课时22.1.3 二次函数的图象和性质（3）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图像和性质
1．抛物线y＝（x﹣5）2的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣5） B．（﹣5，0） C．（0，5） D．（5，0）
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的最大值是__．
4．已知是由抛物线y＝ －2x2向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的，则a＝________，h＝__________，k＝________．
5．已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．
（1）求m，c的值；
（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【划考点】
1、配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线；
2、的函数图像是由y＝ax2的图像左右平移得到的，的图像又是由的图像上下平移得到的；的图像可由y＝ax2的图像左右、上下平移得到。总结平移规律：左加右减，上加下减。
1．对于二次函数y＝2（x＋3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大 D．与x轴仅有一个交点
2．抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．设A（1，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
5．已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
6．抛物线y＝－3（x＋2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第三、四象限
7．通过_____法画出和的图象
通过图象可知：
的开口方向_______ ，对称轴_______，顶点坐标___________．
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
8．抛物线可以由抛物线向_______平移_______个单位得到．
9．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
10．已知关于的一元二次方程的两个实数根是，那么的最大值是__________．
11．设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝a（x﹣）2+m（a＜0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为__．
12．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．
13．已知抛物线在x轴上所截线段的长为4，顶点坐标为（2，4），求此抛物线的解析式．
14．（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D
①求抛物线的解析式；
②求△ABD的面积．
（2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②．
①直接写出图像M所对应的函数解析式；
②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．
15．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中．
若抛物线的对称轴为，
①m的值为_ ﹔
②当时，有 （填“”，“”或“”） ．
当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围．
16．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当A（﹣1，0）时，
①求此时二次函数的表达式；
②把y＝ax2﹣2ax﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标；
③画出函数的图象．
17．已知二次函数y＝－x2＋4x.
(1)用配方法把该二次函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求这个函数图象与x轴的交点的坐标．
18．抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接，求线段的长；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴于点，与线段交于点；将线段沿轴左右平移，线段的对应线段是，当的值最大时．
①求此时点的坐标；
②求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标．课时22.1.3 二次函数的图象和性质（3）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图像和性质
1．抛物线y＝（x﹣5）2的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣5） B．（﹣5，0） C．（0，5） D．（5，0）
【答案】D
【解析】解：抛物线y=（x-5）2的顶点坐标是（5，0）．故选：D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解析：二次函数的顶点式为，顶点坐标为，
故的顶点坐标为，故选：B．
3．二次函数的最大值是__．
【答案】
【解析】解：二次函数，∵a＝﹣＜0，∴当x＝3时，y有最大值为．
故答案为：．
4．已知是由抛物线y＝ －2x2向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的，则a＝________，h＝__________，k＝________．
【答案】-2 1 3
【解析】略
5．已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．
（1）求m，c的值；
（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）m＝2，c＝5；（2）对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，6）．
【解析】（1）∵点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x的图象上，
∴m＝﹣2×（﹣1）＝2，∴点A坐标为（﹣1，2），
∵点A在二次函数图象上，∴﹣1﹣2+c＝2，解得c＝5；
（2）∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+5，
∴y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，6）．
【划考点】
1、配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线；
2、的函数图像是由y＝ax2的图像左右平移得到的，的图像又是由的图像上下平移得到的；的图像可由y＝ax2的图像左右、上下平移得到。总结平移规律：左加右减，上加下减。
1．对于二次函数y＝2（x＋3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大 D．与x轴仅有一个交点
【答案】C
【解析】解：二次函数y＝2（x＋3）2的图象开口向上，顶点坐标为（﹣3，0），与x轴仅有一个交点，对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，
故A、B、D说法正确，C说法不正确，故选：C．
2．抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【答案】C
【解析】解：抛物线y＝2（x＋1）2＋3的顶点坐标是（﹣1，3）．故选：C．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵y＝5（x＋2）2 3，∴其顶点坐标为（ 2， 3），故选：D．
