2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册专题3.2 双曲线标准方程及其性质 期末复习冲刺卷（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册专题3.2 双曲线标准方程及其性质 期末复习冲刺卷（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-02 17:08:35 | ||
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文档简介
专题3.2 双曲线标准方程及其性质 期末复习冲刺卷
一、单选题
1．双曲线左、右焦点分别为，，一条渐近线与直线垂直，点在上，且，则（ ）
A．6或30 B．6 C．30 D．6或20
2．双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为（0，b），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知双曲线的左 右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
5．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且与两条渐近线相交于两点．若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为（ ）．
A． B． C． D．4
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，.分别交y轴于P，Q两点，若的周长为12，则取得最大值时，该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、多选题
9．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（ ）
A．双曲线是黄金双曲线
B．若，则该双曲线是黄金双曲线
C．若，则该双曲线是黄金双曲线
D．若，则该双曲线是黄金双曲线
10．已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
11．已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．E的标准方程为
B．E的离心率等于
C．E与双曲线的渐近线相同
D．直线与E有且仅有一个公共点
12．双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为 B．双曲线的离心率为
C． D．的面积为6
三、填空题
13．已知、是离心率为的双曲线的右顶点和右焦点，记、到直线的距离分别为、，则_________．
14．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则的周长为________．
15．设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．
16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为______.
四、解答题
17．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点．若与圆相切，求证：；
19．如图所示，过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线共有几条？
20．设双曲线的实轴长为.焦点到渐近线的距离为.
（1）求此双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于，两点.且在双曲线的右支上存在点，使得，求的值及点的坐标.
21．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求△F1MF2的面积．
22．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．
参考答案
1．C
【分析】
利用双曲线的一条渐近线与直线垂直，求出，通过双曲线的定义求解即可.
【解析】解：双曲线左、右焦点分别为，，一条渐近线与直线垂直，
可得，解得，
点在上，，所以在双曲线的右支上，
则.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用、直线与直线的位置关系的应用，注意与双曲线焦点三角形有关的长度计算，要关注焦半径的长度与实轴长的大小关系，从而确定动点的位置，本题属于基础题.
2．B
【分析】
根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.
【解析】设代入双曲线方程作差有:
，
有，
所以，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.
3．C
【分析】
求出，化简方程即得解.
【解析】F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为（0，b），
所以，
所以
所以双曲线的离心率e＝．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．D
【分析】
设，，根据双曲线定义，，得：．，
两式相减可得．
【解析】解：设，，根据双曲线定义
，，
在△中，由余弦定理可得：．
在△中，由余弦定理可得：，
①②可得，解得．
故选：．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.
5．C
【分析】
由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程即，由此可得，结合双曲线的平方关系可得与的比值，求出该双曲线的离心率．
【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，
可得，即，
解得，即．
故选：C
【点睛】
本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
6．D
【分析】
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
7．C
【分析】
根据中点得到，计算，，利用勾股定理计算得到答案.
【解析】不妨取渐近线方程为，是中点，故，故，
，故，，，
根据勾股定理：，故，故焦距为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了双曲线的焦距，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定，是解题的关键.
8．B
【分析】
根据轴且过左焦点可得，由题意知的周长为周长的2倍，可得，化简得，转化，利用导数确定取最值时，即可求解.
【解析】因为，
所以把代入双曲线方程可得：，
故，
因为，，周长为12，
所以的周长为24，
即，
所以，
化简得：，
，
令，
则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
时函数有唯一极大值也是最大值，
此时，，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义、离心率等,还涉及利用导数求具体函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属中档题.
9．BCD
【分析】
A选项，，不是黄金双曲线；通过计算得到BCD是黄金双曲线.
【解析】A选项，，不是黄金双曲线；
B选项，，化成，即，
又，解得，是黄金双曲线；
C选项，∵，∴，
∴，
化简得，由选项知是黄金双曲线；
D选项，∵，∴轴，，且是等腰，
∴，即，由选项知是黄金双曲线.
