2021-2022学年上海市金山区罗星中学八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市金山区罗星中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题6题，每题3分，满分18分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B．
C． D．
2．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．方程4x2＝x只有一个实数根
B．方程x2﹣25＝0有两个相等的实数根
C．方程x2﹣x+3＝0有两个不相等的实数根
D．方程2x2﹣2x+1＝0没有实数根
4．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（　　）
A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0
5．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（　　）
A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点 D．y的值随x的增大而增大
6．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（　　）
A．若方程（x﹣2）（mx+n）＝0是半根方程，则4m2+5mn+n2＝0
B．方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程
C．方程x2﹣4＝0是半根方程
D．若点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，则关于x的方程mx2﹣n＝0是半根方程
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．化简：＝　 　．
8．如果有意义，那么x的取值范围是 　 　．
9．二次根式+4的一个有理化因式是 　 　．
10．化简＝　 　．
11．一元二次方程x2﹣6x+9＝0的实数根是　 　．
12．已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 　 　．
13．以3，﹣2为两根，且二次项系数为1的一元二次方程的一般式是 　 　．
14．在实数范围内因式分解：y2﹣2y﹣1＝　 　．
15．已知f（x）＝，那么＝　 　．
16．如果函数y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函数．则m的值是　 　．
17．不等式的解集是　 　．
18．若关于x的方程x2+kx+6＝0的根是整数，且k＜0，则k的值是 　 　．
三、解答题（本大题共9题，19--22每题6分，23-25每题8分，26题10分，满分58分）
19．计算：．
20．化简：8x2（x＞0）．
21．解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．
22．解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．
23．化简并求值：，其中x＝．
24．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．
25．去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元．
求：（1）该店第二季度的营业额；
（2）该店第三、第四季度营业额的增长率．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．
（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．
参考答案
一、选择题（本大题6题，每题3分，满分18分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A、可化为，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、可化为|x|，不是最简二次根式；
D、可化为|x﹣y|，不是最简二次根式．
故选：B．
2．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．
解：A、a与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、＝|a|与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、＝|a|与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、＝a2与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
3．下列说法正确的是（　　）
A．方程4x2＝x只有一个实数根
B．方程x2﹣25＝0有两个相等的实数根
C．方程x2﹣x+3＝0有两个不相等的实数根
D．方程2x2﹣2x+1＝0没有实数根
【分析】A．将原方程变形为一般式，由根的判别式Δ＝1＞0，可得出方程4x2＝x有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝100＞0，进而可得出方程x2﹣25＝0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C．根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝﹣11＜0，进而可得出方程x2﹣x+3＝0没有实数根，选项C不符合题意；
D．根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝﹣4＜0，进而可得出方程2x2﹣2x+1＝0没有实数根，选项D符合题意．
解：A．原方程变形为一般式为4x2﹣x＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×4×0＝1＞0，
∴方程4x2＝x有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣25）＝100＞0，
