2021-2022学年安徽省合肥五十中天鹅湖教育集团九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省合肥五十中天鹅湖教育集团九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣3，﹣2）
2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），则这个函数的图象一定经过点（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣，4） C．（4，﹣1） D．（，4）
4．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
5．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
6．若一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，就把这样的三角形称为和谐三角形，则下列选项中属于和谐三角形的是（　　）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是图所示的（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（　　）
A．7 B．﹣7 C．﹣5 D．5
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点在边BC上，＝，E为AB边上一点，当EC＝ED时，的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，直线m∥n，AB⊥m，AB＝2，点P是AB中点，点C、D分别是直线m，n上两个动点（不与点A、B重合），且满足PC⊥PD，设AC＝x，BD＝y，y与x的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．请写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数解析式　 　．
12．若线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点且线段BC＜AC，则线段AC＝　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为　 　．
14．如图，有一张矩形纸片ABCD，点E在边AD上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在矩形对角线BD上，点A的对应点为点F，连接CF，若DE＝2，请探究下列问题：
（1）当点F恰好为BD中点时，∠ABE＝　 　°．
（2）当点C、E、F在同一直线上时，AE＝　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值．
16．抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3，求此抛物线的解析式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝2时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1，当x＝﹣1时，求y的值．
18．已知二次函数y＝x2﹣2x+．
（1）求出抛物线的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
20．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）证明：△ACD∽△ABE．
（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．
六、（本题满分12分）
21．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
七、（本题满分12分）
22．如图，现有一块木板余料ABCED，它可以看作是缺了一个角的矩形，∠A＝∠B＝∠D＝90°，AB＝6dm，AD＝10dm，BC＝4dm，ED＝2m，小天同学准备从这块余料中裁出一个矩形AFPQ（P为线段CE上一动点），设AF＝xdm，矩形AFPQ的面积为ydm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小天认为矩形AFPQ的最大面积不会超过28dm2，请通过计算说明小天的想法是否正确？
八、（本题满分14分）
23．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝ax2+x+c交于点A、B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为6，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）若直线PQ∥y轴，与抛物线、直线AB、x轴分别交于点P、Q、D，且点D位于线段OC之间，求线段PQ长度的最大值．
（3）连接BP、CQ，当四边形PQCB是平行四边形时，求点D的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2为抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为（3，2）．
故选：C．
2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：A、因为2x＝3y，两边都除以2y，得＝，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、因为2x＝3y，两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
3．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），则这个函数的图象一定经过点（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣，4） C．（4，﹣1） D．（，4）
【分析】根据反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4）求出k的值，再对各选项进行逐一分析即可．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），
∴k＝（﹣1）×4＝﹣4．
A、∵﹣4×（﹣1）＝4≠﹣4，∴函数图象不过此点，故本选项错误；
B、∵﹣×4＝﹣2≠﹣4，∴函数图象不经过此点，故本选项错误；
C、∵4×（﹣1）＝﹣4，∴函数图象经过此点，故本选项正确；
D、∵＝2≠﹣4，∴，函数图象不过此点，故本选项错误．
故选：C．
4．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
5．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
解：∵抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x﹣3）2+2．
故选：B．
6．若一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，就把这样的三角形称为和谐三角形，则下列选项中属于和谐三角形的是（　　）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】根据相似三角形的性质得到∠ADB＝∠BDC，求得∠ADB＝∠BDC＝×180°＝90°，于是得到∠ABC＝∠ADB＝∠BDC＝90°，推出△ABC为直角三角形．
