5.3.2.2函数的最大（小）值（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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5.3.2.2 函数的最大（小）值
要点一　函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不读的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【笔记小结】
(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部区间上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．
要点二　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值
求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【笔记小结】
(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．
(3)若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点时，这个点的函数值必然是最值．例如在(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　　)
(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)
(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．(　　)
(4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．(　　)
【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√
2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．f(1)与f(－1) B．f(1)与f(2)
C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1)
【答案】B
【解析】f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，
即4－4x3>0 x<1，f′(x)<0 x>1.
∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，
∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，故选B.
3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　)
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】A
【解析】f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
4．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是________.
【答案】1
【解析】f′(x)＝cos x－2<0
∴函数f(x)在[0，π]上单调递减
∴f(x)max＝f(0)＝－a＝－1故a＝1.
题型一　求函数的最值
【例1】求下列函数的最值．
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
【解析】(1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
又x∈[0,2π]，解得x＝π或x＝π.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x 0 π π 2π
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 0 ? 极大值 ＋ ? 极小值 π－ ? π
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
【方法归纳】
导数法求函数最值
(1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点．
(2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值．
【跟踪训练1】(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为(　　)
A．11 B．－70
C．－14 D．－21
【答案】(1)A
【解析】(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3，
由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；
f(3)＝－21；f(4)＝－14；
所以函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.
(2)函数y＝xln x的最小值为(　　)
A．－e－1 B．－e
C．e2 D．－
【答案】(2)A
【解析】(2)因为y＝xln x，定义域是(0，＋∞)，所以y′＝1＋ln x，令y′>0，解得：x>，令y′<0，解得：0所以函数在上递减，在上递增，
故x＝时，函数取最小值是－.
题型二　含参数的最值问题
【例2】已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
【解析】f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)min＝f＝a3.
综上所述，当a>0时，f(x)min＝－a3；
当a＝0时，f(x)min＝0；当a<0时，f(x)min＝a3.
【变式探究1】本例中再加“a>0”这一条件，求函数f(x)在[－a,2a]上的最值．
【解析】f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x1＝－所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在[a,2a]上单调递增．
所以f(－a)＝－a3，f＝a3，f(a)＝－a3，
f(2a)＝2a3，所以f(x)max＝f(2a)＝2a3，f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
【方法归纳】
(1)含参数的函数最值问题的两类情况
①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．
②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
(2)已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．
【跟踪训练2】已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数．
(1)求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
(2)当b＝0时，若函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值．
【解析】(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，
有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.
因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥时，
g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当当a≥时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
(2)当b＝0时，由(1)知，
若a≤，则g(x)min＝g(0)＝1，不符合题意，
若令2a－2aln(2a)＝0，解得a＝(舍去)．
若a≥，则g(x)min＝e－2a＝0得a＝.
综上所述a＝.
题型三　函数的最值与不等式问题
【例3】已知函数f(x)＝(x－1)3＋m.
(1)若f(1)＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立，求m的取值范围．
【解析】(1)因为f(1)＝1，所以m＝1，
则f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x，
而f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1,2]上恒成立，
即不等式m≥3x2－3x在区间[1,2]上恒成立，即m不小于3x2－3x在区间[1,2]上的最大值．
因为x∈[1,2]时，
3x2－3x＝32－∈[0,6]，
所以m的取值范围是[6，＋∞)．
【变式探究2】本例(2)中的条件“关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立”改为“关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上有解”，则实数m的取值范围又如何？
【解析】不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上有解，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1,2]上有解，
即不等式m≥3x2－3x在区间[1,2]上有解，即m不小于3x2－3x在区间[1,2]上的最小值．
因为x∈[1,2]时，
3x2－3x＝32－∈[0,6]，
所以m的取值范围是[0，＋∞)．
【方法归纳】
有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．
一般地，λ≥f(x)恒成立 λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立 λ≤[f(x)]min.
【跟踪训练3】已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
【解析】由题意知f(1)＝－3－c
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
对f(x)求导，得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)．
由题意，知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，
从而f′(x)＝48x3ln x(x>0)．
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，此时f (x)为增函数．
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，
并且此极小值也是最小值．
所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可．
整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪.
易错辨析　混淆极值与最值致错
【例4】已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)求函数f(x)在[－4,1]上的最值．
【解析】(1)因为f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因为在x＝－2和x＝处取得极值，
所以解得
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)因为f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，所以f(x)在[－4，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．因为f(－4)＝－11，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4.所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11.
一、单选题
1．已知，，（）是函数（且）的3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
显然，即，设，则，所以，构造函数，利用导数即可求解.
【解析】
解：显然，即，
设，则
所以，
所以，
因为恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
故选：A.
2．已知函数，下列结论中正确的个数是（ ）
①的图象关于中心对称；②的图象关于对称；③的最大值为；④既是奇函数，又是周期函数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
将原函数化为，然后结合的性质以及导数逐项判断即可．
【解析】
解：，令，则，，
对于①：，故的图象关于对称，故①正确；
对于②：，故的图象关于对称，故②正确；
对于③：令，得，因为，，，最大值为，故③错误；
对于④：，故是奇函数，
，故，故④正确．
故选：C．
3．函数的最大值为（ ）
A．32 B．27 C．16 D．40
【答案】A
【分析】
利用导数即可求解.
【解析】
因为，所以当时，；
当时，.
所以函数在上单调递增；在上单调递增,，
因此，的最大值为.
故选：A
4．的最大值与最小值之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值.
【解析】
，
设，则
则为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，
即的最大值与最小值之差为，
当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，所以的最大值与最小值之差为
故选：B
5．已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为的正三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该圆柱的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设圆柱的底面半径为，高为，利用相似比得出，再由圆柱的体积公式即可求解.
【解析】
由题意设圆柱的底面半径为（），高为，
所以，解得，
所以圆柱的体积，
，令，解得，
，解得，，解得，
所以函数在上单调递增；在上单调递减；
所以.
故选：C
6．已知直线分别与函数和的图象交于点、，现给出下述结论：①；②；③；④，则其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
根据函数和的图象关于对称，直线与垂直，可得，、，，关于对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造，判断其单调性，即可判断③，由，判断其单调性，即可判断④．
【解析】
由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称，
，、，，关于对称，则；①正确；
对于②：由，因为，则；②正确；
对于③：构造函数；则，
当时，可得，函数在单调递增；
当时，可得，函数在单调递减；
，，，③正确；
对于④：，，令函数，则
当时，可得，函数在单调递减；
当时，可得，函数在单调递增；
，不对，即④不对．
故选：B
7．下列函数中，的最小值是2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
对于A：取特殊值，代入后否定结论；
对于B：取特殊值，代入后否定结论；
对于C：利用导数判断单调性，求出最小值；
对于D：根据基本不等式利用的条件“一正二定三相等”进行判断.
【解析】
对于A：的定义域为.取特殊值，代入得y=-2<2.故A错误；
对于B：的定义域为.取特殊值，代入得y=e-1<2.故B错；
对于C：的定义域为R. .
令，解得；令，解得；所以在上单减，在上单增，所以当时，y取得最小值2.故C正确；
对于D：.令，则.
所以，当，记时取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D错误.
故选：C
8．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为
D．若，则
【答案】C
【分析】
利用导数研究的单调性，即可判断A、B的正误；由在、上的值域，即可知恰有两个不等的实根时的取值范围；若，构造及并利用导数研究单调性，进而确定在上的符号判断的符号，再结合的单调性即可证.
【解析】
由题意，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
A：，正确；
B：的极大值，也是最大值为，正确；
C：∵时，即上；
时，即上；
∴要使恰有两个不等的实根，则，错误；
D：由知：若，令，，，
∴设，，则，
∴在上单调递增，即，故在上恒成立，
∴，即，又，，
由在上递减，即，故，正确.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，进而比较函数值的大小及最大值，再由的区间值域，确定恰有两个不等的实根时的范围；利用极值点偏移问题的解法证明即可.
二、多选题
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的周期为 B．的图象关于对称
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】
根据周期函数的定义判断A，由对称性判断B，求导数，确定函数的单调性、最值判断CD．
【解析】
，
所以是函数的一个周期，A正确；
，，B错误；
，
则，
考虑一个周期长度的区间范围内，得，，，
－ 0 － 0 ＋ 0 －
减 减 极小值 增 极大值 减
，又，，
所以，C正确，由表格知D正确．
故选：ACD．
10．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．在上是增函数
C．的最大值为 D．在上有个极值点
【答案】CD
【分析】
分别计算和的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到的最小正周期为，即可判断A选项；设，
对求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断BCD选项.
【解析】
解：因为：，
的最小正周期是，的最小正周期是，
所以的最小正周期是，故A不正确；
由题可知，取一周期，不放设，
由，
令得，，，
当，，为增函数，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
所以在，上单调递增，在上为单调递减，故B不正确；
由于，，所以的最大值为，所以C正确；
由上可得在上，在和处取得极值点，
即在上有个极值点，故D正确.
故选：CD.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最大值为1
C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】
利用导数研究的单调性，即可判断A、B的正误；由在、上的值域，即可知恰有两个不等的实根时的取值范围；取 ，要证，即证，构造函数并利用导数研究单调性，进而确定在上的符号，即可证.
【解析】
由题意，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
即在上单调递增；在上单调递减，
A：，正确；
B：的极大值，也是最大值为，正确；
C：∵时，即上；
时，即上；
∴要使恰有两个不等的实根，则，错误；
D：不妨设 ，在上单调递增；在上单调递减，
若，则 ，
要证，即证，
，
只需证明，
即证明
令，
，
当时，，函数在上单调递增；
所以，
所以，即，故，正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．已知函数，则的最小值是______．
【答案】
【分析】
利用导数判断函数的单调性，从而求函数的最小值.
【解析】
由题意，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以时取得最小值，此时．
当时，，
当时，，所以的最小值是．
13．已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
将不等式化成，再两边取对数，分离参数并构造函数，求出函数的最值即可得解.
【解析】
，，而，
于是得：，，令，，
，当时，，当时，，
因此，在上单调递增，在上单调递减，即当时，，
于是得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
14．已知，（为常数），的最大值为，则_______．
【答案】2
【分析】
令，得到，然后对取对数，构建新的函数，然后利用导数得到，进一步得到，最后得到结果.
【解析】
令，所以，其中
，令，且
，
所以可知：，；，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以，
由，，所以函数在单调递增
所以
由，即，所以
故答案为：2
【点睛】
关键点点睛：关键在于使用换元，并构建函数，结合导数进行求解.
四、解答题
15．已知斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A B两点，y轴上的点P使得△ABP是等边三角形.
（1）若k>0，证明：点P在y轴正半轴上；
（2）当取到最大值时，求实数k的值.
【答案】
（1）见解析
（2）
【分析】
（1）设，的中点为，则计算可得，从而可得点P在y轴正半轴上.
（2）结合（1）中的直线方程，利用弦长公式、韦达定理可得，利用导数可求何时取到最大值时，从而可求对应的斜率.
（1）
设，的中点为，，
因为，故直线的斜率存在，故，故，
故直线，故，
因为的中点为，故，故.
所以点P在y轴正半轴上.
（2）
当与轴垂直时，；
当与轴不垂直时，因为△ABP是等边三角形，故与轴不垂直，故.
由（1）可得即，
故，所以，
又，
由可得，
所以即且，
因为△ABP是等边三角形，故，
故，整理得到，此时成立.
由可得.
因为，故，其中.
设，，
则，
当时，；时，；
所以在上为增函数，在上为减函数，
故当时，的最大值为，
此时，
此时直线的斜率即.
【点睛】
思路点睛：对于抛物线中的计算问题，需考虑几何对象的合理假设，本题如果用斜率和截距表示直线方程，则计算量巨大，但如果设弦的中点，则可简化计算.另外注意导数在最值问题中的应用.
16．已知函数，其中，e为自然对数的底数.
（1）求函数的最小值；
（2）若函数在区间上有两个零点，求a的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用导数求出函数的单调性，即得解；
（2）对分三种情况讨论分析函数的图象即得解.
（1）
解：∵，
∴.
令，得；令，得.
∴在上单调递减，在上单调递增.
∴.
（2）
解：由（1）知，
①当时，在区间上单调递增，此时在区间不可能有两个零点；
②当时，在区间上单调递减，此时在区间不可能有两个零点；
③当，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，
又，∴，
∴当，即时，在区间上有一个零点.
∴当时，在区间上有两个零点.
17．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若有三个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
【答案】
（1）
（2）① ；②证明见解析
【分析】
（1）令，求出，然后判断单调性即可求解；
（2）①：由（1）知，时，，在单调递增，不合题意；由函数零点存在定理可得在和内分别有唯一的零点记为，，则，在上单增，在上单减，在上单增，又由函数零点存在定理即可得有三个零点，符合题意；
②：记的三个零点大小为，即，又，则当时，成立，所以，即，化简，得，进而即可证明.
（1）
解：，
令，则，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为，即函数的最小值为；
（2）
解：①：由（1）知，时，，在单调递增，不合题意；
当时，，
，
，
所以在和内分别有唯一的零点记为，，则，
所以在上单增，在上单减，在上单增．
易知，1为的一个零点，，，
又，，
所以有三个零点，符合题意．
综上，．
②证明：不妨记的三个零点大小为，即．
又，即．
所以当时，成立．
即当，则，且，又在有且只有一个零点，
所以，即．
化简，得，
所以．
即．
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