湖南省长沙市长沙县第九高级中学2021-2022学年高二上学期11月月考数学试卷（Word版含答案）

长沙县第九中学2021-2022学年高二上学期11月月考
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请将答案写在答题卡的相应位置）
1、设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 （ ）
A. 第二象限 B.第三象限 C. 第四象限 D. 第一象限
2、 已知抛物线 的准线经过点,则该抛物线焦点的坐标为 （ ）
A. B. C. D.
3、在区间上随机取一个数，则事件：“”的概率为 （ ）
A. B. C. D.
4、把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现反面”为事件，
则等于（ ）
A. B． C． D．
5、若，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）
A. B. C. D.
6、某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温/
用电量/千瓦时
由表中数据可得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量的度数约为（ )
A. B. C. D.
7、 已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为 ，则直线与圆的位置关系是 （ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
8、已知中心在原点的椭圆的右焦点为,直线与椭圆的一个交点的横坐标为，则椭圆的方程为 （ ）
A. B. C. D.
9、由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 （ ）
A. B. C . D.
10、函数在点处的切线方程为 （ ）
A. B. C. D.
11、如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是 （ ）
A.在区间上，是增函数 B.在区间上，是减函数
C.在区间上，是增函数 D.在区间上，不是单调函数
12、已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上。）
13、函数的最小值是 .
14、的展开式中常数项为______；各项系数之和为_______．（用数字作答）
15、已知随机变量的分布列为，则 .
16、已知为双曲线的左焦点，为上的点.若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：时）.
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示）.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于4小时的概率；
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间不少于4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：
18、（12分）某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，，，他们考核所得的等次相互独立.
（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
19、（12分）已知是函数的一个极值点.
（1）求；
（2）求函数的单调区间和极值.
20、（12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于两点，是否存在点，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.
21、（12分）已函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）求证：当时，函数的图象在的下方.
.
22、（10分）在极坐标系中曲线的极坐标方程为，点.以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系中，斜率为的直线过点，且与曲线交于两点.
（1）求出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）求点到两点的距离之积．
数学答案
17、解：（1）,所以应收集90位女生的样本数据.
（2）由频率分布直方图得，所以该校学生每周平均体育运动时间不少于4小时的概率估计值为0.75.
（3）列联表：
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间少于4小时 45 30 75
每周平均体育运动时间不少于4小时 165 60 225
总计 210 90 300
结合列联表可算得
所以，在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
18、解：（1）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，则件A，B，C相互独立，与事件E是对立事件
则
（2）的可能取值为
的分布列为
2 3
P
19、解：（1）的定义域为：
（2）
当或时，； 当时，
单调增区间为，单调减区间为（1，3）
且当或时，.
所以的极大值为，极小值为
20.解：（1）由已知，得知，,
因为，，所以
所以椭圆的标准方程为.
（2）假设存在.设
由已知可得，
所以的直线方程为，
的直线方程为，
令，分别可得，，
所以，线段 的中点，
若以为直径的圆经过点，
则, 因为点在椭圆上，
所以，代入化简得，
所以， 而，矛盾，
所以这样的点不存在.
21.（1）解：
　　 时，
在区间上是增函数
的最小值是， 的最大值是.
（2）证明：令
，从而在上是减函数，
于是
故当时，函数的图象在的下方.
.
22.解：（1）
故曲线的直角坐标方程为.
故直线的参数方程为
（2）把代入，
化简得，
故点到两点的距离之积为.