2021-2022学年人教版八年级数学上册14.2乘法公式 优生辅导训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学上册14.2乘法公式 优生辅导训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 200.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-02 10:20:30 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》优生辅导训练（附答案）
1．若（x﹣4）（5﹣x）＝﹣8，则（x﹣4）2+（5﹣x）2＝ ．
2．已知实数a满足（a﹣2020）（a﹣2021）＝3，则（a﹣2020）2+（a﹣2021）2的值是 ．
3．二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值是 ．
4．若x2+（k﹣1）xy+25y2是一个完全平方式，则k的值是 ．
5．如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是 ．
6．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n2＝ ；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，多项式A的值为多少？
（3）在第（2）问的条件下，求5A+[（3A﹣B）﹣2（A+B）]的值．
7．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝ ；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
8．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）应用公式计算：．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．
9．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1： ；方法2： ．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝34，求（x﹣2020）2的值．
10．某同学用如图所示不同颜色的正方形与长方形拼成了一个如图所示的正方形．
（1）①请用两种不同的方法求图中阴影总分的面积．
方法1： ；方法2： ．
②以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（2）根据上面的结论计算：
①已知m+n＝5，m2+n2＝11，求mn的值．
②已知（2019﹣m）（2020﹣m）＝1010，求（2020﹣m）2+（m﹣2019）2的值．
11．阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：9 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；
（3）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
12．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．
（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是 ．
A、转化思想
B、方程思想
C、数形结合思想
D、分类讨论
（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式 ．
（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
（4）请仿照上述方法写出另一个含有a、b的等式，并画出与之对应的几何图形．
13．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求（a+b）2的值；
（3）已知（5+2x）2+（2x+3）2＝60，求（5+2x）（2x+3）的值．
14．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b） ，（a﹣b） ，ab之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
15．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
16．你能求（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此我们可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝ ．
请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：
（1）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1；
（2）若x3+x2+x+1＝0，求x2020．
17．已知a＝x+2020，b＝x+2020，c＝x+2020，求代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值．
18．回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣ ＝（x﹣）2+
（2）若a+＝5，则a2+＝ ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
19．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，即t2＝81，
∴t＝±9．
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
20．先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求y2的值；
（2）试探究关于x、y的代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由
参考答案
1．解：（1）设x﹣4＝a，5﹣x＝b，则（x﹣4）（5﹣x）＝ab＝﹣8，a+b＝（x﹣4）+（5﹣x）＝1，
∴（x﹣4）2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣8）＝1+16＝17．
故答案为：17．
2．解：设a﹣2020＝x，a﹣2021＝y，
∵（a﹣2020）（a﹣2021）＝3，
∴xy＝3，
则x﹣y＝（a﹣2020）﹣（a﹣2021）＝1，
∴（a﹣2020）2+（a﹣2021）2＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×3＝7．
故答案为：7．
3．解：∵二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，
∴k﹣3＝±12，
解得：k＝15或k＝﹣9，
故答案为：15或﹣9
4．解：∵x2+（k﹣1）xy+25y2是一个完全平方式，
∴k﹣1＝±10．
∴k＝11或k＝﹣9．
故答案为：11或﹣9．
5．解：∵x2+16x+k是一个完全平方式，
∴16＝2，
解得k＝64．
故答案是：64．
6．解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2＝1，
故答案为：1；
（2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；
（3）∵x＝m＝﹣1，n＝0，
∴A＝x2+2x+n2＝﹣1，
B＝2x2+4x+3n2+3＝1，
∴5A+[（3A﹣B）﹣2（A+B）]
＝5A+3A﹣B﹣2A﹣2B
＝6A﹣3B
＝6×（﹣1）﹣3×1
＝﹣9．
7．解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：1或﹣1；
（2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；
（3）B＞A．
理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2﹣2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
∵（x+1）2≥0，2n2≥0，
∴（x+1）2+2n2+2＞0，
∴B＞A．
8．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝
＝
＝
＝；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1
＝（232﹣1）（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264．
9．解：（1）根据图形可得图2大正方形的面积表示为（a+b）2或a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由（1）题可得（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3））①由（a+b）2＝a2+b2+2ab，可得ab＝，
∴当a+b＝5，a2+b2＝11时，
ab＝＝7，
②设x﹣2019＝a，则x﹣2021＝a﹣2，x﹣2020＝a﹣1，
则a +（a﹣2）
＝a +a ﹣4a+4
＝2（a ﹣2a）+4
＝34，
可求得a ﹣2a＝15，
由整体思想得，
（x﹣2020）2＝（a﹣1）2＝a ﹣2a+1＝15+1＝16．
10．解（1）①由题意，得两种不同的方法求图中阴影总分的面积为a2+b2，（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab，
②由①题结果可得（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）①利用（1）题中②的结果（a+b）2＝a2+2ab+b2，
可得ab＝，
∴当m+n＝5，m2+n2＝11时，
mn＝＝7．
②由（1）题中②的结果（a+b）2＝a2+2ab+b2，
可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵（2019﹣m）（2020﹣m）＝1010，
∴（2020﹣m）（m﹣2019）＝﹣1010，
∵（2020﹣m）+（m﹣2019）＝1，
∴（2020﹣m）2+（m﹣1019）2
＝（2020﹣m+m﹣2019）2﹣2（2020﹣m）（m﹣2019）
＝12﹣2（﹣1010）
＝1+2020
＝2021．
11．解：（1）∵9＝52﹣42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
（2）∵（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，
∴P＝（x2+y）2﹣（x2）2
＝x4+2x2y+y2﹣x4
＝2x2y+y2；
（3）∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x2+4x+4）﹣（y2+6y+9）+k+5＝（x+2）2﹣（y+3）2+k+5，
∴当k+5＝0时，N＝（x+2）2﹣（y+3）2为“明礼崇德数”，
此时k＝﹣5，
故当k＝﹣5时，N为“明礼崇德数”．
12．解析：（1）上述的方法体现了数形结合的数学思想方法；
故答案为：C；
（2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（3）如图（答案不唯一），
（4）如图，等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（答案不唯一）；
13．解：（1）大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
大正方形的面积可以看作四个部分面积和，即a2+2ab+b2，
（2）由（1）得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∵a2+b2＝57，ab＝12，
∴（a+b）2＝57+24＝81；
（3）设m＝5+2x，n＝2x+3，则m﹣n＝2，m2+n2＝60＝（5+2x）2+（2x+3）2，
由（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn得，
22＝60﹣2mn，
∴mn＝28＝（5+2x）（2x+3），
即（5+2x）（2x+3）的值为28．
14．解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b，
故答案为：4a﹣4b；
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b） ，
大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b） ，
因此（a+b） ＝（a﹣b） +4ab，
故答案为：（a+b） ＝（a﹣b） +4ab；
（3）由（2）可知：（m+n） ＝（m﹣n） +4mn，
已知m﹣n＝4，mn＝﹣3，
所以（m+n） ＝16+4×（﹣3）＝4，
所以m+n＝±2；
故m+n的值为±2；
（4）设AC＝a，BC＝b，
因为AB＝8，S1+S2＝26，
所以a+b＝8，a +b ＝26，
因为（a+b） ＝a +b +2ab，
所以64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
所以S阴影＝ab＝．
15．解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S＝（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S＝a2+2ab+b2．
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）①∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16．
∴a2+2ab+b2＝16．
∵a2+b2＝10，
∴ab＝3．
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1．
∵（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，
∴（a﹣1）2+（a+1）2＝130．
∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝130．
∴2a2＝128．
∴a2＝64．
即（x﹣2020）2＝64．
∴x﹣2020＝±8．
16．解：由此我们可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝x100﹣1；
故答案为：x100﹣1；
（1）原式＝﹣（﹣2﹣1）×[（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1]
＝﹣[（﹣2）51﹣1]
＝；
（2）∵x≠1，
∴已知等式变形得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝0，即x4﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
则原式＝1．
17．解：∵a＝x+2020，b＝x+2021，c＝x+2022，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝1+4+1＝6．
18．解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a2﹣3a+1＝0
两边同除a得：a﹣3+＝0，
移项得：a+＝3，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
19．解：（1）设2x2+2y2＝m，则（m+3）（m﹣3）＝27，
∴m2﹣9＝27，即m2＝36，∴m＝±6，
∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）设最小数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝120，
即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝120，
设x2+3x＝y，则y2+2y﹣120＝0，
∴y1＝﹣12，y2＝10，
∵x为正整数，
∴y＝x2+3x＝10，
∴x1＝2，x2＝﹣5＜0（舍去），
∴这四个整数为2，3，4，5．
20．解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
x＝y＝﹣2．
∴y2＝（﹣2）2＝4；
（2）∵5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028
＝（4x2+9y2﹣12xy）+（x2﹣6x+9）+2019
＝（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019．
∵（2x﹣3y）2≥0，（x﹣3）2≥0，
