2021-2022学年冀教版八年级数学上册 17.2直角三角形 优生辅导训练 （word版含解析）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.2直角三角形》优生辅导训练（附答案）
1．将直尺和一个含45°角的直角三角尺如图放置．若∠1＝30°，则∠2的度数是（　　）
A．75° B．65° C．45° D．30°
2．如图一块含45°的三角板（∠ABC＝90°）右侧作以AC为斜边的Rt△ACD，过点B作AC的垂线，分别交AC、AD于点E、F，连接DE．设∠BFD＝α，∠BED＝β，则（　　）
A．3α+2β＝600° B．2α+β＝360° C．3α﹣2β＝90° D．2α﹣β＝90°
3．如图，将直角边长为a（a＞1）的等腰直角三角形ABC沿BC向右平移1个单位长度，得到三角形DEF，则图中阴影部分面积为（　　）
A．a﹣ B．a﹣1 C．a+1 D．a2﹣1
4．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
5．下列说法中错误的是（　　）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
6．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB＝6，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE：AD＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．14
7．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2022个正方形的边长a2022为（　　）
A．a2012＝4（）2021 B．a2012＝2（）2021
C．a2012＝4（）2022 D．a2012＝2（）2022
8．如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，以AC为底边向下作等腰直角三角形ACE，AC＝a．以BD为底边向上作等腰三角形BDF，BD＝b，FB＝FD＝b，记△CDE与△ABF的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（　　）
A． B． C． D．
9．如图，等腰直角三角形ABC，∠B＝90°，沿DE（∠DEB＝45°）剪去△BDE（3BE＜AB），取AE中点F，沿FG（FG⊥AE）剪去△AGF，作GH⊥CD，沿GH剪去△GCH，记S△BDE＝S1，S△AGF＝S2，S△CGH＝S3，五边形DEFGH的面积为S4，若S2+S3﹣S4＝6，则S1＝（　　）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）
A．32° B．64° C．77° D．87°
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以1cm/s的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．连接AQ，交射线BD于点E．设点P运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，△BQE的面积始终是△APE的面积的2倍，为什么？
（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BPE和∠BQE相等．
12．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．
13．在平面内，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中三角形ABC为含60°角的直角三角板，三角形BDE为含45°角的直角三角板．
（1）如图1，若点D在AB上，则∠EBC的度数为　 　；
（2）如图2，若∠EBC＝170°，则∠α的度数为　 　；
（3）如图3，若∠EBC＝118°，求∠α的度数；
（4）如图3，若0°＜∠α＜60°，求∠ABE﹣∠DBC的度数．
14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按图1方式叠放在一起（其中∠C＝30°，∠CDO＝60°，∠OAB＝∠OBA＝45°）．△COD绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒10°，若旋转时间为t秒，请回答下列问题：（请直接写出答案）
（1）当0＜t＜9时（如图2），∠BOC与∠AOD有何数量关系？
（2）当t为何值时，边OA∥CD？
15．直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝α．
（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠α＝60°，∠FAC＝30°．试说明：EF∥GH；
（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C、B分别在直线EF、GH上，且BC平分∠ABH．求∠ECA的度数；（用α的代数式表示）
（3）在（2）的前提下，直线CD平分∠FCA交直线GH于D，如图3．在α取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化请求出变化的范围．
16．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．
（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；
（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．
17．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，点O为斜边AC的中点，连接OB，过点A作∠BAC的平分线，分别与OB、BC相交于点E、F．
（1）求证：CF＝2EO；
（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的直角三角形（等腰直角三角形除外）．
