课时22.1.2 二次函数的图象和性质（2）
二次函数y=ax2的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
y=ax2 和y= y=ax2+k的图像和性质
1．在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（ ）
A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（0，1） D．（0，2）
【答案】B
【解析】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；所以抛物线y＝3x2经过点（0，0）．故选：B．
2．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
【答案】A
【解析】A.因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确，符合题意；
B.抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误，不符合题意；
C.抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误，不符合题意；
D.因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误，不符合题意；故选A．
3．已知点，，都在二次函数的图象上，且，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵点，，都在二次函数的图象上，且，∴∴选项B、C错误；
∵，∴∴选项D错误；故选：A．
4．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=x2-1，∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴是y轴，故选项B正确；当x=0时，y=-1，故选项C错误；
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误；故选：B．
5．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】解：A选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，A错误；B选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；C选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；D选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．
6．已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小
【解析】（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，解得：m1=2，m2=﹣3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，则最低点为：（0，1），由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，故当x＞0时，y随x的增大而减小．
【划考点】
1、y=ax2的图像及性质：
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
2、y=ax2+k的图像及性质：
抛物线y=ax2+k的图像是将的图像进行上下平移得到的。顶点坐标为（0，k），对称轴还是y轴，开口方向与的性质一致。
1．关于二次函数图象，下列叙述正确的有（ ）
①它的图象是抛物线； ②它的图象有最低点；
③它的图象经过； ④它的图象开口向上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】解：二次函数图象是抛物线；①正确；函数的图像有最低点；②正确；函数的图像经过点（0，0）；③正确；函数的图像开口向上；④正确；
∴正确的选项有4个；故选：A．
2．已知抛物线（）过，两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线关于轴对称点的坐标为．
又．故选：C．
3．已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大，
∴二次函数的图像开口向上，∴a-1＞0，即：，故选B．
4．若a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，则（a+2）（b+2）的最小值为（ ）
A．7 B．10 C．14 D．16
【答案】D
【解析】解：∵方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0有实数根，
∴△＝（﹣2t）2﹣4×1×（t2﹣2t+4）≥0，∴t≥2.
∵a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，∴a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4，
∴（a+2）（b+2）＝ab+2a+2b+4＝ab+2（a+b）+4＝t2﹣2t+4+4t+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7.
∵1＞0，t≥2，∴当t≥2时，（a+2）（b+2）的值随t的增大而增大，
∴当t＝2时，（a+2）（b+2）取得最小值，最小值＝（2+1）2+7＝16.故选：D.
5．定义新运算，例如，．则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
当是开口朝上的过原点的二次函数图像 当是开口朝下的二次函数图像
D选项的图像符合题意故选D
6．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
【答案】B
【解析】解：∵y＝x2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y轴；
故选：B．
7．下列关于二次函数的图象与性质的描述，错误的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象可由函数的图象平移得到
C．该函数图象关于y轴对称 D．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
【答案】D
【解析】解：A、由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确，不符合题意；
B、该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确，不符合题意；C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确，不符合题意；D、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项描述错误，符合题意；故选：D．
8．已知下列二次函数①；②；③；④；⑤．
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下并且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）．
【答案】②③⑤ ① ①④
【解析】略
9．若点（2，y1）和点（4，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1__y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】解：由函数y＝x2可知，图象开口向上，对称轴为y轴，
∵点（2，y1）到y轴的距离比点（4，y2）到y轴的距离近，∴y1＜y2，故答案为：＜．
10．二次函数的图象都是____________．
抛物线的图象性质：
（1）抛物线的对称轴是______，顶点是______；
（2）当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最______点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最______点；
（3） |a|越大，抛物线的开口越______．
【答案】抛物线 y轴 原点 低 高 小
【解析】略
11．画二次函数y＝x2的图象：
① ___________
在y ＝ x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9
② _____________
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点．
③ __________
用平滑曲线顺次连接各点，就得y ＝ x2的图象．
【答案】列表 描点 连线
【解析】略
12．如图，正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为__．
【答案】
【解析】解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝1，∴BD＝，∴点B的坐标为（，1），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，∴a（）2＝1，
解得a＝．故答案为：．
13．已知二次函数y＝2x2+bx，当x＞1时，y随x增大而增大，则b的取值范围为______．
【答案】b≥﹣4
【解析】解：二次函数y＝2x2+bx对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵a＝2＞0，x＞1时，y随x增大而增大，∴﹣≤1，
解得b≥﹣4．故答案为：b≥﹣4．
14．在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
【答案】4
【解析】解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，
∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，∴H为CG中点，∴PH=4，设CG=2x，
则CH=HG=EQ=x，QH=2x，∴PQ===，
则当x=0时，PQ最小，且为4，故答案为：4．
15．已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
【答案】（1）m1＝ 4，m2＝1；（2）当m＝ 4时，该函数图象的开口向下；（3）当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为0．