∴方程x2﹣25＝0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，
∴方程x2﹣x+3＝0没有实数根，选项C不符合题意；
D．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×1＝﹣4＜0，
∴方程2x2﹣2x+1＝0没有实数根，选项D符合题意．
故选：D．
4．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（　　）
A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0
【分析】直接把x＝﹣1代入方程得到a、b、c的关系，从而可对各选项进行判断．
解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0（a≠0）得a﹣b+c＝0．
故选：C．
5．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（　　）
A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点 D．y的值随x的增大而增大
【分析】根据正比例函数的定义与性质判定即可．
解：A、由解析式可得它是正比例函数，故函数图象经过原点，说法正确，不合题意；
B、由k＜0可得图象经过二、四象限，说法正确，不合题意；
C、当x＝时，y＝﹣2，图象经过点（，﹣），说法正确，不合题意；
D、由k＜0可得y的值随x的增大而减小，说法错误，符合题意；
故选：D．
6．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（　　）
A．若方程（x﹣2）（mx+n）＝0是半根方程，则4m2+5mn+n2＝0
B．方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程
C．方程x2﹣4＝0是半根方程
D．若点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，则关于x的方程mx2﹣n＝0是半根方程
【分析】得方程的解后即可利用半根方程的定义进行判断．
解：A．∵方程（x﹣2）（mx+n）＝0是半根方程，且x1＝2，x2＝﹣，
∴﹣＝1或﹣＝4，
∴m+n＝0，4m+n＝0，
∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0，此结论正确．
B．方程x2﹣x﹣2＝0的解为x1＝﹣1、x2＝2，此方程不是半根方程，此结论错误；
C．方程x2﹣4＝0的解为x1＝2、x2＝﹣2，此方程不是半根方程，此结论错误；
D．∵点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，
∴n＝2m，
解方程mx2﹣2m＝0得：x1＝，x2＝﹣，
∴此方程不是半根方程，此结论错误；
故选：A．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．化简：＝　4　．
【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式．
解：，
故答案为：4．
8．如果有意义，那么x的取值范围是 　x＞﹣2　．
【分析】利用二次根式有意义的条件和分母不为0得到x+2＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得x+2＞0，
解得x＞﹣2．
故答案为x＞﹣2．
9．二次根式+4的一个有理化因式是 　﹣4　．
【分析】由（+4） （﹣4）＝a﹣16可得答案．
解：∵（+4） （﹣4）＝a﹣16，
∴+4的一个有理化因式为﹣4，
故答案为：﹣4．
10．化简＝　﹣2　．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
解：＝
故答案为：
11．一元二次方程x2﹣6x+9＝0的实数根是　x1＝x2＝3　．
【分析】先把左边直接配方，得（x﹣3）2＝0，直接开平方即可．
解：配方，得（x﹣3）2＝0，
直接开平方，得x﹣3＝0，
∴方程的解为x1＝x2＝3，
故答案为x1＝x2＝3．
12．已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 　　．
【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性质计算．
解：∵x＝2﹣，
∴（x﹣2）2﹣x＝（2﹣﹣2）2﹣（2﹣）
＝2﹣2+
＝．
故答案为．
13．以3，﹣2为两根，且二次项系数为1的一元二次方程的一般式是 　x2﹣x﹣6＝0（答案不唯一）　．
【分析】设满足题意的一元二次方程为ax2+bx+c＝0，利用根与系数的关系可得出﹣＝1，＝﹣6，代入a＝1可求出b，c的值，进而可得出满足题意的一元二次方程可以为x2﹣x﹣6＝0．
解：设满足题意的一元二次方程为ax2+bx+c＝0．
∵方程的两个根分别为3和﹣2，
∴﹣＝3+（﹣2）＝1，＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴当a＝1时，b＝﹣1，c＝﹣6，
∴满足题意的一元二次方程可以为x2﹣x﹣6＝0．
故答案为：x2﹣x﹣6＝0（答案不唯一）．
14．在实数范围内因式分解：y2﹣2y﹣1＝　（y﹣1+）（y﹣1﹣）　．
【分析】变形整式为y2﹣2y+1﹣2，前三项利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．
解：y2﹣2y﹣1
＝y2﹣2y+1﹣2
＝（y﹣1）2﹣2
＝（y﹣1+）（y﹣1﹣）．
故答案为：（y﹣1+）（y﹣1﹣）．
15．已知f（x）＝，那么＝　　．
【分析】把x＝代入函数关系式进行计算即可．
解：f（）＝＝，
故答案为：．
16．如果函数y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函数．则m的值是　1　．
【分析】由正比例函数的定义：可得m2﹣1＝0，且m+1≠0，然后解关于m的一元二次方程即可．
解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m+1≠0，
解得，m＝1；
故答案为：1．
17．不等式的解集是　x＜﹣﹣　．
【分析】利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可．