18．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；
（2）如图2，如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向点B运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1cm的速度向C点运动，设P，Q两点的运动时间为t（0＜t＜8）秒．
（1）BQ＝　 　，BP＝　 　（用含t的式子表示）．
（2）当t＝2时，求△PCQ的面积（提示：在一个三角形中，若两个角相等，则角所对的边也相等）．
（3）当PQ＝PC时，求t的值．
20．△ABC是等腰直角三角形，点E为线段AC上一点（E点不和A、C两点重合），连接BE并延长BE，在BE的延长线上找一点D，使AD⊥CD，点F为线段AD上一点（F点不和A、D两点重合），连接CF，交BD于点G
（1）如图1，若AB＝，CD＝1，F是线段AD的中点，求CF；
（2）如图2，若点E是线段AC中点，CF⊥BD，求证：CF+DE＝BE．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，AF平分∠BAC且分别与CD，BC交于E，F两点．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若AC＝BC，DM平分∠BDC，与AE交于M，连接CM．求证：MC＝ME．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足D，延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F．
（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；
（2）若∠A＝n°（0＜n＜90）直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F．
（3）在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数，请直接写出∠CQH的度数．
23．在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，点P、D分别在AB、OB上．
（1）如图1中，若PO＝PD，∠OPD＝45°，证明△BOP是等腰三角形．
（2）如图2中，若AB＝10，点P在AB上移动，且满足PO＝PD，DE⊥AB于点E，试问：此时PE的长度是否变化？若变化，说明理由；若不变，请予以证明．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）如图①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度数．
（2）如图①，已知∠BAC＝90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
参考答案
1．解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠2，
∵∠3＝45°+∠1＝45°+30°＝75°，
∴∠2＝75°，
故选：A．
2．解：∵△ABC是含45°的三角板，∠ABC＝90°，
∴BA＝BC，
∵BE⊥AC，
∴AE＝CE，
∵∠ADC＝90°，
∴AE＝EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC，∠EAD＝∠EDA，
∴∠CED＝2∠EAF，
∵∠BFD＝α＝∠EAF+∠AEF＝∠EAF+90°，
∴∠EAF＝α﹣90°，
∵∠BED＝β＝∠BEC+∠CED＝90°+∠CED，
∴∠BED＝β＝∠BEC+∠CED＝90°+∠CED＝90°+2∠EAF＝90°+2（α﹣90°）＝2α﹣90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
3．解：
S阴影＝S△ABC﹣S△OEC＝×a×a﹣×（a﹣1）×（a﹣1）＝a﹣．
故选：A．
4．解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．
故选：D．
5．解：A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
C、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意，
故选：D．
6．解：设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
如图所示：
∵∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD，
∵∠EDC＝45°，
∴∠CDB＝∠EDC，
∵AE：AD＝1：2，
∴BD：AD＝1：2，
在Rt△ADB中，CA＝CB＝6，
∴S△ABC＝×6×6＝18，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM＝ON，
∵＝＝＝＝2，
∴S△AOC＝18×＝12；
故选：C．
7．解：设第1个正方形的边长a1＝2，
根据题意得，第2个正方形的边长为a2＝a1，
第3个正方形的边长为a3＝a2＝（a1）＝（）2a1，
第4个正方形的边长为a4＝a3＝（）2a1＝（）3a1，
…，
第2022个正方形的边长a2022＝（）2021a1，
∵a1＝2，
∴a2022＝2（）2021．
故选：B．
8．解：过点F作FH⊥AD于点H，过点E作EG⊥AD于G
∵△ACE是等腰直角三角形，AC＝a
∴EG＝AC＝
∵BD＝b，FB＝FD＝b，FH⊥AD
∴BH＝BD＝
在Rt△BHF中
FH＝＝＝
设BC＝x
则S△ABF＝AB FH＝（a﹣x）×b
S△CDE＝CD EG＝（b﹣x）×
∴S△CDE﹣S△ABF＝（b﹣x）×﹣（a﹣x）×b
＝（﹣）x﹣
∵当BC的长度变化时，S始终保持不变
∴﹣＝0
∴a＝
故选：A．
9．解：由题意，△ABC，△AFG，△CGH，△DEB都是等腰直角三角形，四边形BFGH是矩形，
设AF＝FG＝a，GH＝CH＝b，
