西宁市2022届高三上学期期中考试数学
考试时间：120分钟 满分：150
一、单选题(共 60 分) C. D.
1．(本题 5分)已知全集 ,集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2．(本题 5分)在△ABC中，AB=2，BC=5 ABC 8．(本题 5分)把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把所得曲线，△ 的面积为 4，则 cos∠ABC等于（ ）
A． 3 3 3 2 向右平移 个单位长度,得到函数 的图像,则 ( )B．± C．- D．±
5 5 5 5
A. B. C. D.
3．(本题 5分)函数 的最小正周期和最大值分别是( )
9．(本题 5分)已知函数 y f x 在区间[0, )单调递增，且 f x f x ，则（ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
1 A． f ln 2 f log2 e f (log
1 1
1 ) B． f ln 2 f (log 1 ) f log2 e
4．(本题 5分)若“ x R， sin x m ”是假命题，则实数m的最小值为（ ） 3 3
2 3
2 2
3 C． f log2 e f ln 2 f (log
1) f (log 11 D． 1 ) f log2 e f ln 2
A． 0 B． 1 C． D．1 2 3 2 3
2
10．(本题 5分)达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无
5．(本题 5分)函数 f (x) x3 2x2的图像在点 (1, f (1))处的切线方程为（ ）
数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似
A． x y 1 0 B． x y 2 0
看作一个圆弧，在嘴角 A,C 处作圆弧的切线，两条切线交于 B点，测得如下数据：
C． x y 0 D． x y 2 0
AB 6cm, BC 6cm, AC 10.392cm( 3其中 0.866 ).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中
6．(本题 5分)函数 f x log2 x2 2 2 2的值域为（ ）
女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
( , 3 3A． ) B． ( , ]
2 2
(3 3C． , ) D．[ , )
2 2
7．(本题 5分)函数 的图像是( )
2 3
A． B． C． D．
3 4 3 6
A. B. 2x 1 ,x 2
11．已知函数 f (x) ，若关于 x的方程 f (x) m 0恰有两个不同的实数解，则实数m的
x 5, x 2
取值范围是（ ）
A． (0,1) B．[1,3) C． (1,3) {0} D．[1,3) {0}
第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页
12．(本题 5分)若 2020x 2020 y 2021 x 2021 y（ x, y R），则（ ） 20.设函数 , .
A． ln y x 1 0 B． ln y x 1 0
(1)已知 ,函数 是偶函数,求 的值;
C． ln x y 0 D． ln x y 0
(2)求函数 的值域.
二、填空题(共 20 分)
13．(本题 5分)已知实数集合 A {x,
y
,1}， B {| x |, x y,0}，若 A B，则 x5 y5 ________．
x
21.已知函数 f （x）=ax﹣ex（a∈R），g（x）= ．
14．(本题 5分) ________．
（1）求函数 f （x）的单调区间；
15．(本题 5分)记 的内角 , , 的对边分别为 , , ,面积为 , , ,
（2） x0∈（0，+∞），使不等式 f （x）≤g（x）﹣ex成立，求 a的取值范围．
则 __________.
16．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合 B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合 C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}，若 C
（A∩B），试确定实数 a的取值范围______．
22.已知函数 .设 .
三、解答题(共 70 分) （1）求方程 的根;
x
17 ( 10 ) f (x) a 1
（2）若对任意 ,不等式 恒成立,求实数 的最大值.
． 本题 分 设函数 x ， x R ， a 0 .2
（1）若 f (1) f ( 1)
9
，求 a2 ；
ax2 1（ ）是否存在正实数 a 0，使得 f (x) x 是偶函数.2
18．在 ,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 , 。
（1）求 的值;
（2）求 的值;
（3）求 的值.
19．已知函数 f (x) x ln x ax 2 ( a为实数).
（1）若 a 2，求 f (x)的最小值；
（2）若 f (x) 0恒成立，求 a的取值范围.
第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页参考答案
1．【答案】A
【解析】 , ,故选 A.
2．B
【分析】
1 4
根据三角形的面积公式 S= 2 AB·BC·sin∠ABC，代入数值可得 sin∠ABC= ，再利用同角三5
角函数的关系即可得解.
【详解】
S= 12 AB·BC·sin∠ABC，得 4=
1
2 ×2×5sin∠ABC，
4 3
解得 sin∠ABC= ，从而 cos∠ABC=± .
5 5
故选：B
3．【答案】C
【解析】 , . 故选 C.
