2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学上册3.7探索与表达规律 优生辅导测评（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学上册3.7探索与表达规律 优生辅导测评（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 258.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-02 08:29:50 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．观察下列关于x的单项式，探究其规律：
﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…
按照上述规律，则第2020个单项式是（ ）
A．6061x2020 B．﹣6061x2020 C．6058x2020 D．﹣6058x2020
2．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224 B．180 C．112 D．48
3．古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21 B．36+45＝81 C．9+16＝25 D．30+34＝64
4．已知整数a1、a2、a3、a4、……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，……，an+1＝﹣|an+n|（n为正整数）依此类推，则a2020值为（ ）
A．﹣1008 B．﹣1009 C．﹣1010 D．﹣1011
5．仔细观察，探索规律：
则22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2018＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是
8．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为 ．
9．我们可以用符号f（a）表示代数式．当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f（a）＝0.5a；如果a为奇数，f（a）＝5a+1．例如：f（20）＝10，f（5）＝26．设a1＝6，a2＝f（a1），a3＝f（a2）…；依此规律进行下去，得到一列数：a1，a2，a3，a4…（n为正整数），则2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2027﹣a2028+a2029＝ ．
10．我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如＝+，＝+，＝+，…，根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数＝+（n是不小于2的整数，且a＜b），那么b﹣a＝ ．（用含n的式子表示）
11．根据规律填代数式，
1+2＝；1+2+3＝；1+2+3+4＝；1+2+3+…+n＝ ．
12．找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为 ．
13．已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C＝ ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．请观察下列算式，找出规律并填空，，，
（1）则第10个算式是 ＝ ，
（2）第n个算式是 ＝ ，根据以上规律解答下题：
（3）+++…+．
15．观察下列算式，你发现了什么规律？
12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…
（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值；12+22+32…+82＝
（2）请用一个含n的算式表示这个规律：12+22+32…+n2＝ ．
16．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52，…
（1）请根据你发现的规律填空：6×8+1＝（ ）2；
（2）用含n的等式表示上面的规律： ；
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）
17．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
加数的个数（n） 和 （S）
1 2＝1×2
2 2+4＝6＝2×3
3 2+4+6＝12＝3×4
4 2+4+6+8＝20＝4×5
5 2+4+6+8+10＝30＝5×6
… …
（1）若n＝8时，则S的值为 ．
（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝ ．
（3）根据上题的规律计算2+4+6+8+10+…+98+100的值．
18．观察下列解题过程：
计算：1+5+52+53+…+524+525的值．
解：设S＝1+5+52+53+…+524+525，（1）
则5S＝5+52+53+…+525+526（2）
（2）﹣（1），得4S＝526﹣1
S＝
通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：
（1）1+3+32+33+…+39+310 （2）1+x+x2+x3+…+x99+x100．
19．阅读下文，寻找规律：
已知x≠1，观察下列各式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4…
（1）填空：（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）＝1﹣x8．
（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝ ．
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）＝ ．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝ ．
②1+2+22+23+24+…+22021＝ ．
20．人们经常利用图形的规律来计算一些数的和、如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17…，它们有下面的规律：
1+3＝22；
1+3+5＝32；
1+3+5+7＝42；
1+3+5+7+9＝52；…
（1）请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形；
（2）请你按照上述规律，计算第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积；
（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形
1+8＝32；