∵EF＝AF＝a，
∴BE＝BD＝b﹣a，
∵S2+S3﹣S4＝6，
∴a2+b2﹣[ab﹣（b﹣a）2]＝6，
整理得（b﹣a）2＝6，
∴S1＝（b﹣a）2＝3，
故选：B．
10．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故选：C．
二．解答题（共14小题）
11．解：（1）过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是斜边上高
∴BD平分∠ABC
∴EM＝EN
∵AP＝t，BQ＝2t
∴
∴△BQE的面积始终是△APE的面积的2倍
（2）∵BD平分∠ABC
∴∠PBE＝∠QBE
在△BPE与△BQE中
∴△BPE≌△BQE（AAS）
∴BP＝BQ
∵BP＝AB﹣AP＝8﹣t
∴8﹣t＝2t
解得：t＝
∴t＝时，∠BPE和∠BQE相等
12．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图（2），∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°．
13．解：（1）如图1，
∵∠ABC＝60°、∠DBE＝90°，
∴∠EBC＝∠ABC+∠DBE＝150°，
故答案为150°；
（2）如图2，
∵∠ABC＝60°、∠DBE＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝150°，
∵∠EBC＝170°，
∴∠α＝∠EBC﹣（∠ABC+∠DBE）＝170°﹣150°＝20°，
故答案为20°．
（3）如图3，
∵∠ABC＝60°、∠DBE＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝150°，
∵∠DBC＝∠ABC﹣α，
∵∠EBC＝118°，
∴∠DBE+∠DBC＝90°+（60°﹣α）＝118°，
∴α＝32°；
（4）如图3，
∵∠ABE＝90°﹣α，∠DBC＝60°﹣α，
∴∠ABE﹣∠DBC＝90°﹣α﹣（60°﹣α）＝30°．
14．解：（1）∠BOC+∠AOD＝180°，理由如下：
当0＜t＜9时，∠BOC＝90°﹣10t°，∠AOD＝90°+10t°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°﹣10t°+90°+10t°＝180°；
（2）①如图3所示：
∵OA∥CD，
∴∠AOC＝∠C＝30°，
即10t°＝30°，
解得：t＝3；
②如图4所示：
∵OA∥CD，
∴∠AOD＝∠CDO＝60°，
即360°﹣10t°﹣90°＝60°，
解得：t＝21；
综上所述，当t为3秒或21秒时，边OA∥CD．
15．（1）证明：∵∠EAB＝180°﹣∠BAC﹣∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC＝30°，
∴∠EAB＝60°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴EF∥GH；
（2）解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝α．
∴∠ACB＝90°﹣α，
∵BC平分∠ABH，
∴∠ABC＝∠HBC＝α，
∵EF∥GH，
∴∠ECB＝∠HBC＝α，
∴∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°；
（3）解：不发生变化，
理由是：经过点A作AM∥GH，
又∵EF∥GH，
∴AM∥EF∥GH，
∴∠FCA+∠CAM＝180°，∠MAB+∠ABH＝180°，∠CBH＝∠ECB，
又∵∠CAM+∠MAB＝∠BAC＝90°，
∴∠FCA+∠ABH＝270°，
又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，
∴∠FCD+∠CBH＝135°，
又∵∠CBH＝∠ECB，即∠FCD+∠ECB＝135°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠FCD+∠ECB）＝45°．
16．解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，
△APB中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，
（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，
∵CE⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠PAB+∠AED＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，
（3）如图3，当α＞50°时，
△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，
∴∠CAP＝90°﹣α，
∵CD⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，
②如图4，当α＜50°时，
∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，
综上，∠AED为α﹣50°或50°﹣α．
17．（1）证明：延长AF到K，使EK＝AE，
∵△ABC是等腰直角三角形，点O为斜边AC的中点，
∴AO＝OC，∠AOE＝90°，
∴CK＝2OE，CK∥OE，
∴∠ACK＝∠AOE＝90°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AFB＝90°﹣∠BAF，∠K＝90°﹣∠FAC，
∴∠AFB＝∠K，
∵∠CFK＝∠AFB，
∴∠CFK＝∠K，
∴CF＝CK，
∴CF＝2OE；
（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，点O为斜边AC的中点，
∴BO⊥AC，
∴∠ABC＝∠AOB＝∠COB＝90°，
∴图中所有的直角三角形是△ABF，△AOE，△COE．
18．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；
