课时22.1.4 二次函数的图象和性质（4）
二次函数y= ax2+bx+c的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
y= ax2+bx+c的图象和性质
1．已知抛物线y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）经过不同两点A(1﹣b，m)，B（2b+c，m），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（ ）的图象上．
A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x+1
【答案】C
【解析】解：由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点A（1b，m），B（2b+c，m），，即，抛物线的顶点纵坐标为，∴顶点坐标为（b，b24b+4），
将顶点坐标代入A得，b24b+4=b+2，整理得b25b+2=0，∵524×2＞0，故顶点可能在A上；将顶点坐标代入B得，b24b+4=-b+2，整理得b23b+2=0，∵324×2＞0，故顶点可能在B上；将顶点坐标代入C得，b24b+4=2b+1，整理得b22b+3=0，∵224×3＜0，故顶点不可能在C上；将顶点坐标代入D得，b24b+4=2b+1，整理得b26b+3=0，∵624×3＞0，故顶点可能在D上；故选：C．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：①∵由抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，∴a、b同号，即ab＞0．∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，∴①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，∴②正确；
③对称轴为x＝﹣＞﹣1，即＜1，∵a＜0，∴b＞2a，即2a﹣b＜0，∴③错误；
④当x＝1时，y＝a+b+c＝0，又∵b＞2a，∴a+b+c＝0＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0．
∴④正确．
综上所述，正确的结论有①②④共3个，故选：C．
3．已知二次函数，当时，函数的最大值是______．
【答案】
【解析】解：∵∴二次函数的对称轴为 ，
∵ ，∴该函数图象开口向下，
∵，∴此时图象位于对称轴的右边，
∴此时 随 的增大而减小，
∴当 时，函数有最大值，则最大值为 ，故答案为： ．
4．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
（1）求b，c的值；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使当m≤x≤n时，二次函数的最小值是4m，最大值是4n．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=2，c=15；（2）m=-5，n=4
【解析】解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
∴，∴b=2，∴y=-x2+2x+c，
把（1，16）代入得，16=-1+2+c，∴c=15；
（2）存在，理由如下，分三种情况：
a、n≤1，有：-m2+2m+15=4m①，-n2+2n+15=4n②，m＜n③，解得m=n，不合题意；
b、m≥1，有：-m2+2m+15=4n①，-n2+2n+15=4m②，m＜n③，
①-②得：（n-m）（m+n）=6（n-m），n-m＞0，∴m+n=6，
代入①解得：m=3，n=3；不合题意，
c、若m＜1，n＞1，
∵此时函数的最大值为16，∴4n=16，∴n=4，∴当x=m时，-m2+2m+15=4m，
解得m1=-5，m2=3（舍去），
当x=n时，-n2+2n+15=4m，∴-16+8+15=4m，解得m=（舍去），
综上所述：m=-5，n=4．
【划考点】抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样；
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧；
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴；
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
1．如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【解析】解：∵函数图象与x轴两个交点，∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故①错误，
∵抛物线顶点在y轴左侧，与y轴交于正半轴，∴ab＞0，c＞0，则abc＞0，故②正确，
∵ ＝ 1，则b=2a，∵x=-1时，y=a-b+c＜0，则a-2a+c＜0，得a＞c，故③正确，
∵对称轴为直线x=-1，则当x=-2与x=0时的函数值相等，则x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故④正确，故选：D．
2．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的函数有（ ）
（1）y＝2x2；（2）y＝﹣x2；（3）y＝﹣2x；（4）y＝3x；（5）y＝﹣3x﹣2；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：（1）y＝2x2，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，故（1）错误，
（2）y＝x2，当x＞0时，y值随x值的增大而减小，故（2）正确，
（3）y＝﹣2x，y随x的增大而减小，故（3）正确，
（4）y＝3x，y随x的增大而增大，故（4）错误，
（5）y＝﹣3x﹣2，y随x的增大而减小，故（5）正确，
∴正确的有（2）（3）（5），故选：C．
3．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣4x＋a上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【答案】B
【解析】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣4x＋a，∴图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
∵（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣4x＋a上的点，
∴点（1，y3）关于对称轴x＝﹣2的对称点是（﹣5，y3），
∵﹣5＜﹣3＜﹣2，∴y2＞y1＞y3，故选：B．
4．已知是抛物线上的点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵，∴对称轴，距离对称轴越远，函数值越大又∵点到对称轴的距离分别为
∴故答案选B
5．若点，，，都在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
解：由题可知函数单调性为，当x≤1时，函数值随x的增大而减小；当x＞1时，函数值随x的增大而增大.
∵-2＜-1＜1，∴，故选择C.
6．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x＋4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（ ）
A．2 B．6 C．﹣2 D．0
【答案】D
【解析】解：∵二次函数
∴该函数的顶点坐标为
∵二次函数图象的顶点在坐标轴上，
∴或，当时，
当时， 或
或 综上：或或 故选：D．
7．若函数y=ax+bc的图象如图所示，则有可能是函数y=ax2+bx+c的大致图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：根据题意，则有，，
∴二次函数的图像开口向上，排除A、C；
选项B中，，，，则，符合题意；故排除D；故选：B．
8．如图，在Rt OAB中，OA=OB，∠OAB=90°，点P从点O沿边OA，AB匀速运动到点B，过点P作PC⊥OB交OB于点G，线段AB=2，OC=x，S POC=y，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：是等腰直角三角形，
①当P点在OA上时，即时，
是开口向上的抛物线，当时，；
②当P点再AB上时，即时，，则
是开口向下的抛物线，当时，．
综上所述，D答案符号运动过程中y与x的函数关系式．故选D．
9．二次函数y＝2x2+4x+1图象的顶点坐标为_____．当x=-1时，y=_____．
【答案】(-1，-1） -1
【解析】解：∵y＝2x2+4x+1=2(x2+2x+1) 1=2(x+1)2 1，
∴抛物线顶点坐标为( 1， 1)，当x=-1时，y＝
故答案为：( 1， 1)；
10．如图，点（1，0），（0，3）在抛物线y=-x2+bx+c上，且抛物线的对称轴为x=-1，若y＞0，则x的取值范围是_________．
【答案】-3＜x＜1
【解析】∵抛物线的对称轴为x=-1，点（1，0）在抛物线上，
∴该抛物线与轴的另一个交点与点（1，0）关于x=-1对称，
∴另一个交点为（-3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围为-3＜x＜1，故答案为：-3＜x＜1
11．二次函数的图象与y轴交点坐标为________．
【答案】（0，1）
【解析】解：当x＝0时，y＝﹣3x2+5x+1＝1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
12．抛物线中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是__________．
【答案】x<1
【解析】a =-1 < 0，二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1,
当x< 1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大，故答案为：x< 1．
13．当a＞0时，的开口方向________顶点坐标_________对称轴_________在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而_________，当x＝时，y有最小值y＝________
【答案】向上 （，） x＝ 减小 增大
【解析】略
14．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
… …
… …
则二次函数图象的顶点坐标是____________．
【答案】
【解析】解：由表可知，该二次函数的对称轴为直线x=﹣1，
当x=﹣1时，y=0，∴二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：．
15．已知二次函数
（1）求出函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）直接写出当满足什么条件时，函数值随着的增大而减小？
【答案】（1）顶点坐标（2，4）；对称轴直线x=2 ；（2）x2
【解析】解：（1）y=-（x2-4x），=-（x2-4x+4）+4，=-（x-2）2+4，
对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，4）；
（2）∵y=-（x-2）2+4，a＜0，函数图象的开口方向向下，对称轴为直线x=2，
∴当x2时，函数值y随着自变量x的增大而减小．
16．已知抛物线，
（1）用配方法求出它的顶点坐标、对称轴方程．
（2）画草图，结合图像回答 x取何值时，y<0
【答案】（1）顶点坐标为：（-），对称轴直线为：x=；（2）图见解析，x<-2或 x>
【解析】（1）解：y=-2x2-x+6=-2(x2+x)+6 =-2(x2+x+-)+6=-2[ (x+ )2 -]+6
= -2(x+ )2 + +6 = -2(x+ )2 +
∴顶点坐标为：（- ），对称轴直线为：x=；
（2）解：画草图如下，
将y=0代入y=-2x2-x+6得-2x2-x+6=0，解得x1=，x2=-2，
∴抛物线与x轴两交点的坐标为（ ， 0），（-2，0），
∴当 y<0时，x的取值范围为 x<-2或 x>．
17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点，且满足，求n的取值范围；
（3）若时，，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)（b，-2）,（2） ，（3）．
【解析】解：(1) 化成顶点式为：，抛物线顶点的坐标为（b，-2）；
(2)把代入解析式得，，解得，（舍去），，抛物线解析式为：，
因为抛物线开口向下，当时，n有最小值，最小值为-2，当时，n=2，当时，n=-1，所以，n的取值范围为：；
(3)把（3,2）代入得，，解得，，，
观察图象，当时，满足时，；
把（5,2）代入得，，解得，，，
观察图象，当时，满足时，；故b的取值范围为．
18．画出函数y＝x2﹣4x+3的图象，根据图象，解决下列问题：
（1）当0≤x≤3时，y的取值范围是 ．
（2）当y＜0时，x的取值范围是 ．
（3）该函数的图象可由y＝ x2的图象先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度而得到．
【答案】（1）﹣1≤y≤3；（2）1＜x＜3；（3）：右，2，下，1
【解析】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，顶点坐标为：（2，﹣1），
令y＝0，则x＝1或3，令x＝0，则y＝3，则函数图象如图所示：
（1）由图象可知，当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3，故答案为：﹣1≤y≤3；
（2）由图象可知，y＜0时，1＜x＜3，故答案为：1＜x＜3；
（3）根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，可知：
二次函数y＝ x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1的图象y＝ x2的图象先向右移2个单位长度，再向下平移个1单位长度而得到．故答案为：右，2，下，1．
19．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图象过点A(2，3)，交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴；
（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；
（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，，当时，．
【解析】（1）交y轴于点B，
将代入，解得，，
过， ，即，；
（2）对称轴为，若抛物线最高点的纵坐标为4，则顶点坐标为：，
设二次函数的表达式为，将代入，解得，
，即；
（3）分情况讨论，当时，抛物线的开口朝上，在对称轴的左侧是随的增加而减小，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且，，
当时，抛物线的开口朝下，在对称轴的左侧是随的增加而增大，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且，，
综上所述，当时，，当时，．
20．如图，抛物线与轴交于两点，．
（1）求，的值．
（2）观察函数的图象，直接写出当取何值时，．
（3）设抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）＜或＞；（3）存在，
【解析】解（1） 抛物线与轴交于两点，，
解得：
（2）由（1）得：抛物线为： 而，，
当时，函数图象在轴的上方，结合图象可得：＜或＞
（3）存在，理由如下：如图，抛物线为：
抛物线的对称轴为： 由抛物线的对称性可得：关于对称，连接 交对称轴于 则
此时▲QAC的周长最短，
设为：
为：当时，
21．已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，抛物线的对称轴直线与抛物线交于点，与直线交于点．
（1）点的坐标为_______，_______（直接填写结果）．
（2）若点是直线上方抛物线上的一个动点，是否存在点，使四边形的面积为，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）不存在，理由见解析
【解析】解析：（1）抛物线过点，，解得，，
抛物线的解析式为，令，解得，，
（2）假设存在满足条件的点，如图所示，连结、、，过点作轴于点，轴于点，
设点的坐标为，其中，则，，
，令，即，则，
方程无解
故不存在满足条件的点．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
【答案】（1） ；（2）S关于m的函数关系式为 ， S的最大值为4．
【解析】解（1）将A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得：
，解得： ，∴抛物线解析式为： ；
（2）如图，过点M作MN⊥AC于点N，
∵抛物线与y轴交于点B，当 时， ，∴ ，即OB=4，
∵点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，∴，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
∴当 时，S有最大值，最大值为 ，
∴S关于m的函数关系式为 ， S的最大值为4．
(
1
)课时22.1.4 二次函数的图象和性质（4）
二次函数y= ax2+bx+c的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
y= ax2+bx+c的图象和性质
1．已知抛物线y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）经过不同两点A(1﹣b，m)，B（2b+c，m），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（ ）的图象上．
A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x+1
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知二次函数，当时，函数的最大值是______．
4．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
（1）求b，c的值；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使当m≤x≤n时，二次函数的最小值是4m，最大值是4n．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
【划考点】抛物线中，的作用：
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样；
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ，故：①时，对称轴为；②（即、同号）时，对称轴在；③（即、异号）时，对称轴在；
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点 ：
①，抛物线经过 ; ②,与轴交于 ；③,与轴交于
。
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
1．如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的函数有（ ）
（1）y＝2x2；（2）y＝﹣x2；（3）y＝﹣2x；（4）y＝3x；（5）y＝﹣3x﹣2；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣4x＋a上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
4．已知是抛物线上的点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若点，，，都在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x＋4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（ ）
A．2 B．6 C．﹣2 D．0
7．若函数y=ax+bc的图象如图所示，则有可能是函数y=ax2+bx+c的大致图象的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在Rt OAB中，OA=OB，∠OAB=90°，点P从点O沿边OA，AB匀速运动到点B，过点P作PC⊥OB交OB于点G，线段AB=2，OC=x，S POC=y，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．二次函数y＝2x2+4x+1图象的顶点坐标为_____．当x=-1时，y=_____．
10．如图，点（1，0），（0，3）在抛物线y=-x2+bx+c上，且抛物线的对称轴为x=-1，若y＞0，则x的取值范围是_________．
11．二次函数的图象与y轴交点坐标为________．
12．抛物线中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是__________．
13．当a＞0时，的开口方向________顶点坐标_________对称轴_________在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而_________，当x＝时，y有最小值y＝________
14．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
… …
… …
则二次函数图象的顶点坐标是____________．
15．已知二次函数
（1）求出函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）直接写出当满足什么条件时，函数值随着的增大而减小？
16．已知抛物线，
（1）用配方法求出它的顶点坐标、对称轴方程．
（2）画草图，结合图像回答 x取何值时，y<0
17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点，且满足，求n的取值范围；
（3）若时，，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
18．画出函数y＝x2﹣4x+3的图象，根据图象，解决下列问题：
（1）当0≤x≤3时，y的取值范围是 ．
（2）当y＜0时，x的取值范围是 ．
（3）该函数的图象可由y＝ x2的图象先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度而得到．
19．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图象过点A(2，3)，交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴；
（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；
（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大小．
20．如图，抛物线与轴交于两点，．
（1）求，的值．
（2）观察函数的图象，直接写出当取何值时，．
（3）设抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，抛物线的对称轴直线与抛物线交于点，与直线交于点．
（1）点的坐标为_______，_______（直接填写结果）．
（2）若点是直线上方抛物线上的一个动点，是否存在点，使四边形的面积为，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
