5.2.2导数的四则运算法则（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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5.2.2导数的四则运算
要点　导数的运算法则
若函数f(x)，g(x)均为可导函数，则有
导数运算法则 语言叙述
1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．
2.[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．
3.[]′＝(g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方.
【重点小结】
法则1：函数的和(差)的导数
导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)．
法则2：函数的积的导数
(1)(特殊化)当g(x)＝c(c为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋c·[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)．
(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a，b为常数．
(3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u ′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v ′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x)．
法则3：函数的商的导数
(1)注意[]′≠.
(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝ ，[]′＝－.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知函数y＝2lnx－2x，则y′＝－2xln2.(　　)
(2)已知函数y＝3sin x＋cos x，则y′＝3cos x＋sin x．(　　)
(3)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　)
(4)若函数f(x)＝，则f′(x)＝.(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×
2．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为(　　)
A．1－sin 1　B．1＋sin 1
C．sin 1－1 D．－sin 1
【答案】A
【解析】因为f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A.
3．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　)
A．y′＝cos2 x＋sin2 x B．y′＝cos2 x－sin2 x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
【答案】B
【解析】y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.
4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
【答案】1
【解析】f(x)＝4x2＋4ax＋a2，
∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
题型一　利用运算法则求函数的导数
【例1】根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
(1)y＝x2－2x－4ln x；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝；
(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(5)y＝x＋sin cos .
【解析】(1)y′＝2x－2－.
(2)y′＝(x·tan x)′＝′
＝
＝
＝.
(3)y′＝＝
(4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′
＝3x2＋12x＋11.
(5)先使用三角公式进行化简，得y＝x＋sin x
∴y′＝′＝x′＋′＝1＋cos x.
观察各函数的特点，能化简的先化简，再用求导法则求解．
【方法归纳】
利用导数的公式及运算法则求导的思路
【跟踪训练】(1)已知f(x)＝(x≠0)，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．
【答案】(1)　
【解析】(1)因为f′(x)＝＝
所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得＋＝0，
解得x0＝.
(2)求下列函数的导数．
①y＝x－2＋x2；②y＝3xex－2x＋e；
③y＝；④y＝x2－sincos.
【解析】(2)①y′＝2x－2x－3；
②y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2；
③y′＝；
④因为y＝x2－sincos＝x2－sin x，
所以y′＝2x－cos x.
题型二　导数运算法则的综合应用
【例2】已知曲线y＝在(2,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0平行，求实数a的值．
【解析】因为y′＝＝－
所以y′|x＝2＝－1即－＝－1所以a＝2.
【变式探究1】本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．
【解析】由例2知切线方程为x＋y－4＝0
直线方程x＋y＋＝0
所以所求距离d＝＝.
【变式探究2】本例条件不变，求与直线y＝－x平行的过曲线的切线方程．
【解析】由例2知y′＝－
令－＝－1
得x＝0或2
所以切点为(0,0)和(2,2)，
所以切线方程为x＋y－4＝0.
【方法归纳】
关于求导法则的综合应用
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
【跟踪训练2】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值．
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
【解析】(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，
又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又知g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)．
即7x＋y－3＝0.
【易错辨析】混淆曲线下的相切与导数背景下的相切致错．
【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9(a≠0)都相切，则a 等于(　　)
A．－1或－ B．－1
C．－或－ D．－
【答案】A
【解析】因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，
则在点(x0，x)处的切线斜率为k＝3x，
所以切线方程y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，所以3x－2x＝0，解得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，由直线y＝0与曲线y＝ax2＋x－9相切可得方程ax2＋x－9＝0有两个相等的实数根，此时Δ＝()2－4a×(－9)＝0，解得a＝－；
当x0＝时，由直线y＝x－与曲线y＝ax2＋x－9相切，联立直线方程和曲线方程并消去y，得ax2－3x－＝0，此时Δ＝9－4×a×(－)＝0，解得a＝－1.
综上可得，a＝－1或a＝－.
【易错警示】
出错原因
有的同学认为x0＝0时，此时直线y＝0与曲线y＝x3相交，就把这种情况舍去了，错选了B.
纠错心得
正确理解导数背景下的相切．
例如直线y＝0与曲线y＝x3在x＝0处是相切的.
一、单选题
1．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；
【解析】
解：.
故选：C.
2．已知函数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
对函数求导，将代入导函数，即可得到导函数的表达式，再代入即可得到结果.
【解析】
因为，所以得到，
因此，所以．
故选：B.
3．已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
由基本初等函数的导数公式，结合复合函数的导数运算法则求，进而求.
【解析】
，，
∴，
当时，.
故选：C
4．下列求导计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解
【解析】
，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：B．
5．已知数列为等比数列，其中，，若函数，为的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出.
【解析】
，，为等比数列，
，
，
则.
故选:C.
6．若函数，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】
构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.
【解析】
令，则，
求导得：，
所以.
故选：A
7．设，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝.
8．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝（ ）
A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e
【答案】C
【分析】
对函数求导得，再将代入，解方程即可得到答案；
【解析】
∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，∴，
∴，解得，
故选：C.
二、多选题
9．（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
A中′＝1－，A不正确；
D中，(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，D不正确；BC正确.
答案　BC
10．下列求导数运算正确的是（ ）
A．（2021x）′=x2021x﹣1
B．（x2021+log2x）′=2021x2020
C．（）′
D．（x23x）′=2x3x+x23xln3
【答案】BD
【分析】
根据题意，依次计算选项中函数的导数，即可得答案.
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（2021x）′=2021xln2021，A错误；
对于B，（x2021+log2x）′=（x2021）′+（log2x）′=2021x2020，B正确；
对于C，（）′，C错误；
对于D，（x23x）′=（x2）′ 3x+x2×（3x）′=2x3x+x23xln3，D正确.
故选：BD.
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在处的切线方程为
D．
【答案】BC
【分析】
利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证.
【解析】
对于A：因为，所以，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，所以.
而，所以在处的切线方程为，故C正确；
对于D：.故D错误.
故选：BC
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．函数在处的导数是______．
【答案】6
【分析】
将函数解析式展开，再求导，之后代入即可得到结果.
【解析】
将函数解析式展开得到：，求导得，
所以．
故答案为：6.
13．函数的图象在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】
先利用基本函数的导数公式和导数的运算法则求导，再利用导数的几何意义进行求解.
【解析】
因为，
所以
，
则所求切线的斜率为，
所以所求切线方程为，
即.
故答案为：.
14．下列各函数的导数：①；②；③；④()′＝.其中正确的有________.
【答案】①④
【分析】
直接利用导数公式计算即可求解.
【解析】
，①正确；
，②错误；
③错误；
()′＝＝＝，④正确.
故答案为：①④.
四、解答题
15．求下列函数的导数；
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；
（1）
解：因为，所以；
（2）
解：因为，所以；
（3）
解：因为，所以；
（4）
解：因为，所以；
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以
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