综上，BCD是黄金双曲线.
故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出再求离心率）；（2）方程法（通过已知得到关于的方程，解方程得解）.
10．BC
【分析】
根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.
【解析】由双曲线方程得，，则，
由△的面积为20，
得，得，即点到轴的距离为4，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，
则，
由双曲线的定义知，
则，
则，故正确，
在△中，，
则，为钝角，
则△为钝角三角形，故正确，
，
则错误，
故正确的是，
故选：．
【点睛】
本题主要考查与双曲线性质有关的命题的真假判断．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
11．ACD
【分析】
设双曲线方程为，代入点，求得的值，得到双曲线的方程，可判定A选项正确；根据离心率的定义，可判定B选项错误；分别求得双曲线的渐近线方程，可判定C选项正确；联立方程组，结合，可判定D选项正确.
【解析】设双曲线方程为，由已知得，解得，
故双曲线的标准方程为，故A选项正确；
由离心率，故B选项错误；
因为曲线的渐近线方程为，又由双曲线的渐近线方程为，故C选项正确；
联立，整理得，由，
所以直线与E有且仅有一个公共点，故D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用待定系数法正确求解双曲线的方程，熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．ABD
【分析】
由已知可得，再由得点为三角形的重心，从而有，得，再结合可求出的值，进而可求得渐近线方程、离心率、的面积
【解析】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，，，，，解得.
双曲线的渐近线方程为，，的坐标为，，
故选：ABD.
【点睛】
此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题
13．
【分析】
计算出，由此可得出，即可得解.
【解析】由已知条件可得出，则，所以，.
故答案为：.
14．32
【分析】
根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解决．求出周长即可．
【解析】解：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；
双曲线图象如图：
①
②
而，
①＋②
得：，
∴周长为．
故答案为32．
【点睛】
本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．
15．12
【分析】
通过双曲线的定义可先求出的长度，从而利用余弦定理求得，于是可利用面积公式求得答案.
【解析】由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此.
【点睛】
本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.
16．
【分析】
本题首先可根据题意绘出图像并设出点坐标为，然后通过圆与双曲线的对称性得出，再根据“点即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出，然后根据图像以及可得和，接下来利用双曲线定义得出以及，最后根据并通过化简求值即可得出结果．
【解析】
如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，
由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以，
因为圆是以为直径，所以圆的半径为，
因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，
联立化简可得，整理得，
，，所以，
因为，所以，，
因为，所以，
因为，联立可得，，
因为为圆的直径，所以,
即，，，
，，，所以离心率．
【点睛】
本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线与圆的相关性质，考查对双曲线以及圆的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）求得直线与轴的交点，可得，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得，进而得到双曲线的方程；
（2）设直线，代入，设，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的垂直平分线方程，令，可得直线在轴上的截距，由不等式的性质可得范围.
【解析】（1）直线过x轴上一点，
由题意可得，即，
双曲线的渐近线方程为，
由两直线平行的条件可得，解得，
即有双曲线的方程为.
（2）设直线，
代入，可得，
设，则，
中点为，
可得的垂直平分线方程为，
令，可得，
由，解得，
又，解得，
综上可得，，即有的范围是，
可得直线与轴上的截距的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
18．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据双曲线的标准方程可得左顶点，渐近线方程：，从而可得过点与渐近线平行的直线方程，将此直线与另一条渐近线联立求出交点，进而求解.
（2）设直线的方程是，利用点到直线的距离公式可得，联立方程，设，，由即证.
【解析】（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：．
过点与渐近线平行的直线方程为
，即．
解方程组得
所以所求三角形的面积为．
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，
故，即．
由得．
设，，则
又，
所以
．
故．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系，证明直线垂直可转化为向量的数量积等于零，考查了考生的基本运算能力，属于中档题.
19．条
【分析】
根据轴（弦是在同一支）和与轴不垂直（弦是跨两支）分成两种情况进行分类讨论，由此得出正确结论.