（2）不改变，
理由：设∠CAE＝x，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝x，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，
在△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°．
19．解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，
∴AB＝AC＝8，
∵动点Q从B点出发，以每秒1cm的速度向C点运动，
∴BQ＝tcm，
∵点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向点B运动，
∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm，
故答案为：tcm，（8﹣t）cm；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝45°，
过点P作PH⊥BC于H，如图所示：
则△BPH为等腰直角三角形，
∴BH＝PH＝BP＝（8﹣t）＝8﹣t，
∵t＝2，
∴PH＝6，CQ＝BC﹣BQ＝8﹣2＝6，
∴△PCQ的面积＝PH CQ＝×6×6＝18（cm2）；
（3）当PQ＝PC时，
∵PH⊥BC，
∴CH＝QH，
∵BH＝8﹣t，
∴CH＝BC﹣BH＝8﹣（8﹣t）＝t，QH＝BC﹣BQ﹣CH＝8﹣t﹣t＝8﹣2t，
∴t＝8﹣2t，
解得：t＝，
∴当PQ＝PC时，t的值为s．
20．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝，
∴AC＝AB＝，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝1，
∴AD＝＝5，
∵F是线段AD的中点，
∴DF＝，
∴CF＝＝；
（2）过A作AH∥CD交BD于H，
∴∠AHD＝∠CDH，
∵点E是线段AC中点，
∴AE＝CE，
在△AEH与△CED中，，
∴△AEH≌△CED（AAS），
∴DE＝EH，AH＝CD，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴∠HAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠FAC，
∵DE⊥CF，
∴∠DFG＝∠CDG，
∴∠AHE＝∠DFG，
∴∠AHB＝∠AFC，
在△ABH与△ACF中，，
∴△ABH≌△ACF（AAS），
∴BH＝CF，
∵BE＝BH+EH，
∴CF+DE＝BE．
21．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠DCA，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠BAF+∠B＝∠CFE，
∠CAF+∠DCA＝∠FEC，
∴∠CFE＝∠FEC，
∴CF＝CE；
（2）解：过M作MF⊥AB于F，MG⊥CD于G，MH⊥AC于H，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD，∠DCA＝∠DCB＝45°，
∵DM平分∠BDC，AF平分∠BAC，
∴MF＝MG，MF＝MH，
∴MG＝MH，
∴CM平分∠ACH，
∴∠DCM＝＝67.5°，
∵∠DEA＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴MEC＝67.5°，
∴∠MEC＝∠MCE，
∴MC＝ME．
22．解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，
∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，
∵BF平分∠ABG，
∴∠FBG＝∠ABG＝75°，
∵∠FBG＝∠F+∠FCB，
∴∠F＝75°﹣45°＝30°．
（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，
∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣90°+n°＝n°﹣45°，
∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，
∵BF平分∠ABG，
∴∠FBG＝∠ABG＝45°+n°
∵∠FBG＝∠F+∠FCB，
∴∠F＝n°．
（3）如图，∵FH⊥CG，
∴∠FHC＝90°，
∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°
∴∠A＝∠DCB＝n°，
∵CQ平分∠DCB，
∴∠QCH＝n°，
∴∠CQH＝90°﹣n°．
23．（1）证明：∵PO＝PD，∠OPD＝45°，
∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，
∵等腰直角三角形AOB中，AO⊥OB，
∴∠B＝45°，
∴∠OPB＝180°﹣∠POB﹣∠B＝67.5°，
∴∠POD＝∠OPB，
∴BP＝BO，即△BOP是等腰三角形；
（2）PE的值不变，为PE＝5，证明如下：
如图，过点O作OC⊥AB于C，
∵∠AOB＝90°，AO＝BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠COB＝∠B＝45°，点C为AB的中点，
∴OC＝AB＝5，
∵PO＝PD，
∴∠POD＝∠PDO，
又∵∠POD＝∠COD+∠POC＝45°+∠POC，∠PDO＝∠B+∠DPE＝45°+∠DPE，
∴∠POC＝∠DPE，
在△POC和△DPE中，
，
∴△POC≌△DPE（AAS），
∴OC＝PE＝5，
∴PE的值不变，为5．
24．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x，
即；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠BAC＝180°﹣2y，
∵∠BAD＝x，
∴∠AED＝y+x，
∴．
即．