人教版八年级上册 12.3《探究角的平分线的性质》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册 12.3《探究角的平分线的性质》教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 106.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-02 10:53:49 | ||
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文档简介
《探究角的平分线的性质》教学设计
1. 教学目标
1.1 知识与技能：
[1]会用尺规作图画定角的角平分线，并能用全等三角形的判定解释其原理。
[2]掌握角平分线的性质，会运用性质解决相关问题，并能证明这一命题。
[3]掌握角平分线的判定定理，理解角平分线的判定定理和性质定理的关系。
1.2过程与方法 ：
[1]在学分线判定和性质的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
[2]通过证明角分线的性质定理和判定定理，让学生体验和掌握证明几何命题的方法。
1.3 情感态度与价值观 ：
[1]在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，激发同学学探究问题的兴趣，培养动手操作的能力和探索精神。
2. 教学重点/难点
2.1 教学重点
[1]角的平分线的性质及判定定理。
[2]尺规画定角平分线。
2.2 教学难点
[1]自主证明两个定理（学生在清楚拿出已知和求证上存在困难）。
[2]性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．。
教学过程
1 引入新课
【师】同学们好。这节课开始，我们先来看这样一个问题。现在我手里有一张用纸做的角，怎样不利用其他工具把它平分？
【生】对折一下把两边重合就可以了。
【师】同学们真聪明，那如果我现在打开，这条折痕和这个角有什么关系呢？
【生】这条线是这个角的角平分线。
【师】那如果我们手里的这个角是用钢板做的，不能对折，这下该怎么平分呢？这就是我们今天要学习的内容
【板书】
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
2 新知介绍
[1] 尺规作图：画一个角的平分线
【师】在探究怎样画角分线之前，我们先来这样一个例子，请大家看投影（投影给出教材上刚开始的“思考”）。如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，则AC所在直线就是这个角的平分线。你能说明这是为什么吗？
【生】（思考，交流，引导学生自主给出答案，因为难度不大，只是证明三角形SSS全等）
【师】通过刚才的启发，给我们提供了一个仅用尺规作图，就能画出角分线的思路？现在请大家拿出尺规，跟我一起画。
【PPT/板书】
一、尺规作角分线
理论依据：三角形SSS全等
[1] 角平分线的性质
【师】大家刚才都画好了一个角和它的平分线。下面大家动手再画几笔，在你刚才画好的角平分线OC上任意取一点P，过点P画出OA和OB的垂线段，分别记垂足为D，E。PD和PE的长度有什么关系？
【生】似乎PD=PE。
【师】那在OC上再取几个点试一下，并和你的伙伴交流结论，你们发现角平分线有什么性质？
【生】经过测量，PD=PE总成立。经过讨论，我们猜想：角分线上的点到角两边的距离相等。
【师】只有通过严密的证明，才能让人信服。那怎么证明你们的猜想呢？在大家证明之前，我们先介绍一下，怎样证明几何命题。证明几何命题，首先要明确已知和求证，那大家要证明的这个猜想中，已知和求证分别是什么？
【生】已知：一个点在一个角的平分线上。求证：这个点到这个角两边的距离相等。
【师】明确了已知和求证之后，为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明前要画出图形，并用数学符号表示已知和求证。由已知分析出证明途径，写出证明过程。那下面大家跟老师一起来，画出图形，完成证明。请大家看投影。（放映PPT）
【师】经过刚才的证明，大家的猜想得到了验证，也就是说，任意一个角的角平分线都有这样的性质：角分线上的点到角两边的距离相等。（PPT演示，并给出数学语言介绍）
【板书/PPT】
二、角平分线的性质
1．角分线上的点到角两边的距离相等。
2．数学语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
[1] 角平分线判定定理
【师】我们刚刚学习了角分线的性质，但是实际生活中，很可能是不知道角分线的，因此下面我们来看一个实际生活中的例子。（PPT给出教材上的第三个思考）大家看投影，要在S区建一个集贸中心，使它到铁路、公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸中心应建在哪里？大家想一想。
【生】这个点应该在交叉的角的平分线上吧。
【师】看起来有道理，但是不能直接下结论。刚才我们学的，是已知一个角分线，可以知道角分线上每个点到角两边的距离都相等。但是，这个定理反过来可不一定成立。要想使人信服，还得需要证明这个命题。这一次，大家仿照刚才的例子，只是把已知和求证换一下，之后看看，怎样用全等三角形去证明你们的猜想。
【生】（在教师引导下给出判定定理的证明）