【解析】设，则.
对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于轴的弦，长度为；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴.
过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点.
若轴，则为通径，而通径长度正好是4，故直线交双曲线于同支上的两点且，这样的直线只有一条.
若经过顶点，此时，故直线交双曲线于异支上的两点且，这样的直线有且只有两条.
故满足的直线有条.
【点睛】
本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.
20．（1）（2）4，
【分析】
（1）由实轴长可得值，由焦点到渐近线的距离可得，即可求得双曲线的方程；
（2）设，，，，，，则，，联立直线方程与双曲线方程消掉得的二次方程，由韦达定理可得，进而求得，从而可得，再由点在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得点坐标，从而求得值．
【解析】（1）由实轴长为，得，
所以渐近线方程为，即或，
取渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
，又， ，
双曲线方程为:
（2）设，，，
则，，
由直线与双曲线方程联立，可得，
， ，
解得，，
，.
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线标准方程，以及向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．
21．(1)；(2)证明见解析；(3)6
【分析】
(1)根据设双曲线的方程为，由点在双曲线上，代入，即可得到双曲线的方程；
(2)根据题意求出，，根据向量数量积的坐标运算得到以及由点M在双曲线上得到，即可证明；
(3)以为底，以点M的纵坐标为高，即可得到△F1MF2的面积.
【解析】(1)因为，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为.因为双曲线过点，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则， 所以，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以.
(3)的底.由(2)知.所以的高，所以
【点睛】
本题主要考查了求双曲线的标准方程以及向量的坐标运算等，属于中档题.
22．（1）；（2）λ＝0或λ＝－4.
【分析】
(1) 由点在双曲线上，，利用化简得到答案.
(2)联立方程根据韦达定理得到，设代入数据化简得到，得到答案.
【解析】解：(1)由点在双曲线上，有.
由题意有，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，.
(2)联立得.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设，即.
又C为双曲线上一点，即，有.
化简得.②
又在双曲线上，所以.
由①式又有，
②式可化为，解得λ＝0或λ＝－4.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，参数的值，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
一、单选题
1．双曲线左、右焦点分别为，，一条渐近线与直线垂直，点在上，且，则（ ）
A．6或30 B．6 C．30 D．6或20
2．双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为（0，b），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知双曲线的左 右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
5．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且与两条渐近线相交于两点．若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为（ ）．
A． B． C． D．4
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，.分别交y轴于P，Q两点，若的周长为12，则取得最大值时，该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、多选题
9．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（ ）
A．双曲线是黄金双曲线
B．若，则该双曲线是黄金双曲线
C．若，则该双曲线是黄金双曲线
D．若，则该双曲线是黄金双曲线
10．已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
11．已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．E的标准方程为
B．E的离心率等于
C．E与双曲线的渐近线相同
D．直线与E有且仅有一个公共点
12．双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为 B．双曲线的离心率为
C． D．的面积为6
三、填空题
13．已知、是离心率为的双曲线的右顶点和右焦点，记、到直线的距离分别为、，则_________．
14．已知F为双曲线的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则的周长为________．
15．设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．
16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为______.
四、解答题
17．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点．若与圆相切，求证：；
19．如图所示，过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线共有几条？
20．设双曲线的实轴长为.焦点到渐近线的距离为.
（1）求此双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于，两点.且在双曲线的右支上存在点，使得，求的值及点的坐标.
21．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求△F1MF2的面积．
22．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．
参考答案
1．C
【分析】
利用双曲线的一条渐近线与直线垂直，求出，通过双曲线的定义求解即可.
【解析】解：双曲线左、右焦点分别为，，一条渐近线与直线垂直，
可得，解得，
点在上，，所以在双曲线的右支上，
则.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用、直线与直线的位置关系的应用，注意与双曲线焦点三角形有关的长度计算，要关注焦半径的长度与实轴长的大小关系，从而确定动点的位置，本题属于基础题.
