2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质习题精选（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象与性质习题精选（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 360.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-02 12:18:00 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》习题精选（附答案）
1．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．图象与x轴有两个交点
2．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
4．已知抛物线y＝x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1，最小值是2
B．对称轴是直线x＝1，最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2
D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2
6．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，与x轴交点为（﹣1，0）和（2，0），关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当x＜，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
8．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
9．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A．B． C．D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
11．二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为 ．
12．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 ．
13．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ．
14．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
15．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ．
16．对于实数p，q，且（p≠q），我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，min{﹣，﹣}＝ ；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ ．
17．二次函数y＝﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 ．
18．已知函数y＝﹣x2﹣2x，当 时，函数值y随x的增大而增大．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 ．
20．二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为 ．
22．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
23．二次函数y＝x2+2x﹣4的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0． 其中，正确结论的有 ．
25．已知二次函数y＝ax2﹣bx+2（a≠0）图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的取值范围是 ；若a+b的值为非零整数，则b的值为 ．
26．已知抛物线y＝+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线y＝+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是 ．
27．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为 ．
28．抛物线y＝x2﹣6x+1的顶点坐标是 ．
29．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
30．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．
31．如图，已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，且与一次函数y＝﹣x+1交于点B和点C．
（1）求k的值；
（2）求△ABC的面积．
32．设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a＝﹣c，b＝2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝nx2+x，函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，求n．
33．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）．
（1）当m＝1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长．
（2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
34．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4.3 3.2 0 ﹣2.2 ﹣1.4 0 2.8 3.7 4 3.7 2.8 0 ﹣1.4 ﹣2.2 m 3.2 4.3 …
其中m＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程x4﹣5x2+4＝0有 个互不相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
参考答案
1．解：∵二次函数y＝﹣+x﹣4可化为y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
又∵a＝﹣＜0
∴当x＝2时，二次函数y＝﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．
故选：B．
2．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，
∴3a2+3a﹣6＝0，
∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．
故选：D．
3．解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），
∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；
而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，
∴x≤3，
∴x﹣m≤0，
∴m≥3．
故选：C．
4．解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（，3），
∴ME＝3，FM＝＝2，
∴△PMF周长的最小值＝ME+FM＝3+2＝5．
故选：C．
5．解：由抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣1）2+2，
可知：对称轴x＝1，
开口方向向下，所以有最大值y＝2，
故选：B．
6．解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，
故选：D．
7．解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x＝，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
8．解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
9．解：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x＝＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选：B．
10．解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵图象开口向上，∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵图象与y轴交于x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②正确；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，
故二次函数y＝ax2+bx+c向上平移小于2个单位，则平移后解析式y＝ax2+bx+c﹣m与x轴有两个交点，此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，
故﹣m＜2，
解得：m＞﹣2，
故④正确．
故选：B．
11．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
12．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
13．解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），
∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，﹣．
14．解：，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝＝3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，
