河北省秦皇岛市卢龙县第二高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

卢龙县第二高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试
数学
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
1、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1 .已知直线的倾斜角为，则的斜率是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.圆心在(-1,0),半径为的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
3.下列直线中，与直线垂直的是( )
A． B． C． D．
4.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
5.若圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则这个圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
6.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　)
A． B． C． D．
7.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是的中点.由以下论断：
①与是异面直线； ②平面；
③与为异面直线，且； ④平面．
则这些论断正确的序号是（ ）
A．③ B．③④ C．①②③ D．②③④
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9.下列说法中，正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角为
C. ，，三点共线
D. 过点且在轴上的截距相等的直线方程为
10.已知空间三点,则下列说法正确的是（　 )
A. B. C. D.
11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为(　　)
A.4 B.6 C.3+1 D.8
12.若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13.已知，，且，则的值是_________.
14.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是　　　　　　　　.
15.已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l的方程为-kx+y+k-1=0,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为　　　　.
16.已知正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为_________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.的三个顶点是，，，求
（1）经过点,且平行于过和两点的直线的方程；
（2）边的垂直平分线的方程.
18.如图，已知直三棱柱 ，在底面 中，，，棱 ，， 分别是 ， 的中点．
(1) 求 的模；
(2) 求 的值；
(3) 求证：．
19.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.
(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,若直线l过点(2,1),且与圆C2的相交弦长为2,求直线l的方程.
20.已知直线l1:mx-2(m+1)y+2=0,l2:x-2y+3=0,l3:x-y+1=0是三条不同的直线,其中m∈R.
(1)求证:直线l1恒过定点,并求出该点的坐标;
(2)若以l2,l3的交点为圆心,2为半径的圆C与直线l1相交于A,B两点,求|AB|的最小值.
21.如图所示，平面，四边形为矩形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
22.在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，，，且______.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
2021—2022学年第一学期期中考试高二数学学科答案
一、单选题
1-5 A A C D B 6-8 D A A
1、多选题
9.BC 10. BCD 11. ABC 12. ABC
2、填空题
四、解答题
17.解：（1）
由点斜式得，化简得
法2：
由两点式得，化简得
设过A点且平行于过B、C两点的直线方程为
代入得
所以
（2）设B、C中点为O，则
由（1）知，，所以BC垂直平分线的斜率为
所以BC垂直平分线的方程为，化简得
18. 解：(1) 如图，以点 作为坐标原点 ，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．
由题意得 ，，
所以 ．
(2) 由题意得 ，，，，
所以 ，，
，，，
所以 ．
(3) 由题意得 ，，
，，
所以 ，
所以 ，即 ．
19.解：(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),半径r1=1,
由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,
则C2(3,0),半径r2=(m<9).
∵圆C1与圆C2外切,∴
|C1C2|=r1+r2,
∴3=1+,解得m=5.
(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,
则C2(3,0),r2=2.
由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,
当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;
当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),
化为一般形式为kx-y-2k+1=0,
则圆心(3,0)到直线l的距离d==1,
解得k=0,得直线方程为y=1.
综上,直线l的方程为x-2=0或y-1=0.
20.(1)证明：l1:mx-2(m+1)y+2=0可化为m(x-2y)-(2y-2)=0,
由
∴直线l1恒过定点D(2,1).
(2)解：l2:x-2y+3=0,l3:x-y+1=0联立可得交点坐标C(1,2),当|AB|最小时,CD⊥直线l1.
∵|CD|=,
∴|AB|的最小值为2=2.
22.解：方案一：选条件①.
（1）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
方案二：选条件②.
（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.
又，，，平面，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
方案三：选条件③.
（1）∵平面，平面，∴.
又，，平面，，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
21.