【师】经过刚才的证明，大家的猜想得到了验证，也就是说，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，这就是角的平分线的判定定理。（PPT演示，并给出数学语言介绍）这个定理告诉我们，一个角的平分线实际上是一系列特殊的点的集合，这些点都满足这个条件：到角的两边距离相等。
【板书/PPT】
三、角平分线的判定
1.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
2.数学语言：
∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE
∴OP是∠AOB的平分线
【师】我们之间就学习了三角形的角分线，之前谈到过，三条角分线一定交于一点，不过当时我们没有给出证明，而只是通过画图的方法给出了印证。现在我们学习了角分线的性质和判定定理，怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例题，请大家看投影。（投影上给出教材50页例题）。已知，△ABC的平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。大家首先自己动手做做看。
【生】（几分钟时间自主完成题目，之后老师给出统一的证明思路）
【师】大家刚才得到了点P到三边AB，BC，CA的距离相等，那根据PF=PD，且PD⊥AB，PF⊥AC的事实，你现在能得到什么结论。
【生】点P也在∠A的平分线上，也就是说，点A是三角形三条角平分线的交点。
[1] 课堂练习
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB垂直于OB于B，下列结论一定成立的是（ ）
A. PA=PB
B. PO平分∠APB
C. OA=OB
D. 以上都一定成立
2. 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（ ）
A. 线段CD的中点
B. CD与过点O做CD垂线的交点
C. CD与∠AOB的平分线交点
D. CD上任意一点
3.如图，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1和∠2的大小关系是（ ）
A. ∠1=∠2
B. ∠1>∠2
C. ∠1<∠2
D. 无法确定
4.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF。求证：CF=EB。
[2] 作业布置
1、完成配套课后练习题
2、预习提纲：
13.1 轴对称
板书
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
一、尺规作角分线
理论依据：三角形SSS全等
二、角平分线的性质
1． 角分线上的点到角两边的距离相等。
2． 数学语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
1. 教学目标
1.1 知识与技能：
[1]会用尺规作图画定角的角平分线，并能用全等三角形的判定解释其原理。
[2]掌握角平分线的性质，会运用性质解决相关问题，并能证明这一命题。
[3]掌握角平分线的判定定理，理解角平分线的判定定理和性质定理的关系。
1.2过程与方法 ：
[1]在学分线判定和性质的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
[2]通过证明角分线的性质定理和判定定理，让学生体验和掌握证明几何命题的方法。
1.3 情感态度与价值观 ：
[1]在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，激发同学学探究问题的兴趣，培养动手操作的能力和探索精神。
2. 教学重点/难点
2.1 教学重点
[1]角的平分线的性质及判定定理。
[2]尺规画定角平分线。
2.2 教学难点
[1]自主证明两个定理（学生在清楚拿出已知和求证上存在困难）。
[2]性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．。
教学过程
1 引入新课
【师】同学们好。这节课开始，我们先来看这样一个问题。现在我手里有一张用纸做的角，怎样不利用其他工具把它平分？
【生】对折一下把两边重合就可以了。
【师】同学们真聪明，那如果我现在打开，这条折痕和这个角有什么关系呢？
【生】这条线是这个角的角平分线。
【师】那如果我们手里的这个角是用钢板做的，不能对折，这下该怎么平分呢？这就是我们今天要学习的内容
【板书】
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
2 新知介绍
[1] 尺规作图：画一个角的平分线
【师】在探究怎样画角分线之前，我们先来这样一个例子，请大家看投影（投影给出教材上刚开始的“思考”）。如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，则AC所在直线就是这个角的平分线。你能说明这是为什么吗？
【生】（思考，交流，引导学生自主给出答案，因为难度不大，只是证明三角形SSS全等）
【师】通过刚才的启发，给我们提供了一个仅用尺规作图，就能画出角分线的思路？现在请大家拿出尺规，跟我一起画。
【PPT/板书】
一、尺规作角分线
理论依据：三角形SSS全等