∴△PAB的面积是：＝，
故答案为：．
15．解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y＝﹣x有一个交点，
∴m＞0，
∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，
∴x+m＝﹣x2+2x，
△＝1﹣4m＞0，
∴m＜，
∴0＜m＜；
故答案为0＜m＜．
16．方法一：
解：min{﹣，﹣}＝﹣，
∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则（x﹣1）2＝1，
x﹣1＝±1，
x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，
解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则x2＝1，
解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣1，
综上所述：x的值为：2或﹣1．
故答案为：；2或﹣1．
方法二：
解：如图1，在同一坐标系内，作出函数y1＝x2与y2＝（x﹣1）2的图象，
∵min{p，q}表示p，q两数中较小的数，
令y＝min{（x﹣1）2，x2}，其图象如图2，由图象可知，y＝1时，自变量x的值为2或﹣1．
17．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3
＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2
＝﹣（x﹣1）2﹣2，
故顶点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
18．解：∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：x＜﹣1．
19．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1，）代入得＝k
∴y＝（）x
将点B（4，）代入得＝（）×4
解得a＝2
故答案为：2．
20．解：∵y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3
＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
21．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，
∴2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，
解得，k＝．
22．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
23．解：∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，
∴该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5），
故答案为：直线x＝﹣1，（﹣1，﹣5）．
24．解：由二次函数的图象与x轴两个交点可知，b2﹣4ac＞0，故①正确；
由二次函数的图象可知，开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0（左同右异），图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＞0，故②正确；
由图象可知：，则b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，则y＝4a﹣2×（﹣2a）+c＞0，即8a+c＞0，故③正确；
由图象可知：此函数的对称轴为x＝1，当x＝﹣1时和x＝3时的函数相等并且都小于0，故x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故④正确；
故答案为：①②③④．
25．解：依题意知a＜0，﹣＜0，a﹣b+2＝0，
故b＞0，且b＝a+2，a+b＝a+a+2＝2a+2，
∴a+2＞0，
∴﹣2＜a＜0，
∴﹣2＜2a+2＜2，
∵a+b的值为非零整数，
∴a+b的值为﹣1，1，
∴2a+2＝﹣1或2a+2＝1，
∴a＝﹣或a＝﹣，
∵b＝a+2，
∴b＝或b＝．
故答案为﹣2＜a＜0；或．
26．解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．
∵点P′在抛物线上，
∴P′F＝P′E．
又∵点到直线之间垂线段最短，MF＝＝2，
∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF＝3+2＝5．
故答案为：5．
27．解：∵抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
即m2﹣36＝0，
解得m＝±6．
故答案为：±6．
28．解：∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8
∴顶点坐标为（3，﹣8），
故答案为：（3，﹣8）．
29．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝2，
∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①当m＝2时，n＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11；
30．解：（1）∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点A（0，﹣3），
∴点A关于x轴的对称点B（0，3），l为直线y＝3，
∵直线y＝2x﹣3与直线l交于点C，
∴点C坐标为（3，3），
（2）∵抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0），
∴y＝nx2﹣4nx+4n+n＝n（x﹣2）2+n（n＞0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，n），
∵点B（0，3），点C（3，3），
①当n＞3时，抛物线的最小值为n＞3，与线段BC无公共点；
②当n＝3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；
③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与直线BC有两个公共点；
如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n经过点B，则3＝5n，解得n＝，
由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（4，3），
点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；
如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n经过点C，则3＝2n，解得n＝，
由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（1，3），
点（1，3）在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；
综上所述，当≤n＜或n＝3时，抛物线与线段BC有一个公共点．
31．解；（1）∵抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，
∴＝0，且﹣＜0，
解得，k＝﹣3；
（2）∵k＝﹣3，
∴抛物线为y＝x2+2x+1，
解x2+2x+1＝﹣x+1得，x1＝0，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，4），C（0，1），
由直线y＝﹣x+1可知与x轴的交点D为（1，0），
∵抛物线为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
∴AD＝2，
∴S△ABC＝×2×4﹣＝3．
32．解：（1）∵y＝x2+x+1，
∴y＝，
∴二次函数y＝x2+x+1的顶点坐标为（﹣，），
∴二次函数y＝x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），
∴反倍顶二次函数的解析式为y＝x2﹣x+；
（2）y1+y2＝x2+nx+nx2+x＝（n+1）x2+（n+1）x，
y1+y2＝（n+1）（x2+x+）﹣，
顶点坐标为（﹣，﹣），
y1﹣y2＝x2+nx﹣nx2﹣x＝（1﹣n）x2+（n﹣1）x，
y1﹣y2＝（1﹣n）（x2﹣x+）﹣，
顶点坐标为（，﹣），
由于函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，
则﹣2×＝﹣，
解得n＝．
33．解：（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，
直线被抛物线G截得的线段长为，
画出的两个函数的图象如图所示：
（2）无论m取何值，点C，D都在直线上．理由如下：
∵抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，
∴点C的坐标为C（0，m﹣1），
∵y＝mx2+2mx+m﹣1＝m（x+1）2﹣1，
∴抛物线G的顶点D的坐标为（﹣1，﹣1），
对于直线：y＝mx+m﹣1（m≠0），
当x＝0时，y＝m﹣1，
当x＝﹣1时，y＝m×（﹣1）+m﹣1＝﹣1，
∴无论m取何值，点C，D都在直线上；
（3）解方程组，
得，或，
∴直线与抛物线G的交点为（0，m﹣1），（﹣1，﹣1）．
∵直线被抛物线G截得的线段长不小于2，
∴≥2，
∴1+m2≥4，m2≥3，
∴m≤﹣或m≥，
∴m的取值范围是m≤﹣或m≥．
34．解：（1）观察对应数值表可知：m＝0，
（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：
（3）观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于y轴对称；