∴（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019≥2019．
∴当2x﹣3y＝0，x﹣3＝0时，即当x＝3，y＝2时，代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028有最小值2019．
1．若（x﹣4）（5﹣x）＝﹣8，则（x﹣4）2+（5﹣x）2＝ ．
2．已知实数a满足（a﹣2020）（a﹣2021）＝3，则（a﹣2020）2+（a﹣2021）2的值是 ．
3．二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值是 ．
4．若x2+（k﹣1）xy+25y2是一个完全平方式，则k的值是 ．
5．如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是 ．
6．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n2＝ ；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，多项式A的值为多少？
（3）在第（2）问的条件下，求5A+[（3A﹣B）﹣2（A+B）]的值．
7．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝ ；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
8．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）应用公式计算：．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．
9．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1： ；方法2： ．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝34，求（x﹣2020）2的值．
10．某同学用如图所示不同颜色的正方形与长方形拼成了一个如图所示的正方形．
（1）①请用两种不同的方法求图中阴影总分的面积．
方法1： ；方法2： ．
②以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（2）根据上面的结论计算：
①已知m+n＝5，m2+n2＝11，求mn的值．
②已知（2019﹣m）（2020﹣m）＝1010，求（2020﹣m）2+（m﹣2019）2的值．
11．阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：9 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；
（3）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
12．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．
（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是 ．
A、转化思想
B、方程思想
C、数形结合思想
D、分类讨论
（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式 ．
（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
（4）请仿照上述方法写出另一个含有a、b的等式，并画出与之对应的几何图形．
13．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求（a+b）2的值；
（3）已知（5+2x）2+（2x+3）2＝60，求（5+2x）（2x+3）的值．
14．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；
（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b） ，（a﹣b） ，ab之间的等量关系；
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
15．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
16．你能求（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此我们可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝ ．
请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：
（1）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1；
（2）若x3+x2+x+1＝0，求x2020．
17．已知a＝x+2020，b＝x+2020，c＝x+2020，求代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值．
18．回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣ ＝（x﹣）2+
（2）若a+＝5，则a2+＝ ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
19．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，即t2＝81，
∴t＝±9．
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．
20．先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求y2的值；
（2）试探究关于x、y的代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由
参考答案
1．解：（1）设x﹣4＝a，5﹣x＝b，则（x﹣4）（5﹣x）＝ab＝﹣8，a+b＝（x﹣4）+（5﹣x）＝1，
∴（x﹣4）2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣8）＝1+16＝17．
故答案为：17．
2．解：设a﹣2020＝x，a﹣2021＝y，
∵（a﹣2020）（a﹣2021）＝3，
∴xy＝3，
则x﹣y＝（a﹣2020）﹣（a﹣2021）＝1，
∴（a﹣2020）2+（a﹣2021）2＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×3＝7．
故答案为：7．
3．解：∵二次三项式4x2﹣（k﹣3）x+9是完全平方式，
∴k﹣3＝±12，
解得：k＝15或k＝﹣9，
故答案为：15或﹣9
4．解：∵x2+（k﹣1）xy+25y2是一个完全平方式，
∴k﹣1＝±10．
∴k＝11或k＝﹣9．
故答案为：11或﹣9．
5．解：∵x2+16x+k是一个完全平方式，
∴16＝2，
解得k＝64．
故答案是：64．
6．解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2＝1，
故答案为：1；
（2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；
（3）∵x＝m＝﹣1，n＝0，
∴A＝x2+2x+n2＝﹣1，
B＝2x2+4x+3n2+3＝1，
∴5A+[（3A﹣B）﹣2（A+B）]
＝5A+3A﹣B﹣2A﹣2B
＝6A﹣3B
＝6×（﹣1）﹣3×1
＝﹣9．
7．解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：1或﹣1；
（2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；
（3）B＞A．
理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2﹣2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
∵（x+1）2≥0，2n2≥0，
∴（x+1）2+2n2+2＞0，
∴B＞A．
8．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝
＝
＝
＝；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1
＝（232﹣1）（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264．