4．D
【分析】
根据特称命题的否定时全称命题，再将恒成立问题转化为最值问题即可.
【详解】
1
x R 解：若“ ， sin x m ”是假命题，
2 3
x R sin
1 x 则“ ， m ”真命题，
2 3
1
则 sin x m
2 3
， max
又sin
1
x
1，
2 3
故m 1，
即实数m的最小值为1.
故选：D.
5．C
【分析】
利用导数的几何意求解即可
答案第 1页，共 9页
【详解】
由 f (x) x3 2x2，得 f ' (x) 3x2 4x ，
所以切线的斜率为 k f '(1) 3 4 1，
因为 f (1) 1 2 1，
所以所求的切线方程为 y 1 (x 1)，即 x y 0，
故选：C
6．B
【分析】
结合 x2 2 2的取值范围以及对数函数的性质求得 f x 的值域.
【详解】
由于 0 x2 2 2≤ 2 2，且 y log2 x在 0, 上递增，
3
log2 2 2 log2 22
3
，
2
f x ( , 3所以 的值域为 ] .
2
故选：B
7．【答案】B
【解析】取 , ,则 , ,选项 B,D 符合;取 ,则 ,选项 B符合题 意.
8．【答案】B
【解析】逆
向: . 故选
B.
9．D
【分析】
根据题意求得函数 f x 的奇偶性和单调性，再利用对数函数的性质，求得 f () ln 2, log2 e和
log 11 3的大小关系，结合函数的性质，即可求解.2
【详解】
答案第 2页，共 9页
因为 f x f x ，所以函数 y f x 为偶函数，图象关于 y轴对称，
又由函数 f x 在区间[0, )单调递增，可得 f x 在区间 ( , 0)单调递减，
根据对数函数的性质，可得 ln1 ln 2 ln e，即0 ln 2 1，
又因为 log
1
1 log2 3，且 log2 3 log2 e log2 2 13 ，2
1
所以 f (log2 3) f log2 e f ln 2 ，即 f (log 1 ) f log2 e f ln 2
2 3
.
故选：D.
10．C
【分析】
由已知 AB BC 5.196 6，设 ABC 2 ．可得 sin 0.8667 ．于是可得 ，进而得出结论．
【详解】
依题意 AB BC 6，设 ABC 2 ．
则sin 5.196 3 0.866 ．
6 2
2 ，2 ．
3 3
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 ．
则 2 ，
．
3
故选：C
11．D
【分析】
根据分段函数的性质确定函数大致图象，将问题转化为 f (x)与 y m有两个不同交点，应用
数形结合判断m的取值范围即可.
【详解】
由题设， f (x)在 ( , 0)上递减且值域为 (0,1)，在 [0,2]上递增且值域为[1,3]，在 (2, )上递
减且值域为 (3, )，可得 f (x)的大致图象如下：
答案第 3页，共 9页
∴要使 f (x) m 0恰有两个不同的实数解，即 f (x)与 y m有两个不同交点，
由图知：当1 m 3或m 0时，它们有两个交点，
∴m的取值范围是[1,3) {0} .
故选：D
12．A
【分析】
将不等式变为 2020x 2021 x 2020 y 2021 y，根据 f x 2020x 2021 x的单调性知 x y，
以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.
【详解】
由 2020x 2020 y 2021 x 2021 y，可得 2020x 2021 x 2020 y 2021 y，
f x 2020x令 2021 x，则 f x 在R 上单调递增，且 f x f y ， x y，
Q y x 0， y x 1 1， ln y x 1 0，则 A正确，B错误；
Q x y 与1的大小不确定，故 CD无法确定.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利
用函数的单调性得到 x, y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
13．-1
【分析】
先根据集合中元素的互异性，求出 x、y，代入即可求解.
【详解】
答案第 4页，共 9页
根据集合中元素的互异性，在集合 B中，由元素的互异性，可得：x+y≠|x|≠0，解得 x≠0，x≠-y，
y
因为 A=B，所以集合 A中只能 =0，即 y=0.此时 A={x，0，1}，B={|x|，x，0}，则有|x|=1，
x
且|x|≠x，所以 x=-1.所以 x5 y5 -1-0=-1.
故答案为：-1.
14．
15．【答案】
【解析】 ,所以 , 由余弦定理
,所以 .
