2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.4二次函数的应用习题精选（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册第2章《二次函数的应用》习题精选（附答案）
1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
2．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　）
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
3．用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（　　）
A．m2 B．m2 C．m2 D．4m2
4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（　　）
A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
6．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（　　）
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
7．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）
A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
8．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2
C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2
9．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（　　）
A．25m B．50m C．625m D．750m
10．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（　　）
A．1m B．2m C．m D．m
11．小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y＝﹣x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（　　）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
12．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（　　）
A．0.71s B．0.70s C．0.63s D．0.36s
13．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地的所用时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
14．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　 　米．
15．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是　 　m．
16．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为　 　min．
17．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了　 　m，恰好把水喷到F处进行灭火．
18．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　 　m才能停下来．
19．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需　 　分钟．
20．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取A点为坐标原点时的抛物线的表达式为y＝﹣，则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为　 　，水管AB的长为　 　m．
21．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为　 　时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．
22．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
23．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
24．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
25．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
26．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
参考答案
1．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选：D．
2．解：
法一：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则
解得，
所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．
法二：∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越近，位置越高，
从A、C两点来看，对称轴更靠近A，即在20左边，
从A、B两点来看，对称轴更靠近B，即在10右边，
故选：B．
3．解：设窗的高度为xm，宽为（）m，
故S＝．
∴，
即S＝．
∴当x＝2m时，S最大值为m2．
故选：C．
4．解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：C．
5．解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
2.25＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣0.75，
∴y＝﹣（x﹣1）2+3，
当y＝0时，﹣（x﹣1）2+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3，
答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故选：B．
6．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，
∴当y＝0时，n＝2或n＝12，
当y＜0时，n＝1，
故选：D．
7．解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．
故选：A．
8．解：∵高CH＝1cm，BD＝2cm，且B、D关于y轴对称，
∴D点坐标为（1，1），
∵AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，
∴AB关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），
∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），
设右边抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2，
把D（1，1）代入得1＝a×（1﹣3）2，解得a＝，
∴右边抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2，
故选：B．
9．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
10．解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，
解得x＝±1，
此时水面的宽度为2m，
故选：B．
11．解：当y＝3.05时，﹣x2+3.5＝3.05，解得x1＝﹣1.5（舍去），x2＝1.5，
∴l＝2.5+1.5＝4m．
故选：B．
12．解：
h＝3.5t﹣4.9t2
＝﹣4.9（t﹣）2+，
∵﹣4.9＜0
∴当t＝≈0.36s时，h最大．
故选：D．
13．解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2，
得t（20﹣5t）＝0，
解得t＝0（舍去）或t＝4，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s，
故选：B．
14．解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
15．解：设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，
由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2.4，
∵菜农的身高为1.8m，即y＝1.8，
则1.8＝﹣x2+2.4，
解得：x＝±，
故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米，
故答案为：3．
16．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故答案为：3.75．
17．解：由图形可知，点A（0，21.2）、D（0，1.2）、E（20，9.2）、点F的纵坐标为6.2
设AE所在直线解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴直线AE解析式为y＝﹣0.6x+21.2，
当y＝6.2时，﹣0.6x+21.2＝6.2，
解得：x＝25，
∴点F坐标为（25，6.2），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将点D（0，1.2）、E（20，9.2）、F（25，6.2）代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣15）2+，
设消防员向左移动的距离为p（p＞0），
则移动后抛物线的解析式为y＝﹣（x+p﹣15）2++，
根据题意知，平移后抛物线过点F（25，6.2），代入得：
﹣（25+p﹣15）2++＝6.2，
解得：p＝﹣﹣10（舍）或p＝﹣10，
即消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了（﹣10）m，恰好把水喷到F处进行灭火，
故答案为：﹣10．
18．解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值．
∴y最大值＝＝＝600，
即飞机着陆后滑行600米才能停止．
故答案为：600．
19．解：如图所示：
设在6分钟时到达A点，在14分钟时到达B，
∵6分钟时和14分钟时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称．则从A到B需要8分钟，则从A到D需要4分钟．
∴从O到D需要6+4＝10（分钟）．
∴从O到C需要2×10＝20（分钟）．
故答案为20．
20．解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，
当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，
故平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；
令x＝﹣3，则y＝﹣+3＝2.25．
故水管AB的长为2.25m．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；2.25．
21．解：如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE 面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设 BC＝x（m），BE＝FC＝a（m），则AE＝HG＝DF＝2a（m），
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝60（m），即 8a+2x＝60，
∴a＝﹣x+，3a＝﹣x+，
∴矩形区域 ABCD 的面积 S＝（﹣x+）x＝﹣x2+x，
∵a＝﹣x+
∴x＜30，
则 S＝﹣x2+x （0＜x＜30）
∵二次项系数为﹣＜0
∴当x＝﹣＝15（m）时，S 有最大值，最大值为：﹣×152+×15＝（m2）
故答案为：15m．
22．解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
23．解：（1）设y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），
∴，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
∴30＜x≤46，
设利润为w＝（x﹣30） y＝（x﹣30）（﹣10x+700），
w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，
﹣10（x﹣50）2＝﹣250，
x﹣50＝±5，
x1＝55，x2＝45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
24．解：（1）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），
∴x（28﹣x）＝192，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：x的值为12或16；
（2）∵AB＝xm，
∴BC＝28﹣x，
∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28﹣15＝13，
∴6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
25．解：（1）y＝，
（2）在0≤x≤10时，y＝100x，当x＝10时，y有最大值1000；
在10＜x≤30时，y＝﹣3x2+130x，
当x＝21时，y取得最大值，
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x＝22时，y有最大值1408．
∵1408＞1000，
∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．
26．解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），
即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x1＝50，x2＝64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600
＝﹣10（x﹣57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890＝2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是2640元．