解：∵△ABD∽△CBD，
∴∠ADB＝∠BDC
又∵∠ADB+∠BDC＝180°，
∴∠ADB＝∠BDC＝×180°＝90°，
∵△ADB∽△ABC，△ABC∽△BDC，
∴∠ABC＝∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：C．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是图所示的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由a＞b＞c，且a+b+c＝0，确定a＞0，c＜0，与x轴交点一个是（1，0），采取排除法即可选出所选答案．
解：∵a+b+c＝0，
即当x＝1时a+b+c＝0，
∵a＞b＞c，
∴定a＞0，c＜0，
故D选项正确．
故选：D．
8．如图，A是反比例函数y＝图象上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数y＝﹣的图象于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（　　）
A．7 B．﹣7 C．﹣5 D．5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BOM＝|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得S△OAB＝S△CAB＝2，根据S△AOM﹣S△BOM＝2，求出k的值即可．
解：如图，连接OA、OB，延长AB交y轴于M，则S△BOM＝|﹣3|＝，S△AOM＝|k|，
∵AB∥x轴，
∴S△OAB＝S△CAB＝2，
即S△AOM﹣S△BOM＝2，
∴|k|﹣＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣7，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点在边BC上，＝，E为AB边上一点，当EC＝ED时，的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点E作EF⊥BC于F，根据比例的性质得＝，再由EF∥AC即可得出答案．
解：过点E作EF⊥BC于F，
∵EC＝ED，EF⊥CD，
∴CF＝DF，
∵＝，
∴＝，
∵EF⊥BC，AC⊥BC，
∴EF∥AC，
∴＝
故选：A．
10．如图，直线m∥n，AB⊥m，AB＝2，点P是AB中点，点C、D分别是直线m，n上两个动点（不与点A、B重合），且满足PC⊥PD，设AC＝x，BD＝y，y与x的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先证得△ACP∽△BPD，得出＝，即可求得答案．
解：∵直线m∥n，AB⊥m，PC⊥PD，
∴∠PAC＝∠PBD＝∠CPD＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝∠APC+∠ACP＝90°，
∴∠ACP＝∠BPD，
∴△ACP∽△BPD，
∴＝，
∵点P是AB中点，
∴AP＝BP＝AB＝1，
∴＝，
∴y＝，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．请写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数解析式　y＝﹣2（x+1）2　．
【分析】开口向下，顶点在x轴上的函数是y＝a（x﹣h）2（a＜0）的形式，举一例即可．
解：开口向下，即a＜0，顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k＝0，例如y＝﹣2（x+1）2．（答案不唯一）
故答案为y＝﹣2（x+1）2．
12．若线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点且线段BC＜AC，则线段AC＝　　．
【分析】根据黄金分割点的定义和黄金比值计算即可．
解：∵点C是AB的黄金分割点，AC＜BC，
∴BC＝AB＝＝﹣1，
故答案为﹣1．
13．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为　﹣　．
【分析】由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则ab＝﹣4，b＝a﹣1，进而求解．
解：函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴b﹣a＝﹣1，
∴＝＝﹣．
故答案为﹣．
14．如图，有一张矩形纸片ABCD，点E在边AD上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在矩形对角线BD上，点A的对应点为点F，连接CF，若DE＝2，请探究下列问题：
（1）当点F恰好为BD中点时，∠ABE＝　30　°．
（2）当点C、E、F在同一直线上时，AE＝　　．
【分析】（1）当点F恰好为BD中点时，由折叠的性质得EF⊥BD，即可求证∠ABE＝∠DBE＝∠ADB＝30°；
（2）当点C、E、F在同一直线上时，易知BF＝BA＝CD，∠BCF＝∠DEC，∠BFC＝∠CDE＝90°，可求证△BFC≌△CDE（AAS），再根据△DEF∽△CED的相似比求解即可．
解：（1）当点F恰好为BD中点时，由折叠的性质得EF⊥BD，
∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
由折叠的性质得∠ABE＝∠EBD，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADB，
又∵∠ABE+∠DBE+∠ADB＝90°，
∴∠ABE＝30°，
故答案为：30；
（2）当点C、E、F在同一直线上时，
根据翻折的性质可知：BF＝BA＝CD，∠BCF＝∠DEC，∠BFC＝∠CDE＝90°，
∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴FC＝DE＝2，
设AE＝x，可得EF＝x，
∵∠DEF＝∠CED，∠EFD＝∠EDC，
∴△DEF∽△CED，
∴DE2＝EF EC，
∴22＝x（x+1），
解得：x＝或x＝（舍去负值），
∴AE＝．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值．
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：设＝＝＝k（k≠0），
则a＝5k，b＝7k，c＝8k，
代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，
解得k＝1，
所以，a＝5，b＝7，c＝8，
所以，2a+4b﹣3c＝2×5+4×7﹣3×8＝10+28﹣24＝14．
16．抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3，求此抛物线的解析式．
【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式解析式，然后把经过的点的坐标代入解析式求解即可．
解：∵抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣1），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣1，