（4）①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4﹣5x2+4＝0有4互不相等的实数根，
故答案为4；
②函数图象可知，当x2＞x1＞2时，y1＜y2；
故答案为＜；
③观察函数图象，结合对应数值表可知：﹣2.2＜a＜4，
故答案为：﹣2.2＜a＜4．
1．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．图象与x轴有两个交点
2．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
3．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
4．已知抛物线y＝x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1，最小值是2
B．对称轴是直线x＝1，最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2
D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2
6．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，与x轴交点为（﹣1，0）和（2，0），关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当x＜，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
8．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
9．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A．B． C．D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
11．二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为 ．
12．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 ．
13．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是 ．
14．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
15．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 ．
16．对于实数p，q，且（p≠q），我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，min{﹣，﹣}＝ ；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ ．
17．二次函数y＝﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 ．
18．已知函数y＝﹣x2﹣2x，当 时，函数值y随x的增大而增大．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 ．
20．二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为 ．
22．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
23．二次函数y＝x2+2x﹣4的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0． 其中，正确结论的有 ．
25．已知二次函数y＝ax2﹣bx+2（a≠0）图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的取值范围是 ；若a+b的值为非零整数，则b的值为 ．
26．已知抛物线y＝+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线y＝+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是 ．
27．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为 ．
28．抛物线y＝x2﹣6x+1的顶点坐标是 ．
29．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
30．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．
31．如图，已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，且与一次函数y＝﹣x+1交于点B和点C．
（1）求k的值；
（2）求△ABC的面积．
32．设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a＝﹣c，b＝2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝nx2+x，函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，求n．
33．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）．
（1）当m＝1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长．
（2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
34．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4.3 3.2 0 ﹣2.2 ﹣1.4 0 2.8 3.7 4 3.7 2.8 0 ﹣1.4 ﹣2.2 m 3.2 4.3 …
其中m＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程x4﹣5x2+4＝0有 个互不相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
参考答案
1．解：∵二次函数y＝﹣+x﹣4可化为y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
又∵a＝﹣＜0
∴当x＝2时，二次函数y＝﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．
故选：B．
2．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，
∴3a2+3a﹣6＝0，
∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．
故选：D．
3．解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），
∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；
而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，
∴x≤3，
∴x﹣m≤0，
∴m≥3．
故选：C．
4．解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（，3），
∴ME＝3，FM＝＝2，
∴△PMF周长的最小值＝ME+FM＝3+2＝5．
故选：C．
5．解：由抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣1）2+2，
可知：对称轴x＝1，
开口方向向下，所以有最大值y＝2，
故选：B．
6．解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，
故选：D．
7．解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x＝，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
8．解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
9．解：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x＝＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选：B．
10．解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵图象开口向上，∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵图象与y轴交于x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②正确；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，
故二次函数y＝ax2+bx+c向上平移小于2个单位，则平移后解析式y＝ax2+bx+c﹣m与x轴有两个交点，此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，
故﹣m＜2，
解得：m＞﹣2，
故④正确．
故选：B．
11．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
12．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
13．解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），
∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，﹣．
14．解：，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝＝3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，
∴△PAB的面积是：＝，
故答案为：．
15．解：直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y＝﹣x有一个交点，