【解析】解：（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2＋3m 2＝2，m＋3≠0，解得：m1＝ 4，m2＝1；
（2）∵函数图象的开口向下，∴m＋3＜0，
∴m＜ 3，∴当m＝ 4时，该函数图象的开口向下；
（3）∵m＝ 4或1，
∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，∴m＞ 3，
∵m＝ 4或1，∴当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为0．
16．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题：
x … 0 1 …
… …
… …
… …
… …
（1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称；
（3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．
【答案】列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上 y轴 向下 y轴 ；（2）x；（3）≠ > 低 > 高．
【解析】列表如下：
x … 0 1 …
… 4 0 4 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点．
连线：用平滑的曲线连接，如图所示：
（1）根据所画的函数与的图像可得：
抛物线的开口方向向上，对称轴是轴，顶点坐标是．抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是；
故答案为：向上 y轴 向下 y轴
（2）由图像可得：
抛物线与抛物线的图象关于轴对称；
故答案为：x．
（3）由图像可得：
抛物线，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点．
故答案为：≠ > 低 > 高．
17．已知二次函数．
求函数图象的对称轴和顶点坐标；
求这个函数图象与轴的交点坐标．
【答案】（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．
【解析】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；
（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．
试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，
对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）
（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，
∴图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．
18．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 …
… 5 0 -3 -4 -3 m …
（1）m= ；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当时，x的取值范围是 ；
（4）当时，y的取值范围是 .
【答案】（1）0；（2）见解析；（3）x≤-4或x≥2；（4）-4≤y＜5．
【解析】（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（-1，-4），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵（-3，0）关于直线x=-1的对称点是（1，0），∴m=0，故答案为：0；
（2）函数图象如图所示；
（3）∵（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5），
由图象可知当y≥5时，x的取值范围是x≤-4或x≥2，故答案为x≤-4或x≥2；
（4）由图象可知当-4＜x＜1时，y的取值范围是-4≤y＜5，故答案为-4≤y＜5．
19．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【答案】（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【解析】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，∴c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，∴p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．
公课时22.1.2 二次函数的图象和性质（2）
二次函数y=ax2的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
y=ax2 和y= y=ax2+k的图像和性质
1．在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（ ）
A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（0，1） D．（0，2）
2．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（ ）
A．都关于y轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
3．已知点，，都在二次函数的图象上，且，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
5．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）
A． B．C． D．
6．已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【划考点】
1、y=ax2的图像及性质：
（1）抛物线的顶点是坐标 ，对称轴是.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口 顶点为其最低点；
②当时抛物线开口 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
2、y=ax2+k的图像及性质：
抛物线y=ax2+k的图像是将的图像进行 得到的。顶点坐标为（0，k），对称轴还是y轴，开口方向与的性质一致。
1．关于二次函数图象，下列叙述正确的有（ ）
①它的图象是抛物线； ②它的图象有最低点；
③它的图象经过； ④它的图象开口向上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．已知抛物线（）过，两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，则（a+2）（b+2）的最小值为（ ）
A．7 B．10 C．14 D．16
5．定义新运算，例如，．则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
7．下列关于二次函数的图象与性质的描述，错误的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象可由函数的图象平移得到
C．该函数图象关于y轴对称 D．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
8．已知下列二次函数①；②；③；④；⑤．
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下并且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）．
9．若点（2，y1）和点（4，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1__y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
10．二次函数的图象都是____________．
抛物线的图象性质：
（1）抛物线的对称轴是______，顶点是______；
（2）当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最______点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最______点；
（3） |a|越大，抛物线的开口越______．
11．画二次函数y＝x2的图象：
① ___________
在y ＝ x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9
② _____________
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点．
③ __________
用平滑曲线顺次连接各点，就得y ＝ x2的图象．
12．如图，正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为__．
13．已知二次函数y＝2x2+bx，当x＞1时，y随x增大而增大，则b的取值范围为______．
14．在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
15．已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
16．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题：
x … 0 1 …
… …
… …
… …
… …
（1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称；
（3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．
17．已知二次函数．
求函数图象的对称轴和顶点坐标；
求这个函数图象与轴的交点坐标．
18．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 …
… 5 0 -3 -4 -3 m …
（1）m= ；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当时，x的取值范围是 ；
（4）当时，y的取值范围是 .
19．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
