2021-2022学年冀教版八年级数学上册17.3勾股定理 同步达标测评 （word版含解析）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B＝90°，则（　　）
A．b2＝a2+c2 B．c2+b2＝a2 C．a2+b2＝c2 D．a+b＝c
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，E为垂足，交BC于点D，BD＝，则AC的长为（　　）
A． B．8 C．16 D．
3．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（　　）
A．1 B．2 C．12 D．13
4．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）
A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
5．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，12，13
6．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．7，24，25 B．，4，5 C．3，4，5 D．4，5，6
7．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．1，2， C．6，8，10 D．5，12，23
8．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝18时，b+c的值为（　　）
A．242 B．200 C．128 D．162
9．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（　　）
A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm
10．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）
A．cm B．13cm C．cm D．cm
12．如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形．一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（　　）
A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．直角三角形的两边长分别是3cm、5cm，则第三边长　 　cm．
14．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为　 　．
15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 　．
17．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度　 　．
18．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是　 　．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC的面积．
20．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x
因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．
21．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
22．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a＝19时，求b、c的值；
（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
23．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
24．葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘上升的路线，总是沿着最短路线﹣﹣盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
（1）如图，如果树的周长为3cm，从点A绕一圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？
（2）如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：∵∠B＝90°，∴∠B的对边b是斜边，∴b2＝a2+c2．
故选：A．
2．解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝16，∠B＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°，
在Rt△ACD中，
2AC2＝AD2，AC＝16．
故选：C．
3．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
方法二、小正方形的边长就是|a﹣b|，其面积是1，
故选：A．
4．解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
5．解：A、32+42≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+62≠102，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、52+52≠112，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
6．解：A、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、42+52＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、52+42≠62，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
7．解：A、∵42+52≠62，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵12+（）2＝22，能组成直角三角形，但不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵62+82＝102，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵52+122≠232，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，
则a2+b2＝（b+2）2，
当a＝18时，182+b2＝（b+2）2，
解得：b＝80，
则c＝80+2＝82，
则b+c＝162．
故选：D．
9．解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，
∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理得＝100，
∴其距离为100cm．
故选：A．
10．解：根据题意得：如图：
OA＝40×20＝800m．
OB＝40×15＝600m．
在直角△OAB中，AB＝＝1000米．
故选：C．
11．解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm），
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝＝13（cm）．
故选：B．
12．解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6，BD＝6+9＝15，
AB＝＝（dm）；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC＝6+6＝12，BC＝9，
AB＝＝15（dm），
③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB＝＝15（dm），
由于15＜3，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．解：①当3cm和5cm都是直角边时，第三边为斜边，
由勾股定理得：第三边为＝（cm）；
②当3cm为直角边和5cm为斜边时，第三边为直角边，
由勾股定理得：第三边为＝4（cm）．
故答案为：4或．
14．解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴直角三角形的面积是（25﹣1）÷4＝6，
又∵直角三角形的面积是 ab＝6，
∴ab＝12．
故答案为：12．
15．解：在Rt△ADC中，
∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10m，（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．
故答案是：96m2
16．解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，．
17．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：
（x+1）2＝x2+52，
解得：x＝12，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
18．解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25．
故答案为25．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．解：作AD⊥BC于D，∵∠B＝30°，
∴AD＝AB＝2；
BD＝＝2
又∵∠C＝45°，
∴DC＝AD＝2
∴BC＝BD+CD＝2+2
∴S△ABC＝AD BC＝2+2
20．解：（2）因为S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC
＝cx+ax+bx
所以x＝．
答：x与a、b、c的关系为x＝．
（3）根据（1）和（2）得：
x＝＝．
即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）
化简得a2+b2＝c2．
21．解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
综上所述BN的长为或．
22．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1
∵a＝19，a2+b2＝c2，
∴192+b2＝（b+1）2，
∴b＝180，
∴c＝181；
（2）通过观察知c﹣b＝1，
∵（2n+1）2+b2＝c2，
∴c2﹣b2＝（2n+1）2，
（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，
又c＝b+1，
∴2b+1＝（2n+1）2，
∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；
（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，
当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，
但2n2+2n＝112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数．
23．解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．
24．解：（1）如果树的周长为3cm，绕一圈升高4cm，则葛藤绕树爬
行的最短路线为：＝5 厘米；
（2）如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高
为：＝6厘米．如果爬行10圈到达树顶，
则树干高为：10×6＝60厘米．