2．B
【分析】
根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.
【解析】设代入双曲线方程作差有:
，
有，
所以，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.
3．C
【分析】
求出，化简方程即得解.
【解析】F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为（0，b），
所以，
所以
所以双曲线的离心率e＝．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．D
【分析】
设，，根据双曲线定义，，得：．，
两式相减可得．
【解析】解：设，，根据双曲线定义
，，
在△中，由余弦定理可得：．
在△中，由余弦定理可得：，
①②可得，解得．
故选：．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.
5．C
【分析】
由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程即，由此可得，结合双曲线的平方关系可得与的比值，求出该双曲线的离心率．
【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，
可得，即，
解得，即．
故选：C
【点睛】
本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
6．D
【分析】
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
7．C
【分析】
根据中点得到，计算，，利用勾股定理计算得到答案.
【解析】不妨取渐近线方程为，是中点，故，故，
，故，，，
根据勾股定理：，故，故焦距为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了双曲线的焦距，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定，是解题的关键.
8．B
【分析】
根据轴且过左焦点可得，由题意知的周长为周长的2倍，可得，化简得，转化，利用导数确定取最值时，即可求解.
【解析】因为，
所以把代入双曲线方程可得：，
故，
因为，，周长为12，
所以的周长为24，
即，
所以，
化简得：，
，
令，
则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
时函数有唯一极大值也是最大值，
此时，，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义、离心率等,还涉及利用导数求具体函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属中档题.
9．BCD
【分析】
A选项，，不是黄金双曲线；通过计算得到BCD是黄金双曲线.
【解析】A选项，，不是黄金双曲线；
B选项，，化成，即，
又，解得，是黄金双曲线；
C选项，∵，∴，
∴，
化简得，由选项知是黄金双曲线；
D选项，∵，∴轴，，且是等腰，
∴，即，由选项知是黄金双曲线.
综上，BCD是黄金双曲线.
故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出再求离心率）；（2）方程法（通过已知得到关于的方程，解方程得解）.
10．BC
【分析】
根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.
【解析】由双曲线方程得，，则，
由△的面积为20，
得，得，即点到轴的距离为4，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，
则，
由双曲线的定义知，
则，
则，故正确，
在△中，，
则，为钝角，
则△为钝角三角形，故正确，
，
则错误，
故正确的是，
故选：．
【点睛】
本题主要考查与双曲线性质有关的命题的真假判断．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
11．ACD
【分析】
设双曲线方程为，代入点，求得的值，得到双曲线的方程，可判定A选项正确；根据离心率的定义，可判定B选项错误；分别求得双曲线的渐近线方程，可判定C选项正确；联立方程组，结合，可判定D选项正确.
【解析】设双曲线方程为，由已知得，解得，
故双曲线的标准方程为，故A选项正确；
由离心率，故B选项错误；
因为曲线的渐近线方程为，又由双曲线的渐近线方程为，故C选项正确；
联立，整理得，由，
所以直线与E有且仅有一个公共点，故D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用待定系数法正确求解双曲线的方程，熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．ABD
【分析】
由已知可得，再由得点为三角形的重心，从而有，得，再结合可求出的值，进而可求得渐近线方程、离心率、的面积
【解析】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，，，，，解得.
双曲线的渐近线方程为，，的坐标为，，
故选：ABD.
【点睛】
此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题
13．
【分析】
计算出，由此可得出，即可得解.
【解析】由已知条件可得出，则，所以，.
故答案为：.
14．32
【分析】
根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解决．求出周长即可．
【解析】解：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；
双曲线图象如图：
①
②
而，
①＋②
得：，
∴周长为．
故答案为32．
【点睛】
本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．
15．12
【分析】
通过双曲线的定义可先求出的长度，从而利用余弦定理求得，于是可利用面积公式求得答案.
【解析】由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此.
【点睛】
本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.