1+8+16＝52；
1+8+16+24＝72；
1+8+16+24+32＝92．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：∵一列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，
∴第n个单项式为：（﹣1）n （3n﹣2）xn，
∴第2020个单项式是（﹣1）2020 （3×2020﹣2）x2020＝6058x2020，
故选：C．
2．解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
故选：C．
3．解：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠，所以A是错误的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9＝，所以B是正确的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠，所以C是错误的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠，所以D是错误的．
故选：B．
4．解：a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，
…，
所以n是奇数时，结果等于﹣；n是偶数时，结果等于﹣；
a2020＝﹣＝﹣1010．
故选：C．
5．解：22023+22022+22021+…+2+1
＝（2﹣1）×（22023+22022+22021+…+2+1）
＝22024﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，
2024÷4＝506，
∴22024的末个位数字是6，
∴22024﹣1的个位数字是5，
故选：C．
6．解：∵a1＝3，
∴a2＝＝﹣2，
a3＝，
a4＝，
a5＝，
∴该数列每4个数为一周期循环，
∵2018÷4＝504…2，
∴a2018＝a2＝﹣2，
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，
∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故答案为﹣7.5．
8．解：观察可知：3a＝21，解得：a＝7，
∴b＝14，
∴x＝21×14+7＝301．
故答案为：301．
9．解：观察，发现规律：a1＝6，a2＝f（a1）＝3，a3＝f（a2）＝16，a4＝f（a3）＝8，a5＝f（a4）＝4，a6＝f（a5）＝2，a7＝f（a6）＝1，a8＝f（a7）＝6，…，
∴数列a1，a2，a3，a4…（n为正整数）每7个数一循环，
∴a1﹣a2+a3﹣a4+…+a13﹣a14＝0，
∵2029＝2030﹣1＝145×14﹣1，
∴2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2027﹣a2028+a2029＝a1+a2030+（a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2029﹣a2030）＝a1+a7＝6+1＝7．
故答案为：7．
10．解：根据已知得：
在＝+，有6﹣3＝22﹣1，在＝+，有12﹣4＝32﹣1，在＝+，有20﹣5＝42﹣1，…，
所以如果理想分数＝+（n是不小于2的整数，且a＜b），
则b﹣a＝n2﹣1，
故答案为：n2﹣1．
11．解：由题意知：1+2＝；1+2+3＝；1+2+3+4＝，
从而可知1+2+3+…+n＝．
故答案为：．
12．解：根据题意得出规律：14+a＝15×16，
解得：a＝226．
故答案为：226．
13．解：
；
；
；
…；
C106＝＝210．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．解：（1）由规律得：第10个算式为＝；
（2）第n个算式为＝；
（3）原式＝1+…＝1＝．
故答案为：；；；．
15．解：（1）12+22+32…+82＝＝204；
（2）12+22+32…+n2＝．
故答案为：204；．
16．解：（1）∵1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52，…
∴6×8+1＝72，
故答案为：7；
（2）根据已知中数据的变化规律得出：n（n+2）+1＝（n+1）2；
故答案为：n（n+2）+1＝（n+1）2；
（3）原式＝
＝
＝2×
＝．
17．解：设加数的个数为n时，它们的和为Sn（n为正整数），
观察，发现规律：S1＝2＝1×2，S2＝2+4＝2×3，S3＝2+4+6＝3×4，S4＝2+4+6+8＝4×5，…，
∴Sn＝2+4+6+…+2n＝n（n+1）．
（1）当n＝8时，S8＝8×9＝72．
故答案为：72．
（2）Sn＝2+4+6+…+2n＝n（n+1）．
故答案为：n（n+1）．
（3）∵2+4+6+8+10+…+98+100中有50个数，
∴S50＝2+4+6+8+10+…+98+100＝50×51＝2550．
18．解：（1）设S＝1+3+32+33+…+39+310①
则3S＝3+32+33+…+39+310+311②
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝；
（2）由于x为未知数，故需要分类讨论：
Ⅰ当x＝1时，1+x+x2+x3+…+x99+x100＝1+1+12+…+199+1100＝101；
Ⅱ当x≠1时，设S＝1+x+x2+x3+…+x99+x100①
则xS＝x+x2+x3+…+x99+x100+x101②
②﹣①得（x﹣1）S＝x101﹣1，
所以S＝．
19．解：（1）由（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
可以看出每一个等式左边的最大指数等于右边的最大指数，且左边相当于对右边的因式分解，
所以得出规律：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1．
即：（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）＝1﹣x8，空白处应填：（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）．
（2）由（1）得出的规律可得：
①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1，空白处应填：1﹣xn+1
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）＝﹣（1﹣x11）＝x11﹣1，空白处应填：x11﹣1．
（3）由（1）得出的规律可得
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝1﹣26，空白处应填1﹣26；
②由（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+22021）＝1﹣22022得
1+2+22+23+24+…+22021＝22022﹣1，空白处应填22022﹣1．
20．解：（1）1+3+5+7+9+11+13＝72．
算式表示的意义如图（1）．
（2）第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积为2n﹣1．
（3）算式表示的意义如图（2），（3）等．
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．观察下列关于x的单项式，探究其规律：
﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…
按照上述规律，则第2020个单项式是（ ）
A．6061x2020 B．﹣6061x2020 C．6058x2020 D．﹣6058x2020
2．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是（ ）
A．224 B．180 C．112 D．48
3．古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21 B．36+45＝81 C．9+16＝25 D．30+34＝64
4．已知整数a1、a2、a3、a4、……满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，……，an+1＝﹣|an+n|（n为正整数）依此类推，则a2020值为（ ）
A．﹣1008 B．﹣1009 C．﹣1010 D．﹣1011
5．仔细观察，探索规律：
则22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2018＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是
8．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为 ．
9．我们可以用符号f（a）表示代数式．当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f（a）＝0.5a；如果a为奇数，f（a）＝5a+1．例如：f（20）＝10，f（5）＝26．设a1＝6，a2＝f（a1），a3＝f（a2）…；依此规律进行下去，得到一列数：a1，a2，a3，a4…（n为正整数），则2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2027﹣a2028+a2029＝ ．
10．我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如＝+，＝+，＝+，…，根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数＝+（n是不小于2的整数，且a＜b），那么b﹣a＝ ．（用含n的式子表示）
11．根据规律填代数式，
1+2＝；1+2+3＝；1+2+3+4＝；1+2+3+…+n＝ ．
12．找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为 ．
13．已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C＝ ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．请观察下列算式，找出规律并填空，，，
（1）则第10个算式是 ＝ ，
（2）第n个算式是 ＝ ，根据以上规律解答下题：
（3）+++…+．
15．观察下列算式，你发现了什么规律？
12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…
（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值；12+22+32…+82＝
（2）请用一个含n的算式表示这个规律：12+22+32…+n2＝ ．
16．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52，…
（1）请根据你发现的规律填空：6×8+1＝（ ）2；
（2）用含n的等式表示上面的规律： ；
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）
17．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
加数的个数（n） 和 （S）
1 2＝1×2
2 2+4＝6＝2×3
3 2+4+6＝12＝3×4
4 2+4+6+8＝20＝4×5
5 2+4+6+8+10＝30＝5×6
… …
（1）若n＝8时，则S的值为 ．
（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝ ．
（3）根据上题的规律计算2+4+6+8+10+…+98+100的值．
18．观察下列解题过程：
计算：1+5+52+53+…+524+525的值．
解：设S＝1+5+52+53+…+524+525，（1）
则5S＝5+52+53+…+525+526（2）
（2）﹣（1），得4S＝526﹣1
S＝
通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：
（1）1+3+32+33+…+39+310 （2）1+x+x2+x3+…+x99+x100．
19．阅读下文，寻找规律：
已知x≠1，观察下列各式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4…
（1）填空：（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）＝1﹣x8．
（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝ ．
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）＝ ．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝ ．
②1+2+22+23+24+…+22021＝ ．
20．人们经常利用图形的规律来计算一些数的和、如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17…，它们有下面的规律：
1+3＝22；
1+3+5＝32；
1+3+5+7＝42；
1+3+5+7+9＝52；…
（1）请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形；
（2）请你按照上述规律，计算第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积；
（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形
1+8＝32；
1+8+16＝52；
1+8+16+24＝72；
1+8+16+24+32＝92．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：∵一列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，
∴第n个单项式为：（﹣1）n （3n﹣2）xn，
∴第2020个单项式是（﹣1）2020 （3×2020﹣2）x2020＝6058x2020，
故选：C．
2．解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
故选：C．
3．解：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠，所以A是错误的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9＝，所以B是正确的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠，所以C是错误的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠，所以D是错误的．
故选：B．
4．解：a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，
…，
所以n是奇数时，结果等于﹣；n是偶数时，结果等于﹣；
a2020＝﹣＝﹣1010．
故选：C．
5．解：22023+22022+22021+…+2+1
＝（2﹣1）×（22023+22022+22021+…+2+1）
＝22024﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，
2024÷4＝506，
∴22024的末个位数字是6，
∴22024﹣1的个位数字是5，
故选：C．
6．解：∵a1＝3，
∴a2＝＝﹣2，
a3＝，
a4＝，
a5＝，
∴该数列每4个数为一周期循环，
∵2018÷4＝504…2，
∴a2018＝a2＝﹣2，
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，
∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故答案为﹣7.5．
8．解：观察可知：3a＝21，解得：a＝7，
∴b＝14，
∴x＝21×14+7＝301．
故答案为：301．
9．解：观察，发现规律：a1＝6，a2＝f（a1）＝3，a3＝f（a2）＝16，a4＝f（a3）＝8，a5＝f（a4）＝4，a6＝f（a5）＝2，a7＝f（a6）＝1，a8＝f（a7）＝6，…，
∴数列a1，a2，a3，a4…（n为正整数）每7个数一循环，
∴a1﹣a2+a3﹣a4+…+a13﹣a14＝0，
∵2029＝2030﹣1＝145×14﹣1，
∴2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2027﹣a2028+a2029＝a1+a2030+（a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2029﹣a2030）＝a1+a7＝6+1＝7．
故答案为：7．
10．解：根据已知得：
在＝+，有6﹣3＝22﹣1，在＝+，有12﹣4＝32﹣1，在＝+，有20﹣5＝42﹣1，…，
所以如果理想分数＝+（n是不小于2的整数，且a＜b），
则b﹣a＝n2﹣1，
故答案为：n2﹣1．
11．解：由题意知：1+2＝；1+2+3＝；1+2+3+4＝，
从而可知1+2+3+…+n＝．
故答案为：．
12．解：根据题意得出规律：14+a＝15×16，
解得：a＝226．
故答案为：226．
13．解：
；
；
；
…；
C106＝＝210．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．解：（1）由规律得：第10个算式为＝；
（2）第n个算式为＝；
（3）原式＝1+…＝1＝．
故答案为：；；；．
15．解：（1）12+22+32…+82＝＝204；
（2）12+22+32…+n2＝．
故答案为：204；．
16．解：（1）∵1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52，…
∴6×8+1＝72，
故答案为：7；
（2）根据已知中数据的变化规律得出：n（n+2）+1＝（n+1）2；
故答案为：n（n+2）+1＝（n+1）2；
（3）原式＝
＝
＝2×
＝．
17．解：设加数的个数为n时，它们的和为Sn（n为正整数），
观察，发现规律：S1＝2＝1×2，S2＝2+4＝2×3，S3＝2+4+6＝3×4，S4＝2+4+6+8＝4×5，…，
∴Sn＝2+4+6+…+2n＝n（n+1）．
（1）当n＝8时，S8＝8×9＝72．
故答案为：72．
（2）Sn＝2+4+6+…+2n＝n（n+1）．
故答案为：n（n+1）．
（3）∵2+4+6+8+10+…+98+100中有50个数，
∴S50＝2+4+6+8+10+…+98+100＝50×51＝2550．
18．解：（1）设S＝1+3+32+33+…+39+310①
则3S＝3+32+33+…+39+310+311②
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝；
（2）由于x为未知数，故需要分类讨论：
Ⅰ当x＝1时，1+x+x2+x3+…+x99+x100＝1+1+12+…+199+1100＝101；
Ⅱ当x≠1时，设S＝1+x+x2+x3+…+x99+x100①
则xS＝x+x2+x3+…+x99+x100+x101②
②﹣①得（x﹣1）S＝x101﹣1，
所以S＝．
19．解：（1）由（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
可以看出每一个等式左边的最大指数等于右边的最大指数，且左边相当于对右边的因式分解，
所以得出规律：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1．
即：（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）＝1﹣x8，空白处应填：（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）．
（2）由（1）得出的规律可得：
①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1，空白处应填：1﹣xn+1
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）＝﹣（1﹣x11）＝x11﹣1，空白处应填：x11﹣1．
（3）由（1）得出的规律可得
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝1﹣26，空白处应填1﹣26；
②由（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+22021）＝1﹣22022得
1+2+22+23+24+…+22021＝22022﹣1，空白处应填22022﹣1．
20．解：（1）1+3+5+7+9+11+13＝72．
算式表示的意义如图（1）．
（2）第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积为2n﹣1．
（3）算式表示的意义如图（2），（3）等．