∴m＞0，
∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，
∴x+m＝﹣x2+2x，
△＝1﹣4m＞0，
∴m＜，
∴0＜m＜；
故答案为0＜m＜．
16．方法一：
解：min{﹣，﹣}＝﹣，
∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则（x﹣1）2＝1，
x﹣1＝±1，
x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，
解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则x2＝1，
解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣1，
综上所述：x的值为：2或﹣1．
故答案为：；2或﹣1．
方法二：
解：如图1，在同一坐标系内，作出函数y1＝x2与y2＝（x﹣1）2的图象，
∵min{p，q}表示p，q两数中较小的数，
令y＝min{（x﹣1）2，x2}，其图象如图2，由图象可知，y＝1时，自变量x的值为2或﹣1．
17．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3
＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2
＝﹣（x﹣1）2﹣2，
故顶点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
18．解：∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：x＜﹣1．
19．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1，）代入得＝k
∴y＝（）x
将点B（4，）代入得＝（）×4
解得a＝2
故答案为：2．
20．解：∵y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3
＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
21．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，
∴2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，
解得，k＝．
22．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
23．解：∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，
∴该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5），
故答案为：直线x＝﹣1，（﹣1，﹣5）．
24．解：由二次函数的图象与x轴两个交点可知，b2﹣4ac＞0，故①正确；
由二次函数的图象可知，开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0（左同右异），图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＞0，故②正确；
由图象可知：，则b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，则y＝4a﹣2×（﹣2a）+c＞0，即8a+c＞0，故③正确；
由图象可知：此函数的对称轴为x＝1，当x＝﹣1时和x＝3时的函数相等并且都小于0，故x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故④正确；
故答案为：①②③④．
25．解：依题意知a＜0，﹣＜0，a﹣b+2＝0，
故b＞0，且b＝a+2，a+b＝a+a+2＝2a+2，
∴a+2＞0，
∴﹣2＜a＜0，
∴﹣2＜2a+2＜2，
∵a+b的值为非零整数，
∴a+b的值为﹣1，1，
∴2a+2＝﹣1或2a+2＝1，
∴a＝﹣或a＝﹣，
∵b＝a+2，
∴b＝或b＝．
故答案为﹣2＜a＜0；或．
26．解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．
∵点P′在抛物线上，
∴P′F＝P′E．
又∵点到直线之间垂线段最短，MF＝＝2，
∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF＝3+2＝5．
故答案为：5．
27．解：∵抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
即m2﹣36＝0，
解得m＝±6．
故答案为：±6．
28．解：∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8
∴顶点坐标为（3，﹣8），
故答案为：（3，﹣8）．
29．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝2，
∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①当m＝2时，n＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11；
30．解：（1）∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点A（0，﹣3），
∴点A关于x轴的对称点B（0，3），l为直线y＝3，
∵直线y＝2x﹣3与直线l交于点C，
∴点C坐标为（3，3），
（2）∵抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0），
∴y＝nx2﹣4nx+4n+n＝n（x﹣2）2+n（n＞0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，n），
∵点B（0，3），点C（3，3），
①当n＞3时，抛物线的最小值为n＞3，与线段BC无公共点；
②当n＝3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；
③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与直线BC有两个公共点；
如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n经过点B，则3＝5n，解得n＝，
由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（4，3），
点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；
如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n经过点C，则3＝2n，解得n＝，
由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（1，3），
点（1，3）在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；
综上所述，当≤n＜或n＝3时，抛物线与线段BC有一个公共点．
31．解；（1）∵抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，
∴＝0，且﹣＜0，
解得，k＝﹣3；
（2）∵k＝﹣3，
∴抛物线为y＝x2+2x+1，
解x2+2x+1＝﹣x+1得，x1＝0，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，4），C（0，1），
由直线y＝﹣x+1可知与x轴的交点D为（1，0），
∵抛物线为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
∴AD＝2，
∴S△ABC＝×2×4﹣＝3．
32．解：（1）∵y＝x2+x+1，
∴y＝，
∴二次函数y＝x2+x+1的顶点坐标为（﹣，），
∴二次函数y＝x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），
∴反倍顶二次函数的解析式为y＝x2﹣x+；
（2）y1+y2＝x2+nx+nx2+x＝（n+1）x2+（n+1）x，
y1+y2＝（n+1）（x2+x+）﹣，
顶点坐标为（﹣，﹣），
y1﹣y2＝x2+nx﹣nx2﹣x＝（1﹣n）x2+（n﹣1）x，
y1﹣y2＝（1﹣n）（x2﹣x+）﹣，
顶点坐标为（，﹣），
由于函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，
则﹣2×＝﹣，
解得n＝．
33．解：（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，
直线被抛物线G截得的线段长为，
画出的两个函数的图象如图所示：
（2）无论m取何值，点C，D都在直线上．理由如下：
∵抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，
∴点C的坐标为C（0，m﹣1），
∵y＝mx2+2mx+m﹣1＝m（x+1）2﹣1，
∴抛物线G的顶点D的坐标为（﹣1，﹣1），
对于直线：y＝mx+m﹣1（m≠0），
当x＝0时，y＝m﹣1，
当x＝﹣1时，y＝m×（﹣1）+m﹣1＝﹣1，
∴无论m取何值，点C，D都在直线上；
（3）解方程组，
得，或，
∴直线与抛物线G的交点为（0，m﹣1），（﹣1，﹣1）．
∵直线被抛物线G截得的线段长不小于2，
∴≥2，
∴1+m2≥4，m2≥3，
∴m≤﹣或m≥，
∴m的取值范围是m≤﹣或m≥．
34．解：（1）观察对应数值表可知：m＝0，
（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：
（3）观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于y轴对称；
（4）①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4﹣5x2+4＝0有4互不相等的实数根，
故答案为4；
②函数图象可知，当x2＞x1＞2时，y1＜y2；
故答案为＜；
③观察函数图象，结合对应数值表可知：﹣2.2＜a＜4，
故答案为：﹣2.2＜a＜4．