课时21.3.5 实际问题与一元二次方程（5）
面积、动态几何问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
用一元二次方程解决实际问题——面积、动态几何问题
1．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【答案】B
【解析】解：设榣栏AB的长为x米，则AD=BC=55-2x米，
根据题意可得，x(55-2x)=375，故选：B．
2．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,∴,即,
∵∴,
∵点为的中点，∴,故选：C．
3．如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3 B．4 C．2或 4 D．2或3
【答案】D
【解析】情况一：解：∵△ABC中，AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，
∴BD=12厘米，
情况一：若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12厘米，BP=CP=BC=×16=8（厘米）
∵点Q的运动速度为2厘米/秒，∴点Q的运动时间为：8÷2=4（s），
∴v=CQ÷4= 12÷4=3（厘米/秒）；
情况二：
②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，
得出，解得：解出即可．
因此v的值为：2厘米/秒或3厘米/秒，故选：D．
【划考点】根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
1．从一块正方形铁皮上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来正方形的面积为（ ）
A．56cm2 B．64cm2 C．81cm2 D．100cm2
【答案】B
【解析】解：设原来正方形的边长为xcm，依题意得：x2﹣2x＝48，
解得：x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去），∴x2＝8×8＝64．故选：B．
2．一块面积为900平方米的矩形绿地，长比宽多10米，设绿地的长为米，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：设绿地的长为x米，则宽为（x-10）米，
根据矩形的面积公式，得：x（x-10）=900． 故选A．
3．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝，小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（ ）
A．m＝2，n＝ B．m＝，n＝2 C．m＝，n＝2 D．m＝7，n＝
【答案】A
【解析】解：∵x2+mx﹣n＝0，∴x（x+m）＝n ，
∴图中长方形的长为x+m，宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝＝2，
大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝，∴x＝，
∴n＝x（x+m）＝，故选：A．
4．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．x（25﹣2x）＝80
【答案】A
【解析】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，
根据题意得：x（26﹣2x）＝80．故选：A．
5．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，故选：A．
6．如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得BC＝＝6．
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的，
则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．
根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，
∴CQ×PC＝×AC×BC，
即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6，
解得t＝2或t＝8（舍去）．故选：A．
7．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm
【答案】D
【解析】
设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵△A′B′C′由△ABC沿着AD方向平移得到，∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，∴A′F∥EC，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF为平行四边形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.故选D.
8．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是( )
A． B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：设当点P与点Q重合时t的值是x秒，由题意得：3x﹣x=10，解得：x=5，故选C．
9．师梅课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长10米、宽6米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为40平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为________．（结果化为一般式）
【答案】x2﹣11x+10＝0
【解析】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（10﹣2x）米，宽为（6﹣x）米，∴可列方程为（10﹣2x）（6﹣x）＝40，
化简得，x2﹣11x+10＝0，故答案为：x2﹣11x+10＝0．
10．如图，矩形鸡场平面示意图，一边靠墙，墙长，另外三面用竹篱笆图成，若竹篱笆总长为，所围的面积为，则此矩形鸡场中，平行于墙面的竹篱笆边长为______．
【答案】7
【解析】解：设鸡场的长为xm，则鸡场的宽为（27-x）m，
根据题意得：（27-x）x=70，解得：x=7或x=20，
∵墙长8m，∴x=7，∴平行于墙面的竹篱笆边长为7m，故答案为：7
11．如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为______．
【答案】
【解析】解：如图，过点F作FG⊥BC交BC延长线于G，则∠CGF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝，∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，
∴BD==2，
∵四边形BFED为菱形，∴CE//BD，BF＝BD=2，
∴∠FCG＝∠CBD＝45°，∴△CFG是等腰直角三角形，
设CG＝FG＝m，则CF=m，∴BG＝+m，
∵在Rt△BFG中，，
∴，
解得：， (舍去)，
∴CF=（- ）=，
故答案为．
12．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为__cm．
【答案】15
【解析】解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝1400，展开得：x2﹣75x+900＝0，
解得：x1＝15，x2＝60（不合题意，舍去），
则铁皮各角应切去边长为15cm的正方形．故答案是：15
13．如图，某花圃公司在如图所示的平行四边形场地培育花苗，两边靠墙（墙的长度足够长，墙米），另外两边用总长为59米的篱笆围成，边上留有1米宽的门（门不用篱笆），两面墙的夹角．若平行四边形场地面积为平方米，则的长应为_______米．
【答案】40．
【解析】解：如图所示，过A点作AE⊥BC于点E．设BC的长度为x，
由题意可得：AB=CD=59-x+1=60-x，
∵AB≤AN，∴60-x≤30，解得：x≥30．
∵四边形是平行四边形，∴AD//BC，
∴∠ABC=180°-120°=60°，，∴，
∴由勾股定理得：，
∵平行四边形场地面积为，∴，
解得： (舍去)，．故答案为：40．
14．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为____________平方米．
【答案】120
【解析】解：设矩形铁皮的长为x米，则宽为（x-2）米，由题意，得
(x-4)(x-2-4)×2=96，解得：x1=12，x2=-2（舍去），
所以矩形铁皮的宽为：12-2=10米，
矩形铁皮的面积是：12×10=120（平方米）．
答：矩形铁皮的面积是120平方米．故答案为：120．
15．如图，在矩形中，，为上一点，将 沿折叠，使点正好落在边上的处，作的平分线交 于，交的延长线于，若，则 的长为 _______________________ ．
【答案】．
【解析】解：∵将沿折叠得，∴，
如图示，过点作交于点，
∵是的平分线∴，
又∵， ，
可得：，即 ，
设，则，，
在中，，
即：，
解之得：，负值已舍去，∴，故答案是：．
16．如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．
【答案】或
【解析】解：∵在等腰中，，，
∴，，．
∵于点．
∴设当时间为秒时，的面积为．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
综上所述：当或秒时，的面积为．
故答案为：或．
17．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为______秒．
【答案】2
【解析】根据题意可知CN=t，AM=2t，∴BN=8-t,BM=12-2t,
∵△MNB的面积为24cm2∴×（12-2t）×（8-t）=24
解得x1=2,x2=12(舍去)故答案为：2．
18．如图，长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒，当________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】或或或
【解析】解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．
∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．
在RtPQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t＝．
如图2，当PD＝PQ时，
作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm．
∵DQ＝6﹣t，∴DE＝．∴2t＝，解得：t＝；
如图5，当PD＝QD时，
∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．
在RtAPD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，
解得t1＝，t2＝（舍去）．
综上所述：t＝，，，．
故答案为：，，，．
19．用一块长8dm，宽6dm的矩形薄钢片制作成一个无盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．
（1）若要做成的盒子的底面积为15dm2时，求截去的小正方形的边长；
（2）当这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6时，求截去的小正方形的边长．
【答案】（1）dm；（2）1dm．
【解析】解：（1）设截去的小正方形的边长为xdm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2x）dm，宽（6﹣2x）dm的长方形，
依题意得：（8﹣2x）（6﹣2x）＝15，
整理得：4x2﹣28x+33＝0，解得：x1＝，x2＝，
当x＝时，6﹣2x＝6﹣2×＝3，符合题意，
当x＝时，6﹣2x＝6﹣2×＝﹣5，不合题意，舍去，
答：截去的小正方形的边长为dm．
（2）设截去的小正方形的边长为ydm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2y）dm，宽（6﹣2y）dm的长方形，
依题意得：2×[（8﹣2y）y+（6﹣2y）y]：（8﹣2y）（6﹣2y）＝5：6，
整理得：17y2﹣77y+60＝0，解得：y1＝，y2＝1，
当y＝时，6﹣2y＝6﹣2×＝﹣，不合题意，舍去，
当y＝1时，6﹣2y＝6﹣2×1＝4，符合题意，
答：截去的小正方形的边长为1dm．
20．某农场要建一个面积为80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m），另外三边用木栏围成，木栏总长26m，求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm．
（1）填空：养鸡场DE边的长为 m（用含x的代数式表示）；
（2）请你列出方程，求出问题的解．
【答案】（1）（26﹣2x）；（2）养鸡场CD边和DE边的长分别为8m，10m
【解析】解：（1）设CD＝xm，则DE＝（26﹣2x）m，
故答案是：（26﹣2x）；
（2）根据题意可得：x（26﹣2x）＝80，解得：x1＝5，x2＝8．
因为26﹣2x≤15，所以2x≥11，故x≥5.5．所以x＝8，
则DE＝26﹣16＝10．
答：养鸡场CD边和DE边的长分别为8m，10m．
21．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF＝45°．
（1）求证：EF＝BE+DF；
（2）若DF＝4，EF＝10，求四边形ABCD的边长．
【答案】（1）见解析；（2）12
【解析】（1）延长CD到点E′使DE′＝BE，如图，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ABE＝∠ADE′＝90°，
在△BAE和△DAE′中，，∴△BAE≌△DAE′（SAS），
∴AE＝AE′，∠BAE＝∠DAE′，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAE′+∠DAF＝45°，∴∠FAE′＝45°，
在△EAF和△E′AF中，，∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴EF＝E′F，
∵E′F＝DF+DE′，E′D＝BE，∴EF＝BE+DF；
（2）设正方形ABCD的边长为x，则CF＝x﹣4，
∵BE=EF DF=10 4=6，∴CE＝x﹣6，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：（x﹣4）2+（x﹣6）2＝100，
整理得，x2﹣10x﹣24＝0，
解得x＝12 或x=﹣2（舍去），
∴正方形的边长为12．
22．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供65m长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：
（1）如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？
（2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长．
【答案】（1）在墙AB上借用的CF的长度为20m；（2）BF的长为5m．
【解析】解：（1）设CF的长度为xm，则CD＝m，
依题意得：x ＝450，解得：x1＝20，x2＝45．
∵墙AB的长为25m，∴x＝45不合题意，舍去，∴CF＝20．
答：在墙AB上借用的CF的长度为20m．
（2）设BF的长为ym，则AD＝＝（20﹣y）m，
依题意得：（25+y）（20﹣y）＝450，
解得：y1＝5，y2＝﹣10（不合题意，舍去），∴BF＝5m．
答：BF的长为5m．
23．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
【答案】（1）n+3，n+2；（2）y＝n2+5n+6；（3）20；（4）1604元；（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，见解析
【解析】解：（1）观察图形可知，每一横行有 （n+3）块瓷砖，每一竖列有（n+2）块瓷砖．故答案为：n+3，n+2．
（2）第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；
∴y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．
（3）当y＝506时，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．
解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．∴此时的n值为20．
（4）白瓷砖的块数：n（n+1）＝20×21＝420．
黑瓷砖的块数：506﹣420＝86．
∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．
（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，理由如下：
当黑白瓷砖块数相等时，有：
n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．
∴n2﹣3n﹣6＝0．
解得：或
∵n是整数．∴不合题意，故不存在黑白瓷砖块数相等的情形．
24．为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．
（1）求AE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当矩形ABCD的面积为600m2时，求BC的长．
【答案】（1）（﹣x+30）米；（2）20m或40m.
【解析】解：（1）设BE＝am，而
区域①②③的面积相等，AE＝2am，AB＝3am，
依题意得：2×3a+2a+2x＝120，∴a＝﹣x+15，
∴AE＝2a＝﹣x+30，∴AE的长为（﹣x+30）m．
（2）依题意得：3a x＝600，即3（﹣x+15）x＝600，
整理得：x2﹣60x+800＝0，解得：x1＝20，x2＝40．
答：BC的长为20m或40m．
25．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
【答案】（1）当t＝2时，△PAQ为等腰三角形；（2）当t＝时，△APD的面积为6cm2；（3）五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2；（4）t＝
【解析】解：（1）根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，
∵为等腰三角形，，∴，即，
解得：，∴当时，△PAQ为等腰三角形；
（2）∵（cm2），
∴，解得：，∴当时，的面积为6cm2；
（3）∵（cm2），
∴整理得：，
∵，∴该方程没有实数根，
∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2；
（4）在Rt△APQ中，，
根据题意得：，
∴化简后得：，解得：，，
∵，，∴，
∴（舍去），∴．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0【答案】（1）t＝5或；（2）9或15；（3）存在，t＝秒或
【解析】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，
当P从B运动到C时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，
∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，
当P从C运动到B时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝2t﹣21，∴16﹣t＝2t﹣21，解得：t＝，
∴当t＝5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，（DQ＋CP） AB＝60，
即（16﹣t＋21﹣2t）×12＝60，解得：t＝9（秒），
若点P返回时，CP＝2t﹣2，则（16﹣t＋2t﹣21））×12＝60，
解得：t＝15（秒）．故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；
（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，
∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t），∵AH＝BP，∴2t＝（16﹣t）＋t，∴t＝秒；
当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t，
∵QD2＝PQ2＝t2＋122，∴（16﹣t）2＝122＋t2，解得t＝（秒）；
当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，
∵QD2＝PD2＝PH2＋HD2＝122＋（16﹣2t）2，
∴（16﹣t）2＝122＋（16﹣2t）2，
即3t2﹣32t＋144＝0，∵△<0，∴方程无实根，
综上可知，当t＝秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
27．如图1，已知，点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上．在中，边的角平分线交于点D．
（1）求两点的坐标；
（2）若点M是直线上的一个动点，点是坐标平面上的点，以点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标；
（3）如图2，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动：同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向移动，连结，设移动时间t秒．当t为何值时，是直角三角形．
【答案】（1）B（5，），D（3，）；（2）（+1，+1）或（0，）或（，）或（2，0）；（3）1或4或
【解析】解：（1）如图1中，作AH⊥OC于H．
在Rt△AOH中，∵OA=2，∠AOH=60°，∴OH=OA=1，AH=，∴A（1，），
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=OC=4，AB∥OC，∴∠ADO=∠DOC，
∵∠AOD=∠DOC，∴∠AOD=∠ADO，∴AO=AD=2，∴D（3，），B（5，）；
（2）如图，四边形AOMN为菱形，过M作ME⊥OC，垂足为E，
则OM=OA=2，
∵∠MOC=30°，∴ME=OM=1，∴OE=，
∴M（，1），∴N（+1，+1）；
如图，四边形AMON为菱形，MN与OA交于点E，
则OM=ON，MN⊥OA，AE=OE=1，
∵∠AOD=∠AON=30°，∴ON==，∴N（0，）；
如图，四边形AOMN为菱形，