解：，
x﹣x＜﹣1，
x＜﹣，
x＜﹣﹣．
故答案为：x＜﹣﹣．
18．若关于x的方程x2+kx+6＝0的根是整数，且k＜0，则k的值是 　﹣5或﹣7　．
【分析】由根与系数的关系得x1 x2＝6，由关于x的方程x2+kx+6＝0的根是整数，且k＜0，得到x1＝﹣2，x2＝﹣3；x1＝﹣1，x2＝﹣6，进一步求得k的值．
解：设于x的方程x2+kx+6＝0的根为x1、x2，则x1 x2＝6，
∵关于x的方程x2+kx+6＝0的根是整数，且k＜0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣3；x1＝﹣1，x2＝﹣6，
∴相应k的值为﹣5或﹣7．
故答案为：﹣5或﹣7．
三、解答题（本大题共9题，19--22每题6分，23-25每题8分，26题10分，满分58分）
19．计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
解：原式＝3+﹣（+）
＝﹣2
＝．
20．化简：8x2（x＞0）．
【分析】根据二次根式有意义的条件和x的取值范围，确定y的取值范围，再根据二次根式的性质和乘除法的法则进行计算即可．
解：∵x＞0，有意义，
∴y＞0，
∴原式＝8x2÷×
＝×
＝2y2．
21．解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】公式法求解可得．
解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴△＝16﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，
则x＝＝．
22．解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．
【分析】将x﹣2看作整体，利用因式分解法求解可得．
解：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0，
（x﹣2）2﹣3（x﹣2）﹣10＝0，
∴（x﹣2﹣5）（x﹣2+2）＝0，即x（x﹣7）＝0，
∴x＝0或x﹣7＝0，
∴x1＝0，x2＝7．
23．化简并求值：，其中x＝．
【分析】利用因式分解的方法把原式变形为 ，利用约分得到原式＝x﹣y，再把x、y的值化简后代入计算即可．
解：原式＝
＝（﹣） （+）
＝x﹣y，
∵x＝＝﹣1，y＝＝，
∴原式＝﹣1﹣
＝﹣1．
24．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论可得出m可取的最大非零整数为﹣1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．
解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×m2＝4﹣8m≥0，
解得：m≤，
∴m的取值范围为m≤．
（2）∵m≤，
∴当m取最大非零整数时，m＝﹣1．
当m＝﹣1时，原方程为x2+4x+1＝0，
解得：x1＝＝﹣2﹣，x2＝＝﹣2+．
∴当m取最大非零整数时，方程的两个根分别为x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+．
25．去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元．
求：（1）该店第二季度的营业额；
（2）该店第三、第四季度营业额的增长率．
【分析】（1）根据某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，可以计算出第二季度的营业额；
（2）根据（1）中的结果和第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元，可以得到方程150（1+x）2＝216，然后求解即可．
解：（1）由题意可得，
第二季度的营业额为：120×（1+25%）＝120×＝150（万元），
答：该店第二季度的营业额为150万元；
（2）设该店第三、第四季度营业额的增长率为x，
150（1+x）2＝216，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：该店第三、第四季度营业额的增长率是20%．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．
（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．
【分析】（1）可得出OA＝OB，∠AOB＝90°，从而求得结果；
（2）求出l的解析式，与y＝2x联立方程组，解得结果；
（3）分为点P在BA上和BA的延长线上，当点P在AB上时，作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，可推出PD＝2PC，代入y＝﹣x+6求得；当点P在BA的延长线上时，作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，求得AP＝BP＝6，进而求得结果．
解：（1）∵A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA
＝
＝
＝45°，
S△AOB＝＝＝18；
（2）设直线AB的解析式是：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
∴，
∴，
∴P（2，4）；
（3）如图1，
设点P（a，b），
当点P在AB上时，
作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，
∵，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴PD＝2PC，
∴a＝2b，
又∵b＝﹣a+6，
∴a＝4，b＝2，
∴P（4，2），
∴直线l的解析式是：y＝x，
如图2，
当点P在BA的延长线上时，
作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，
∴∠AFP＝∠AOB＝90°，
∵，
∴＝，
∴AP＝BP，
∴AP＝AB，
∵∠OAB＝∠PAF，
∴△APF≌△ABO（AAS），
∴AF＝OA＝6，PF＝OB＝6，
∴OF＝12，
∴P（12，﹣6），
∴直线l的解析式是：y＝﹣；
综上所述：直线l的解析式是：y＝或y＝﹣x．