华师大版数学八上 14..3反证法（共18张）
文档属性
| 名称 | 华师大版数学八上 14..3反证法（共18张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 247.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-02 14:12:53 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
华东师大版·八年级上册
第14章 勾股定理
3.反证法
新课导入
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
王戎的推理方法是：
假设李子不苦，
则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
探究新知
若a2+b2≠c2（a≤b≤c），则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才王戎的方法推理吗？
(1)假设它是一个直角三角形；
(2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
王戎的推理方法是：
假设李子不苦，
则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
探究新知
若a2+b2≠c2（a≤b≤c），则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才王戎的方法推理吗？
(1)假设它是一个直角三角形；
(2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，从而说明假设不成立，近而得出原结论正确．
这种证明方法叫做
反证法
先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.
即：一、反设；
二、推理得矛盾；
三、假设不成立，原命题正确.
归纳
读
一
读
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
例5
求证：两条直线相交只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
例6
已知：△ABC.
求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°.
于是∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180 °，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
随堂练习
1.试说出下列命题的反面：
(1) a是实数； (2) a大于2；
(3) a小于2； (4) 至少有2个；
(5) 最多有一个； (6) 两条直线平行；
a不是实数
a小于或等于2
a大于或等于2
没有2个
一个也没有
两直线相交
2.用反证法证明“若a2≠ b2，则a ≠ b”的第一步是________.
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步_______________
_________________.
假设a=b
假设这个三角形
是等腰三角形
4.求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等.
证明：假设三角形的两条边所对的两个角相等，那么它们所对的边相等，这与已知条件矛盾，∴假设不成立，∴它们所对的角不相等.
5.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行.
证明：假设这两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截，内错角相等，这与已知条件矛盾，∴假设不成立，∴这两条直线不平行.
课堂小结
反证法
定义：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法
步骤
1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的
2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾
3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确
华东师大版·八年级上册
第14章 勾股定理
3.反证法
新课导入
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
王戎的推理方法是：
假设李子不苦，
则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
探究新知
若a2+b2≠c2（a≤b≤c），则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才王戎的方法推理吗？
(1)假设它是一个直角三角形；
(2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
王戎的推理方法是：
假设李子不苦，
则因树在“道”边，李子早就被别人采摘，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
探究新知
若a2+b2≠c2（a≤b≤c），则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才王戎的方法推理吗？
(1)假设它是一个直角三角形；
(2)根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，从而说明假设不成立，近而得出原结论正确．
这种证明方法叫做
反证法
先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.
即：一、反设；
二、推理得矛盾；
三、假设不成立，原命题正确.
归纳
读
一
读
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
例5
求证：两条直线相交只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
例6
已知：△ABC.
求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°.
于是∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180 °，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
随堂练习
1.试说出下列命题的反面：
(1) a是实数； (2) a大于2；
(3) a小于2； (4) 至少有2个；
(5) 最多有一个； (6) 两条直线平行；
a不是实数
a小于或等于2
a大于或等于2
没有2个
一个也没有
两直线相交
2.用反证法证明“若a2≠ b2，则a ≠ b”的第一步是________.
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步_______________
_________________.
假设a=b
假设这个三角形
是等腰三角形
4.求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等.
证明：假设三角形的两条边所对的两个角相等，那么它们所对的边相等，这与已知条件矛盾，∴假设不成立，∴它们所对的角不相等.
5.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行.
证明：假设这两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截，内错角相等，这与已知条件矛盾，∴假设不成立，∴这两条直线不平行.
课堂小结
反证法
定义：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法
步骤
1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的
2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾
3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确