∵D（3，），∴直线OD的表达式为，设M（a，），
∵OM=OA=2，∴，
解得：a=或（舍），∴M（，-1），∴N（，）；
如图，四边形AONM为菱形，
则OA=ON=2，此时M与点D重合，∴N（2，0）；
综上：以点为顶点的四边形是菱形时，点N的坐标为（+1，+1）或（0，）或（，）或（2，0）；
（3）由题意P（t，t），Q（2t，0），B（5，），
∴PB2＝（t-5）2+（t-）2，BQ2＝（5-2t）2+3，PQ2＝（t）2+（t）2，
①当PB为斜边时，（t-5）2+（t-）2＝（5-2t）2+3+（t）2+（t）2，
解得t＝1或0（舍弃）；
②当PQ为斜边时，（t-5）2+（t-）2+（5-2t）2+3＝（t）2+（t）2，
解得t＝4或；
③当BQ为斜边时，（t-5）2+（t-）2+（t）2+（t）2＝（5-2t）2+3，
解得t＝0（不合题意）；
综上所述，满足条件的t的值为1或4或．课时21.3.5 实际问题与一元二次方程（5）
面积、动态几何问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
用一元二次方程解决实际问题——面积、动态几何问题
1．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
2．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3 B．4 C．2或 4 D．2或3
【划考点】根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
1．从一块正方形铁皮上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来正方形的面积为（ ）
A．56cm2 B．64cm2 C．81cm2 D．100cm2
2．一块面积为900平方米的矩形绿地，长比宽多10米，设绿地的长为米，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝，小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（ ）
A．m＝2，n＝ B．m＝，n＝2 C．m＝，n＝2 D．m＝7，n＝
4．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．x（25﹣2x）＝80
5．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
6．如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
7．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm
8．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是( )
A． B．4 C．5 D．6
9．师梅课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长10米、宽6米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为40平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为________．（结果化为一般式）
10．如图，矩形鸡场平面示意图，一边靠墙，墙长，另外三面用竹篱笆图成，若竹篱笆总长为，所围的面积为，则此矩形鸡场中，平行于墙面的竹篱笆边长为______．
11．如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为______．
12．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为__cm．
13．如图，某花圃公司在如图所示的平行四边形场地培育花苗，两边靠墙（墙的长度足够长，墙米），另外两边用总长为59米的篱笆围成，边上留有1米宽的门（门不用篱笆），两面墙的夹角．若平行四边形场地面积为平方米，则的长应为_______米．
14．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为____________平方米．
15．如图，在矩形中，，为上一点，将 沿折叠，使点正好落在边上的处，作的平分线交 于，交的延长线于，若，则 的长为 _______________________ ．
16．如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．
17．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为______秒．
18．如图，长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒，当________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
19．用一块长8dm，宽6dm的矩形薄钢片制作成一个无盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．
（1）若要做成的盒子的底面积为15dm2时，求截去的小正方形的边长；
（2）当这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6时，求截去的小正方形的边长．
20．某农场要建一个面积为80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m），另外三边用木栏围成，木栏总长26m，求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm．
（1）填空：养鸡场DE边的长为 m（用含x的代数式表示）；
（2）请你列出方程，求出问题的解．
21．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF＝45°．
（1）求证：EF＝BE+DF；
（2）若DF＝4，EF＝10，求四边形ABCD的边长．
22．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供65m长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：
（1）如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？
（2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长．
23．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
24．为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．
（1）求AE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当矩形ABCD的面积为600m2时，求BC的长．
25．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当027．如图1，已知，点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上．在中，边的角平分线交于点D．
（1）求两点的坐标；
（2）若点M是直线上的一个动点，点是坐标平面上的点，以点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标；
（3）如图2，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动：同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向移动，连结，设移动时间t秒．当t为何值时，是直角三角形．