9．解：（1）根据图形可得图2大正方形的面积表示为（a+b）2或a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由（1）题可得（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3））①由（a+b）2＝a2+b2+2ab，可得ab＝，
∴当a+b＝5，a2+b2＝11时，
ab＝＝7，
②设x﹣2019＝a，则x﹣2021＝a﹣2，x﹣2020＝a﹣1，
则a +（a﹣2）
＝a +a ﹣4a+4
＝2（a ﹣2a）+4
＝34，
可求得a ﹣2a＝15，
由整体思想得，
（x﹣2020）2＝（a﹣1）2＝a ﹣2a+1＝15+1＝16．
10．解（1）①由题意，得两种不同的方法求图中阴影总分的面积为a2+b2，（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab，
②由①题结果可得（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）①利用（1）题中②的结果（a+b）2＝a2+2ab+b2，
可得ab＝，
∴当m+n＝5，m2+n2＝11时，
mn＝＝7．
②由（1）题中②的结果（a+b）2＝a2+2ab+b2，
可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵（2019﹣m）（2020﹣m）＝1010，
∴（2020﹣m）（m﹣2019）＝﹣1010，
∵（2020﹣m）+（m﹣2019）＝1，
∴（2020﹣m）2+（m﹣1019）2
＝（2020﹣m+m﹣2019）2﹣2（2020﹣m）（m﹣2019）
＝12﹣2（﹣1010）
＝1+2020
＝2021．
11．解：（1）∵9＝52﹣42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
（2）∵（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，
∴P＝（x2+y）2﹣（x2）2
＝x4+2x2y+y2﹣x4
＝2x2y+y2；
（3）∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x2+4x+4）﹣（y2+6y+9）+k+5＝（x+2）2﹣（y+3）2+k+5，
∴当k+5＝0时，N＝（x+2）2﹣（y+3）2为“明礼崇德数”，
此时k＝﹣5，
故当k＝﹣5时，N为“明礼崇德数”．
12．解析：（1）上述的方法体现了数形结合的数学思想方法；
故答案为：C；
（2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（3）如图（答案不唯一），
（4）如图，等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（答案不唯一）；
13．解：（1）大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
大正方形的面积可以看作四个部分面积和，即a2+2ab+b2，
（2）由（1）得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∵a2+b2＝57，ab＝12，
∴（a+b）2＝57+24＝81；
（3）设m＝5+2x，n＝2x+3，则m﹣n＝2，m2+n2＝60＝（5+2x）2+（2x+3）2，
由（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn得，
22＝60﹣2mn，
∴mn＝28＝（5+2x）（2x+3），
即（5+2x）（2x+3）的值为28．
14．解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b，
故答案为：4a﹣4b；
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b） ，
大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b） ，
因此（a+b） ＝（a﹣b） +4ab，
故答案为：（a+b） ＝（a﹣b） +4ab；
（3）由（2）可知：（m+n） ＝（m﹣n） +4mn，
已知m﹣n＝4，mn＝﹣3，
所以（m+n） ＝16+4×（﹣3）＝4，
所以m+n＝±2；
故m+n的值为±2；
（4）设AC＝a，BC＝b，
因为AB＝8，S1+S2＝26，
所以a+b＝8，a +b ＝26，
因为（a+b） ＝a +b +2ab，
所以64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
所以S阴影＝ab＝．
15．解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S＝（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S＝a2+2ab+b2．
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）①∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16．
∴a2+2ab+b2＝16．
∵a2+b2＝10，
∴ab＝3．
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1．
∵（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，
∴（a﹣1）2+（a+1）2＝130．
∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝130．
∴2a2＝128．
∴a2＝64．
即（x﹣2020）2＝64．
∴x﹣2020＝±8．
16．解：由此我们可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝x100﹣1；
故答案为：x100﹣1；
（1）原式＝﹣（﹣2﹣1）×[（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1]
＝﹣[（﹣2）51﹣1]
＝；
（2）∵x≠1，
∴已知等式变形得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝0，即x4﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
则原式＝1．
17．解：∵a＝x+2020，b＝x+2021，c＝x+2022，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝1+4+1＝6．
18．解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a2﹣3a+1＝0
两边同除a得：a﹣3+＝0，
移项得：a+＝3，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
19．解：（1）设2x2+2y2＝m，则（m+3）（m﹣3）＝27，
∴m2﹣9＝27，即m2＝36，∴m＝±6，
∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）设最小数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝120，
即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝120，
设x2+3x＝y，则y2+2y﹣120＝0，
∴y1＝﹣12，y2＝10，
∵x为正整数，
∴y＝x2+3x＝10，
∴x1＝2，x2＝﹣5＜0（舍去），
∴这四个整数为2，3，4，5．
20．解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
x＝y＝﹣2．
∴y2＝（﹣2）2＝4；
（2）∵5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028
＝（4x2+9y2﹣12xy）+（x2﹣6x+9）+2019
＝（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019．
∵（2x﹣3y）2≥0，（x﹣3）2≥0，
∴（2x﹣3y）2+（x﹣3）2+2019≥2019．
∴当2x﹣3y＝0，x﹣3＝0时，即当x＝3，y＝2时，代数式5x2+9y2﹣12xy﹣6x+2028有最小值2019．