16．
【分析】
本题首先可根据题意绘出图像并设出点坐标为，然后通过圆与双曲线的对称性得出，再根据“点即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出，然后根据图像以及可得和，接下来利用双曲线定义得出以及，最后根据并通过化简求值即可得出结果．
【解析】
如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，
由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以，
因为圆是以为直径，所以圆的半径为，
因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，
联立化简可得，整理得，
，，所以，
因为，所以，，
因为，所以，
因为，联立可得，，
因为为圆的直径，所以,
即，，，
，，，所以离心率．
【点睛】
本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线与圆的相关性质，考查对双曲线以及圆的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）求得直线与轴的交点，可得，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得，进而得到双曲线的方程；
（2）设直线，代入，设，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的垂直平分线方程，令，可得直线在轴上的截距，由不等式的性质可得范围.
【解析】（1）直线过x轴上一点，
由题意可得，即，
双曲线的渐近线方程为，
由两直线平行的条件可得，解得，
即有双曲线的方程为.
（2）设直线，
代入，可得，
设，则，
中点为，
可得的垂直平分线方程为，
令，可得，
由，解得，
又，解得，
综上可得，，即有的范围是，
可得直线与轴上的截距的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
18．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据双曲线的标准方程可得左顶点，渐近线方程：，从而可得过点与渐近线平行的直线方程，将此直线与另一条渐近线联立求出交点，进而求解.
（2）设直线的方程是，利用点到直线的距离公式可得，联立方程，设，，由即证.
【解析】（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：．
过点与渐近线平行的直线方程为
，即．
解方程组得
所以所求三角形的面积为．
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，
故，即．
由得．
设，，则
又，
所以
．
故．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系，证明直线垂直可转化为向量的数量积等于零，考查了考生的基本运算能力，属于中档题.
19．条
【分析】
根据轴（弦是在同一支）和与轴不垂直（弦是跨两支）分成两种情况进行分类讨论，由此得出正确结论.
【解析】设，则.
对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于轴的弦，长度为；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴.
过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点.
若轴，则为通径，而通径长度正好是4，故直线交双曲线于同支上的两点且，这样的直线只有一条.
若经过顶点，此时，故直线交双曲线于异支上的两点且，这样的直线有且只有两条.
故满足的直线有条.
【点睛】
本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.
20．（1）（2）4，
【分析】
（1）由实轴长可得值，由焦点到渐近线的距离可得，即可求得双曲线的方程；
（2）设，，，，，，则，，联立直线方程与双曲线方程消掉得的二次方程，由韦达定理可得，进而求得，从而可得，再由点在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得点坐标，从而求得值．
【解析】（1）由实轴长为，得，
所以渐近线方程为，即或，
取渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
，又， ，
双曲线方程为:
（2）设，，，
则，，
由直线与双曲线方程联立，可得，
， ，
解得，，
，.
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线标准方程，以及向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．
21．(1)；(2)证明见解析；(3)6
【分析】
(1)根据设双曲线的方程为，由点在双曲线上，代入，即可得到双曲线的方程；
(2)根据题意求出，，根据向量数量积的坐标运算得到以及由点M在双曲线上得到，即可证明；
(3)以为底，以点M的纵坐标为高，即可得到△F1MF2的面积.
【解析】(1)因为，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为.因为双曲线过点，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则， 所以，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以.
(3)的底.由(2)知.所以的高，所以
【点睛】
本题主要考查了求双曲线的标准方程以及向量的坐标运算等，属于中档题.
22．（1）；（2）λ＝0或λ＝－4.
【分析】
(1) 由点在双曲线上，，利用化简得到答案.
(2)联立方程根据韦达定理得到，设代入数据化简得到，得到答案.
【解析】解：(1)由点在双曲线上，有.
由题意有，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，.
(2)联立得.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设，即.
又C为双曲线上一点，即，有.
化简得.②
又在双曲线上，所以.
由①式又有，
②式可化为，解得λ＝0或λ＝－4.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，参数的值，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.