华师大版数学八上 14.1直角三角形三边关系（共24张t）

(共24张PPT)
华东师大版·八年级上册
第14章 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
创设情境，导入新课
情境：
13步
5步
走捷径到底能节约几步？
通过本节课的学习就可以解答这个问题了！
新课导入
会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
那什么是勾股定理呢？
斜边(直角所对的边)：c
称为弦
较长直角边：b
称为股
最短直角边：a
称为勾
观察思考，获得猜想
注水实验
猜想：a,b,c有什么关系？
思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？
P
Q
R
A
C
B
SP+SQ=SR
直角三角形ABC三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
验证猜想：
试
一
试
观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：
P
Q
R
A
B
C
正方形P的面积=______平方厘米；
正方形Q的面积=______平方厘米；
正方形R的面积=______平方厘米.
9
16
25
P
Q
R
A
B
C
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是_______________.
SP+SQ=SR
由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关系是：
AC2+BC2=AB2
做
一
做
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
5cm
12cm
13cm
归纳新知
概括
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2，
a
b
c
这种关系我们称为勾股定理.
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
回归情境，解决问题
情境：
5步
12步
13步
13步
5步
12步
少走：13+5-12=6步
读
一
读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就.
勾
股
a
b
c
股
勾
弦
思考：怎样证明勾股定理？
左图是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形.
大正方形的面积=c2.
四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和= .
即a2+b2=c2.
做
一
做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积之和= .
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
例1
在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC.
解：根据勾股定理，可得AB2+BC2=AC2.
所以
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度.
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=________；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=________；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是________.
试
一
试
13
15
10或
例2
如图所示，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm.求AC的长.
解：由已知AB=AC-2，BC=6cm，根据勾股定理可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
A
B
C
解得AC=10(cm).
如图所示，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
例3
解：如图所示，在Rt△ABC中，
AC=160米，BC=128米，
根据勾股定理，可得
答：从点A穿过湖到点B有96米.
随堂练习
1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C=90°.
(1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=24，c=25，求b.
解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，由勾股定理，得 .
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=24，c=25，根据勾股定理，得 .
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？(精确到0.1厘米)
解：分两种情况.①若这两边是直角边，则斜边长是
=5，周长是3+4+5=12(厘米)；②若这两边中较长的边是斜边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为
(厘米)，周长是 (厘米)，所以此三角形的周长是12厘米或9.6厘米.
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？(精确到0.1厘米)
解：分两种情况.①若这两边是直角边，则斜边长是
=5，周长是3+4+5=12(厘米)；②若这两边中较长的边是斜边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为
(厘米)，周长是 (厘米)，所以此三角形的周长是12厘米或9.6厘米.
3.如图，小方格都是边长为1的正方形.求四边形ABCD的面积与周长. (精确到0.1)
解：S大正方形=5×5=25，
四个直角三角形的面积之和=1×2×
+2×4× +3×3× +2×3× =12.5
所以S四边形ABCD=25-12.5=12.5.
4.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游.按照探宝图(如图)，他们在点A处登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到了宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？
C
解：如图所示，过点B作AD的垂线，垂足为C，
则△ABC为直角三角形，且AC=8-3+1=6，BC=6+2=8，
所以AB= =10(千米).
答：登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是10千米.
课堂小结
勾股定理
定理
验证
1.求边长、面积，证明线段之间的平方关系
2.勾股定理的实际应用
应用
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
用拼图法验证勾股定理