华师大版数学八上 14.2直角三角形的判定 （共20张）

(共20张PPT)
华东师大版·八年级上册
第14章 勾股定理
2.三角形的判定
新课导入
在古埃及，没有三角板、圆规、量角器等作图工具，人们是怎样得到一个直角的呢？
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗？
请同学们观察，这个三角形三边长分别为多少？
3
4
5
这个三角形的三条边有什么关系吗？
32+42=52
试
一
试
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1) a=3，b=4，c=5；
(2) a=4，b=6，c=8；
(3) a=6，b=8，c=10.
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所画的三角形不是直角三角形.
a2+b2=c2
探究新知
对于直角三角形的判定，有一般的结论：
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
互逆定理
试
一
试
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？
(1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解：(1)最长边为25，
∵a2+c2=72+242=49+576=625，
b2=252=625，
∴a2+c2=b2.
∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形.
试
一
试
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？
(1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解：(2)最长边为13，
∵b2+c2=112+92=121+81=202，
a2=132=169，
∴b2+c2≠a2.
∴以13，11，9为边长的三角形不是直角三角形.
已知：如图所示(1)，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：∠C=90°.
C
A
B
(1)
C
A
B
(1)
在△ABC和△A′B′C′中，
∵BC = a = B′C′，
AC = b = A′C′，
AB = c = A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C=∠C′=90°.
证明：如图所示(2)，作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c.
(2)
C′
A′
B′
已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
例4
解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n4
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2，
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
勾股数
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.例如3，4，5；6，8，10；n -1，2n，n +1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.
随堂练习
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足a2=c2-b2，则这个三角形是直角三角形吗？
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
随堂练习
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
勾股数
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.例如3，4，5；6，8，10；n -1，2n，n +1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.
随堂练习
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足a2=c2-b2，则这个三角形是直角三角形吗？
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
3.想一想，你现在有多少种方法可以判断一个三角形是直角三角形.
解：①有一个角为直角的三角形是直角三角形.②两内角互余的三角形是直角三角形.③如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
4.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A.5，6，7 B.10，8，4
C.7，25，24 D.9，17，15
5.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A. B.
C. D.
C
B
课堂小结
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数