQ.
因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线,且PQ⊥F2M,所以|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,所以由三角形中位线定理,得|OQ|=|F1M|=(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点O与Q之间的距离为定值a,所以点Q的轨迹是以原点为圆心,半径为a的圆.
2.B　因为椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且|PF1|=3,所以|PF1|+|PF2|=2a=4,|PF2|=4-3=1,c==,
所以|F1F2|=2c=2,易得|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2,
所以△PF1F2是以|PF1|为斜边的直角三角形,
则=×|PF2|×|F1F2|=×1×2=.
3.D　由|PF1|-|PF2|=a,|PF1|+|PF2|=2a,得|PF1|=a,|PF2|=a,
在△PF1F2中,由正弦定理得=,又sin∠PF1F2=,
∴sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1=90°,
∴|F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2,
即(2c)2+=,
整理得a2=2c2.
∵|F1F2|=2c=2,∴c=,
∴a2=4,b2=a2-c2=2,
∴椭圆C的方程为+=1.
4.A　设M(x,y),F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),
所以·=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2+y2-c2,
又x2+y2的几何意义为点(0,0)与点M的距离的平方,所以x2+y2的最大值为a2,最小值为b2,所以·的取值范围是[b2-c2,a2-c2].
所以a2-c2=3,b2-c2=-3,结合b2+c2=a2,
解得a2=9,b2=3,c2=6,所以椭圆的方程为+=1.故选A.
二、填空题
5.答案　±
解析　由题意得a2=9,b2=4,所以c2=a2-b2=5,所以c=.设P(x,y),令F1的坐标为(-,0),F2的坐标为(,0),
因为∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20,
即+y2++y2=20,所以x2+y2=5.又+=1,所以y2=4,
所以x2+4=5,解得x=±.
所以点P的横坐标为±.
6.答案　1
解析　由题意可得,a=2,b=1,c==,则|F1F2|=2c=2.
如图,由题意知∠F1MF2=.在Rt△MF1F2中,由勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=12.
由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a=4,
∴|MF1|2+2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=16,∴|MF1|·|MF2|=2,
因此,△F1MF2的面积为|MF1|·|MF2|=×2=1,故答案为1.
三、解答题
7.解析　(1)设P(x,y),M(x1,y1),则N(x1,0),=(x-x1,y),=(0,y1).
∵M在椭圆E上,∴+=1(*),
由=,得即
代入(*)式,得x2+y2=4,
即点P的轨迹方程为x2+y2=4.
(2)假设存在点B(m,0)满足条件,设P(x,y),
由|BP|=2|AP|,得
=2,
即点P的轨迹方程为3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,
由(1)知点P的轨迹方程为x2+y2=4,
故解得m=4,
∴存在点B(4,0)满足条件.
8.解析　(1)∵椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=2,
∴解得
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0),∵c=,
∴令F1(-,0),F2(,0),
则=(--x,-y),=(-x,-y),
∴·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3,
又+y2=1,即y2=1-,
∴·=x2+y2-3=x2+1--3
=(3x2-8)≤,
解得-≤x≤,
∵x>0,∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,].