[1] 角平分线的性质
【师】大家刚才都画好了一个角和它的平分线。下面大家动手再画几笔，在你刚才画好的角平分线OC上任意取一点P，过点P画出OA和OB的垂线段，分别记垂足为D，E。PD和PE的长度有什么关系？
【生】似乎PD=PE。
【师】那在OC上再取几个点试一下，并和你的伙伴交流结论，你们发现角平分线有什么性质？
【生】经过测量，PD=PE总成立。经过讨论，我们猜想：角分线上的点到角两边的距离相等。
【师】只有通过严密的证明，才能让人信服。那怎么证明你们的猜想呢？在大家证明之前，我们先介绍一下，怎样证明几何命题。证明几何命题，首先要明确已知和求证，那大家要证明的这个猜想中，已知和求证分别是什么？
【生】已知：一个点在一个角的平分线上。求证：这个点到这个角两边的距离相等。
【师】明确了已知和求证之后，为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明前要画出图形，并用数学符号表示已知和求证。由已知分析出证明途径，写出证明过程。那下面大家跟老师一起来，画出图形，完成证明。请大家看投影。（放映PPT）
【师】经过刚才的证明，大家的猜想得到了验证，也就是说，任意一个角的角平分线都有这样的性质：角分线上的点到角两边的距离相等。（PPT演示，并给出数学语言介绍）
【板书/PPT】
二、角平分线的性质
1．角分线上的点到角两边的距离相等。
2．数学语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
[1] 角平分线判定定理
【师】我们刚刚学习了角分线的性质，但是实际生活中，很可能是不知道角分线的，因此下面我们来看一个实际生活中的例子。（PPT给出教材上的第三个思考）大家看投影，要在S区建一个集贸中心，使它到铁路、公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸中心应建在哪里？大家想一想。
【生】这个点应该在交叉的角的平分线上吧。
【师】看起来有道理，但是不能直接下结论。刚才我们学的，是已知一个角分线，可以知道角分线上每个点到角两边的距离都相等。但是，这个定理反过来可不一定成立。要想使人信服，还得需要证明这个命题。这一次，大家仿照刚才的例子，只是把已知和求证换一下，之后看看，怎样用全等三角形去证明你们的猜想。
【生】（在教师引导下给出判定定理的证明）
【师】经过刚才的证明，大家的猜想得到了验证，也就是说，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，这就是角的平分线的判定定理。（PPT演示，并给出数学语言介绍）这个定理告诉我们，一个角的平分线实际上是一系列特殊的点的集合，这些点都满足这个条件：到角的两边距离相等。
【板书/PPT】
三、角平分线的判定
1.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
2.数学语言：
∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE
∴OP是∠AOB的平分线
【师】我们之间就学习了三角形的角分线，之前谈到过，三条角分线一定交于一点，不过当时我们没有给出证明，而只是通过画图的方法给出了印证。现在我们学习了角分线的性质和判定定理，怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例题，请大家看投影。（投影上给出教材50页例题）。已知，△ABC的平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。大家首先自己动手做做看。
【生】（几分钟时间自主完成题目，之后老师给出统一的证明思路）
【师】大家刚才得到了点P到三边AB，BC，CA的距离相等，那根据PF=PD，且PD⊥AB，PF⊥AC的事实，你现在能得到什么结论。
【生】点P也在∠A的平分线上，也就是说，点A是三角形三条角平分线的交点。
[1] 课堂练习
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB垂直于OB于B，下列结论一定成立的是（ ）
A. PA=PB
B. PO平分∠APB
C. OA=OB
D. 以上都一定成立
2. 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（ ）
A. 线段CD的中点
B. CD与过点O做CD垂线的交点
C. CD与∠AOB的平分线交点
D. CD上任意一点
3.如图，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1和∠2的大小关系是（ ）
A. ∠1=∠2
B. ∠1>∠2
C. ∠1<∠2
D. 无法确定
4.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF。求证：CF=EB。
[2] 作业布置
1、完成配套课后练习题
2、预习提纲：
13.1 轴对称
板书
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
一、尺规作角分线
理论依据：三角形SSS全等
二、角平分线的性质
1． 角分线上的点到角两边的距离相等。
2． 数学语言：
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE