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第2节 万有引力定律
核心要点突破
课堂互动讲练
知能优化训练
第2节
课前自主学案
课标定位
课标定位
应用：1.运用万有引力定律解释有关现象．
2．求解天体运动的各个物理量．
理解：1.万有引力定律的含义及万有引力常量．
2．万有引力表达式的推导及适用条件．
认识：1.太阳与行星之间存在引力．
2．万有引力定律得出的思路及过程．
3．任何物体间都存在万有引力．
课前自主学案
一、与引力有关现象的思考
1．牛顿的思考
苹果由于受到地球的_______落向地面；月球不沿直线运动而是绕地球做圆周运动，表明月球受到方向指向_____的向心力作用．
2．思考的结论
(1)月球必定受到_____对它的引力作用．
(2)苹果落地中苹果与月球在运动中受到的都是地球对它们的_____．
(3)行星围绕太阳运动的向心力是_____对行星的引力．
吸引力
地心
地球
引力
太阳
由牛顿第三定律知行星对太阳的引力F′也应与太阳的质量M成正比，即F′∝___.所以F＝F′∝____.
2．万有引力定律
(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的____，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成____，与这两个物体之间的距离的平方成_____．
(2)公式：F＝_______.
引力
正比
反比
三、引力常量
1．发现者：1798年，英国物理学家_________首先精确地测出了G的数值．
2．大小：G＝______________N·m2/kg2.
3．意义：G的测出使万有引力定律的公式有了真正的实用价值．
卡文迪许
6.67×10－11
思考感悟
核心要点突破
2．万有引力定律适用的条件
(1)万有引力定律适用于两个质点间的相互作用．
(2)一个均匀球体与球外一个质点间适用于该定律，其中r为球心到质点间的距离．
3．对万有引力定律的理解
四性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
特别提醒：(1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力．
(2)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般情况下，质量较小的物体之间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对附近或表面的物体的万有引力．
即时应用 (即时突破，小试牛刀)
2.北京地区地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．地心就是圆形轨道的圆心
B．圆形轨道平面与地轴的交点是圆心
C．地球对物体的万有引力提供向心力
D．地球对物体的万有引力与地面对物体支持力的合力提供向心力
解析：选BD.地球是绕地轴转动的，其向心力为万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力为重力.
课堂互动讲练
例1
对万有引力定律的理解及应用
两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A．2F B．4F
C．F D．16F
【思路点拨】 要准确理解万有引力定律公式中各量的意义并能灵活应用．本题准确判定小球与大球的质量、球心距离关系是关键．
【答案】 D
【方法总结】 均匀球体之间的万有引力的计算应取两球心之间的距离，当两球紧靠在一起时，两球心距离不等于零，而等于两球半径之和．
重力和万有引力的关系
例2
设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重．若存在这样的星球，它的半径R应多大？
【答案】 1.85×107 m
【方法总结】 当忽略星球自转影响时，可以认为重力等于万有引力；当考虑自转影响时，主要掌握两种特殊情况：
(1)在两极：G重＝F万；
(2)在赤道：G重＝F万－F向．
宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一物体，经过时间t物体落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一物体，需经过时间5t物体落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
万有引力定律与其他知识的综合应用
例3
【思路点拨】 本题是竖直上抛运动规律和万有引力的结合，关键是要求出该星球表面的重力加速度，竖直上抛运动的规律在该星球表面仍然适用．
【答案】 (1)2 m/s2 (2)1∶80
【方法总结】 处理此类综合题，关键是抓住两者之间的联系纽带——重力加速度；另外在其他星球表面的物体，不强调星球自转时，也有重力等于万有引力．
答案：3倍
知能优化训练
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第1节 天体运动
核心要点突破
课堂互动讲练
知能优化训练
第1节
课前自主学案
课标定位
课标定位
应用：1.运用开普勒定律解释有关现象．
2．对行星运动运用圆周运动知识求解．
理解：1.描述行星运动的规律——开普勒三定律．
2．开普勒定律的近似处理．
认识：1.地心说和日心说的基本内容．
2．所有行星绕太阳运动的轨道均为椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
课前自主学案
一、日心说
1．地心说
托勒密认为，_____是宇宙的中心，是静止不动的，其他天体围绕_______转动．
2．日心说
哥白尼认为，地球和别的行星一样，围绕_____运动，____固定在这个体系的中心．
地球
地球
太阳
太阳
二、开普勒行星运动定律
定律 内容 公式或图示
开普勒第一定律 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是_______，太阳处在所有_______的一个______上
开普勒第二定律 从太阳到行星的连线在__________内扫过__________
椭圆
椭圆
焦点
相等的时间
相等的面积
行星
半长轴
公转周期
一个常量
无关
思考感悟
行星绕太阳在椭圆轨道上运行，行星距太阳较近处与距太阳较远处相比较，运动速率何处较大？
提示：由开普勒第二定律可知，由于在相等的时间内，行星与太阳的连线扫过相等的面积，显然相距较近时相等时间内经过的弧长必须较长，因此运动速率较大．
核心要点突破
一、对开普勒行星运动定律的认识
1．从空间分布认识
图3－1－1
行星的轨道都是椭圆，所有椭圆有一个共同的焦点，太阳就在此焦点上．
因此第一定律又叫椭圆轨道定律，如图3－1－1所示．
意义：第一定律告诉我们，尽管各行星的轨道大小不同，但它们的共同规律是：所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳则位于所有椭圆的一个公共焦点上．否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置．
2．从速度大小认识
行星靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小．近日点速度最大，远日点速度最小．第二定律又叫面积定律，如图3－1－2所示.图
3－1－2
特别提醒：(1)行星绕太阳的运动不是匀速圆周运动，所以行星的速度方向并不总是垂直于行星和太阳的连线，但行星绕太阳运动一周的时间仍为一个周期，此周期不能用匀速圆周运动求解，而应根据开普勒定律对不同运动应用其相应的运动规律去判断和求解；做椭圆运动的卫星可用此规律求解．(2)在同一天体系统中，如果已知某一“行星”的公转周期而求其轨道半径时，可通过另一已知轨道半径和周期的“行星”利用开普勒第三定律解答．
三、天体运动的规律及分析方法
1．天体虽做椭圆运动，但它们的轨道一般接近圆．中学阶段我们在处理天体运动问题时，为简化运算，一般把天体的运动当做圆周运动来研究，并且把它们视为做匀速圆周运动，椭圆的半长轴即为圆半径．
课堂互动讲练
例1
对开普勒行星运动定律的理解
关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星的运动周期越长
D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
【思路点拨】 太阳系中行星运动的轨道、速率及周期遵循开普勒三定律．
【精讲精析】 不同的行星，有不同的椭圆轨道，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，故A、B错误；由开普勒第三定律知，所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，半长轴越大，其公转周期越长，故C错误，D正确．
【答案】 D
【方法总结】 (1)行星绕太阳运行的轨道为椭圆轨道，太阳在所有椭圆轨道的公共焦点上．
(2)行星运动定律虽是由太阳系中行星的运动总结出来的，但该定律同样适用于其他天体系统．
开普勒行星运动定律的应用
例2
图3－1－4
飞船沿半径为R的圆周轨道绕地球运动，其周期为T.如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图3－1－4所示. 如果地球半径为R0，求飞船由A点到B点所需要的时间．
【思路点拨】 开普勒第三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞船等绕行星的运动．飞船绕地球做圆周运动的半长轴即为圆的半径．
【方法总结】 涉及与椭圆轨道运动周期相关的问题，常用开普勒第三定律求解，但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
变式训练2 天文学家观察到哈雷彗星的转动周期是75年，离太阳最近的距离是8.9×1010 m，离太阳最远的距离不能被测出．试根据开普勒定律估算这个最远距离，太阳系的开普勒常数k＝3.354×1018 m3/s2.
知能优化训练
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第4节 人造卫星 宇宙速度
核心要点突破
课堂互动讲练
知能优化训练
第4节
课前自主学案
课标定位
课标定位
应用：1.结合圆周运动知识求解天体运动的相关物理量．
2．同步卫星的特点及其应用．
理解：1.人造卫星的发射原理及宇宙速度推导．
2．人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系．
认识：1.人造卫星的有关知识及其运动规律．
2．三个宇宙速度的含义．
课前自主学案
一、人造卫星
1．卫星是一些自然的或人工的在太空中绕行星运动的物体．
2．人造卫星用于通信、导航、收集气象数据和其他许多领域内的科学研究．
二、宇宙速度
1．第一宇宙速度：使卫星能环绕地球运行所需的_____发射速度，其大小为v1＝__________，又称环绕速度．
2．第二宇宙速度：使人造卫星脱离_____的引力束缚，不再绕_____运行，从_____表面发射所需的最小速度，其大小为v2＝__________，又称脱离速度．
3．第三宇宙速度：使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v3＝_________，也叫逃逸速度．
最小
7.9 km/s
地球
地球
地球
11.2 km/s
16.7 km/s
思考感悟
如果要发射一个火星探测器，试问这个探测器将大体以多大的速度从地球上发射？
提示：火星探测器绕火星运动，脱离了地球的束缚，但没有挣脱太阳的束缚，因此它的发射速度应在第二宇宙速度和第三宇宙速度之间，即11.2 km/s核心要点突破
特别提醒：(1)第一宇宙速度是最大运行速度，也是最小发射速度．
(2)三个宇宙速度分别为在三种不同情况下在地面附近的最小发射速度．
即时应用 (即时突破，小试牛刀)
1.关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )
A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度
C．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在远地点的速度
解析：选BC.如果卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度等于第一宇宙速度，那么它将做匀速圆周运动，不会做椭圆运动．
二、人造地球卫星
1.
图3－4－1
人造卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时由地球对它的万有引力充当向心力，地球对卫星的万有引力指向地心．而做匀速圆周运动的物体的向心力则时刻指向它做圆周运动的圆心．因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道．当然也应存在着与赤道平面成某一角度的圆轨道，只要圆心在地心，就可能是卫星绕地球运行的圆轨道．如图3－4－1所示．
特别提醒：(1)在处理卫星的v、ω、T与半径r的关系问题时，常用公式“gR2＝GM ”来替换出地球的质量M会使问题解决起来更方便．
(2)由于卫星在轨道上运动时，它受到的万有引力全部提供了向心力，产生了向心加速度，因此卫星及卫星上任何物体都处于完全失重状态．
即时应用 (即时突破，小试牛刀)
2.我们国家在1986年成功发射了一颗实用地球同步卫星，从1999年至今已几次将“神舟”号宇宙飞船送入太空．在某次实验中，飞船在空中飞行了36 h，环绕地球24圈．那么，同步卫星与飞船在轨道上正常运转相比较( )
A．卫星运转周期比飞船大
B．卫星运转速率比飞船大
C．卫星运转加速度比飞船大
D．卫星离地高度比飞船大
解析：选AD.根据飞船36 h，环绕地球24圈，可知飞船的周期小于同步卫星的周期，根据万有引力提供向心力，可知A、D正确．
三、地球同步卫星
1．概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通信卫星．
2．特点
(1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致．
(2)同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h.
(3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度
(4)同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，又由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上，所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方．
特别提醒：(1)所有同步卫星的周期T、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同.