∵抛物线图象经过（0，﹣3），
∴a（0+1）2﹣1＝﹣3，
解得a＝﹣2，
所以，此抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣1．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝2时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1，当x＝﹣1时，求y的值．
【分析】设y1＝，y2＝m（x﹣2），将x＝2，y＝5；x＝1，y＝﹣1代入求出y的解析式求解．
解：设y1＝，y2＝m（x﹣2），
∴y＝﹣m（x﹣2），
将x＝2，y＝5；x＝1，y＝﹣1代入解析式可得：
，
解得，
∴y＝，
当x＝﹣1时，y＝﹣10﹣11﹣22＝﹣43．
18．已知二次函数y＝x2﹣2x+．
（1）求出抛物线的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．
【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；
（2）根据题目中的函数解析式，写出该函数经过的五个点，即可画出该函数的函数图象．
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x+＝，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣）；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2x+，
∴当y＝0时，x1＝1，x2＝3，
当x＝0时，y＝，当x＝4时，y＝，
该函数的图象如右图所示．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
【分析】（1）根据b2﹣4ac与0的关系即可判断出二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点的个数；
（2）在二次函数图象中，底边在x轴的三角形，底边上的两顶点关于直线x＝﹣对称，且底边上的高就在这条直线上．
解：（1）令y＝0，则2x2﹣4x﹣6＝0．
则Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣6）
＝64
∵Δ＞0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点．
（2）根据题意，得
2x2﹣4x﹣6＝0 ①
解①得x1＝﹣1，x2＝3即A（﹣1，0），B（3，0），
∴在△ABP中，AB＝4，
∵PC＝|＝|＝8，
∴在△ABP中，S△ABP＝＝＝16
∴三角形ABP的面积是16．
20．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）证明：△ACD∽△ABE．
（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．
【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；
（2）根据第一问可得到AD：AE＝AC：AB，有一组公共角∠A，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．
【解答】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE．
（2）连接DE，
∵△ACD∽△ABE，
∴AD：AE＝AC：AB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
六、（本题满分12分）
21．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
解：（1）把A（﹣4，2）代入y＝，得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（n，﹣4）代入y＝﹣，得﹣4n＝﹣8，
解得n＝2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y＝kx+b，得
，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
七、（本题满分12分）
22．如图，现有一块木板余料ABCED，它可以看作是缺了一个角的矩形，∠A＝∠B＝∠D＝90°，AB＝6dm，AD＝10dm，BC＝4dm，ED＝2m，小天同学准备从这块余料中裁出一个矩形AFPQ（P为线段CE上一动点），设AF＝xdm，矩形AFPQ的面积为ydm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小天认为矩形AFPQ的最大面积不会超过28dm2，请通过计算说明小天的想法是否正确？
【分析】（1）分别延长DE，FP，与BC的延长线相交于G，H，由AF＝x知CH＝x﹣4，根据＝，可得z＝，利用矩形的面积公式即可得出解析式；
（2）将（1）中所得解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质解答可得．
解：（1）分别延长DE，FP，与BC的延长线相交于G，H，
∵AF＝x，
∴CH＝x﹣4，
设AQ＝z，PH＝BQ＝6﹣z，
∵PH∥EG，
∴＝，即＝，
化简得z＝，
∴y＝ x＝﹣x2+x （4≤x≤10）；
（2）y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝dm时，y取最大值，最大值是＝28＞28，
∵矩形AFPQ的最大面积超过28dm2．
∴小天的想法不正确．
八、（本题满分14分）
23．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝ax2+x+c交于点A、B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为6，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）若直线PQ∥y轴，与抛物线、直线AB、x轴分别交于点P、Q、D，且点D位于线段OC之间，求线段PQ长度的最大值．
（3）连接BP、CQ，当四边形PQCB是平行四边形时，求点D的坐标．
【分析】（1）把x＝0和x＝6代入直线解析式求出点A，B坐标，再将两点坐标代入抛物线解析式求解．
（2）设点P坐标为（m，﹣m2+m﹣1），用含m代数式表示PQ长度，通过配方求解．
（3）根据平行四边形的性质可得PQ＝BC，进而求解．
解：（1）把x＝0代入y＝x﹣1得y＝﹣1，
∴点A坐标为（0，﹣1），
把x＝6代入y＝x﹣1得y＝3﹣1＝2，
∴点B坐标为（6，2），
把（0，﹣1），（6，2）代入y＝ax2+x+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+x﹣1．
（2）设点P坐标为（m，﹣m2+m﹣1），
∵PQ∥y轴，
∴点Q横坐标为m，
把x＝m代入y＝x﹣1得y＝m﹣1，
∴点Q坐标为（m，m﹣1），
∴PQ＝﹣m2+m﹣1﹣（m﹣1）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣3）2+，
∴m＝3时，PQ长度有最大值为．
（3）∵BC⊥x轴，
∴BC∥PQ，且BC＝2，
当PQ＝BC＝2时，四边形PQCB是平行四边形，
即﹣m2+3m＝2，
解得m＝3+或m＝3﹣，
∴点D坐标为（3+，0）或（3﹣，0）．