16．[1，2]
【分析】
先化简集合 A，B，再根据若 C （A∩B），分类讨论得出 a的取值范围．
【详解】
由已知得 A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或 x＞2}，
所以，A∩B＝{x|2＜x＜3}，
C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，
①当 a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，如右图所示：
a 2
则 C （A∩B）等价为：
3a 3
，
解得，1≤a≤2，经检验符合题意；
②当 a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}；
C是负半轴上的一个区间，而 A∩B是正半轴上的一个区间，
因此 C （A∩B）是不可能的，故无解；
③当 a＝0时，C＝ ，此时 C （A∩B）是不可能的，也无解．
综合以上讨论得，a∈[1，2]．
答案第 5页，共 9页
故答案为：[1，2]．
17．（1） a 2；（2）存在.
【分析】
（1）由函数解析式求 f (1)、 f ( 1)，结合已知可得 (a 2)2 0，即可求 a；
ax 1 ax x
（2）假设存在正实数 a 0 f (x) 1 a 1使 a
2x
是偶函数，即 ，整理求出 ，判断
2x 2 x
所得参数是否符合题意即可.
【详解】
a 1 2
（1）由题意， f (1) ， f ( 1) 2，
2 a
由 f (1) f ( 1)
9 a 1 2 9
，即 2 ，整理可得 (a 2)2 0 a 22 2 a 2 ，即 ；
ax 1 ax 1 a x 1
（2）假设存在正实数 a 0，使得 f (x) x 是偶函数，即 f ( x) f (x)，则 x ，2 2 2 x
∴ (ax 4x )(1 ax ) 0，必有 a 4，
ax 1
故存在正实数 a 4，使得 f (x)
2x
是偶函数.
18.
【答案】见解析
【解析】(1)因为 ,由正弦定理可得 ,
∵ ,∴ , . (2)由余弦定理可得
. (3)∵ ,∴ ,
∴ , , 所
以 .
19．（1） 2 e；（2） ( ,1 ln 2] .
【分析】
（1）利用导数直接求出函数的单调区间，即可求出 f x 的最小值
答案第 6页，共 9页
（2）若 f (x) 0 2 2恒成立，则 x ln x ax 2 0，即 ln x a恒成立，令 g(x) ln x ，
x x
利用导数研究函数单调性，进而得最值，可得实数 a取值的范围即可
【详解】
（1）当 a 2时， f (x) x ln x 2x 2， f (x) ln x 1 .
由 f (x) 0得0 x e，由 f (x) 0得 x e，
所以 f (x)在 (0,e)上单调递减，在 (e, )上单调递增，
则函数 f (x)的最小值为 f (e) e ln e 2e 2 2 e .
（2）由题得 x 0，若 f (x) 0 2恒成立，则 x ln x ax 2 0，即 ln x a恒成立.
x
g(x) ln x 2 1 2 x 2令 ，则 g (x) 2 ，x x x x2
当0 x 2时， g (x) 0；当 x 2时， g (x) 0，
所以 g(x)在 (0,2)上单调递减，在 (2, )上单调递增，
则 g(x)min g(2) 1 ln 2，所以 a 1 ln 2，
故 a的取值范围为 ( ,1 ln 2] .
20
【答案】(1) 或 ; (2) .
【解析】(1) ,又 ,结合函数图像不难求得:当 或
时,函数 是偶函数.
(2)
因此,函数的值域是
.
答案第 7页，共 9页
21．（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）
【详解】
试题分析：（Ⅰ）f′（x）=a﹣ex，x∈R．对 a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；
（Ⅱ）由 x0∈（0，+∞），使不等式 f（x）≤g（x）﹣ex，即 a≤ ．设 h（x）= ，则问
题转化为 a ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣ex，x∈R．
当 a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在 R上单调递减；
当 a＞0时，令 f′（x）=0得 x=lna．
由 f′（x）＞0得 f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；
由 f′（x）＜0得 f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．
（Ⅱ）∵ x0∈（0，+∞），使不等式 f（x）≤g（x）﹣ex，则 ，即 a≤ ．
设 h（x）= ，则问题转化为 a ，
由 h′（x）= ，令 h′（x）=0，则 x= ．
当 x在区间（0，+∞） 内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：
由上表可知，当 x= 时，函数 h（x）有极大值，即最大值为 ．
∴ ．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
22．【答案】(1) ; (2) .
【解析】(1)方程 ,即 ,令 ,方程转化为 ,解得
, . (2)根据题意 , ,
答案第 8页，共 9页
恒成立,分离参数得 ,令
,则 ,所以 ,即实数 的最大
值为 .
答案第 9页，共 9页