(2)所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止．
即时应用 (即时突破，小试牛刀)
3.关于地球的同步卫星下列说法正确的是( )
A．所有地球的同步卫星一定位于赤道的正上方，但不一定在同一个圆周上
B．所有地球的同步卫星离地面的高度相同，但不一定位于赤道的正上方
C．所有地球的同步卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期一定相等
D．所有地球的同步卫星的向心加速度大小相等
解析：选D.所有同步卫星都位于地球赤道的正上方的同一个圆周轨道上，显然选项A、B是不对的．又因向心加速度、线速度为矢量，尽管所有的同步卫星的向心加速度的大小、线速度的大小、角速度和周期都相等，但是向心加速度和线速度的方向不相同，因此选项C也不对，只有选项D正确．
课堂互动讲练
例1
第一宇宙速度的计算
某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t物体以速率v落回手中，已知该星球的半径为R，求该星球上的第一宇宙速度．
【思路点拨】 第一宇宙速度是环绕星球表面运行的速度，即对应的轨道半径为该星球的半径，且重力就等于星球对其的万有引力．
变式训练1 若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( )
A．16 km/s
B．32 km/s
C．4 km/s
D．2 km/s
人造卫星的运行规律
例2
图3－4－2
【思路点拨】 在人造卫星运动过程中，万有引力提供了所需的向心力，由此根据牛顿定律列出方程来判断．
【答案】 C
变式训练2 (2011年高考山东理综卷)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度
D．甲在运行时能经过北极的正上方
同步卫星的有关问题
例3
【答案】 BC
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第3节 万有引力定律的应用
核心要点突破
课堂互动讲练
知能优化训练
第3节
课前自主学案
课标定位
课标定位
应用：会用万有引力定律计算天体质量．
理解：1.研究天体运动的基本思路及主要类型．
2．万有引力理论的意义．
认识：1.重力等于万有引力的条件．
2．万有引力定律在天文学上的重要应用．
课前自主学案
一、预言彗星回归
1．哈雷根据万有引力理论对1682年出现的_________的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言了再次出现的时间．
2．1743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了运动经过______的时间．
3．总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的．
哈雷彗星
近日点
二、预言未知星体
1．已发现天体的轨道推算
18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用______________计算出来的轨道有一些偏差．
2．未知天体的发现
根据已发现的天体的运动轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道，如_______、_________就是这样发现的．
万有引力定律
海王星
冥王星
三、计算天体质量
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的_________，即mg＝_______，则M＝________，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量．
万有引力
万有引力
轨道半径
周期
思考感悟
根据月球绕地球做圆周运动的规律应用万有引力定律求出的天体质量是地球的质量还是月球的质量？月球的质量如何求？
核心要点突破
一、天体质量和密度的估算
1．求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．
特别提醒：(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体，注意方法的拓展应用，明确计算出的是中心天体的质量．
(2)要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R＝r.
课堂互动讲练
例1
天体质量的估算
经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心(银心)的圆形轨道上运行，这个轨道半径约为3×104光年(约等于2.8×1020 m)，转动一周的周期约为2亿年(约等于6.3×1015 s)．太阳做圆周运动的向心力是来自位于它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看做集中在银河系中心来处理问题．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
用给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量．
【思路点拨】 建立模型，太阳绕银河系中心转动，太阳轨道内侧星体等效为一个中心天体，求中心天体质量．
【答案】 3.3×1041 kg
【方法总结】 求天体质量的方法主要有两类，一类是利用此天体的一个卫星(或行星)绕它做匀速圆周运动的有关物理量来求，另一类是利用天体表面处的重力加速度求解．
变式训练1 在某行星上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．
天体密度的估算
例2
假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
变式训练2 地球半径R＝6400 km，地面上的重力加速度g＝9.8 m/s2.地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%.试估算地核的平均密度．
答案：1.2×104 kg/m3.
质量分别为m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离恒为l，不考虑其他星体的影响，两颗星的轨道半径和周期各是多少？
【思路点拨】 本题的关键是弄清双星问题中两星做匀速圆周运动的向心力由彼此间的引力提供，即F向大小相等，且ω相同，再由牛顿第二定律分别对两星列方程求解．
双星运动问题
例3
【答案】 见自主解答
【方法总结】 解决双星模型的问题时，要注意以下几点：
(1)两星之间的万有引力提供各自所需要的向心力；
(2)双星具有共同的角速度；
(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上．
知能优化训练
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