4．设A（1，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
【答案】A
【解析】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+a的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为（0，y2），
∵﹣1＜0＜1，且在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴y1＜y2．故选A．
5．已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
【答案】B
【解析】把A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）分别代入y＝﹣2（x+2）2得
y1＝﹣2（－4+2）2＝﹣8，y2＝﹣2（－３+2）2＝﹣2，y3＝﹣2（３+2）2＝﹣50，
所以y2＞y1＞y3．故选：B．
6．抛物线y＝－3（x＋2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】略
7．通过_____法画出和的图象
通过图象可知：
的开口方向_______ ，对称轴_______，顶点坐标___________．
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
【答案】描点 向下 x＝－1 （－1，0） 向上 x＝1 （1，0）
【解析】略
8．抛物线可以由抛物线向_______平移_______个单位得到．
【答案】上 7
【解析】略
9．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
【答案】17
【解析】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，
∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．故答案为：17．
10．已知关于的一元二次方程的两个实数根是，那么的最大值是__________．
【答案】-2
【解析】解：∵一元二次方程的两个实数根是，
∴=k+1，=2，∴=-2-(k+1)2，
∵-1<0，∴当k=-1时，取得最大值-2．故答案为：-2．
11．设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝a（x﹣）2+m（a＜0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为__．
【答案】
【解析】解：∵抛物线y＝a（x﹣）2+m（a＜0）的开口向下，对称轴为直线x＝，
而点（2，y2）离直线x＝的距离最近，点（﹣1，y1）离直线x＝最远，
∴y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．
12．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．
【答案】1
【解析】解：∵二次函数∴顶点
∵点在图像上且在轴上，即时的坐标∴
∴∴的面积
13．已知抛物线在x轴上所截线段的长为4，顶点坐标为（2，4），求此抛物线的解析式．
【答案】y＝﹣x2+4x
【解析】解：∵抛物线顶点坐标为（2，4），且在x轴上截得线段长为4，
∴对称轴为直线x＝2，与x轴两交点坐标为（0，0），（4，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+4，把x＝0，y＝0代入得：4a+4＝0，
解得a＝﹣1．则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x．
14．（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D
①求抛物线的解析式；
②求△ABD的面积．
（2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②．
①直接写出图像M所对应的函数解析式；
②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．
【答案】（1）①；②8；（2）① ；②或
【解析】解：（1）①把C（0，3）代入y＝ （x 1）2＋k，得3＝ （0 1）2＋k，
解得 k＝4．∴y＝ （x 1）2＋4；
②由y＝ （x 1）2＋4．可知顶点D（1，4）．
当 （x 1）2＋4＝0时，解得 x1＝ 1，x2＝3．
∴A（ 1，0），B（3，0）．∴AB＝3 （ 1）＝4．∴S＝×4×4＝8；
（2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝ （x＋1）2＋4，
∴；
②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜ 1或0＜x＜1．
15．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中．
若抛物线的对称轴为，
①m的值为_ ﹔
②当时，有 （填“”，“”或“”） ．
当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围．
【答案】（1）1；②=；（2）
【解析】解：（1）①由，则对称轴，，
②把分别代入与得，，，；
（2）联立、的解析式可得，，
整理得，，则△，
，，
即就是没有直线与抛物线相切的情况．当时，代入方程，
得，（负值舍去），，
当时，代入方程，得，，又，
的取值为：．
16．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当A（﹣1，0）时，
①求此时二次函数的表达式；
②把y＝ax2﹣2ax﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标；
③画出函数的图象．
【答案】（1）x＝1；（2）①y＝x2﹣2x﹣3；②y＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标为（1，﹣4）；③见解析．
【解析】解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的对称轴是直线x＝﹣，即x＝1；
（2）①∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），
∴a+2a﹣3＝0，∴a＝1，∴此时二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
②y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标为（1，﹣4）；
③∵y＝x2﹣2x﹣3，∴y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴函数与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．
函数的图象如图所示：
17．已知二次函数y＝－x2＋4x.
(1)用配方法把该二次函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求这个函数图象与x轴的交点的坐标．
【答案】(1)对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4);(2)(0，0)，(4，0)
【解析】试题分析：(1)先将二次函数的表达式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可.(2)令 ，然后解一元二次方程即可.
试题解析：(1) y＝－(x－2)2＋4，其对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)．
(2)令y＝0，则－x2＋4x＝0，∴x1＝0，x2＝4，∴这个函数图象与x轴的交点的坐标为(0，0)，(4，0)．
18．抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接，求线段的长；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴于点，与线段交于点；将线段沿轴左右平移，线段的对应线段是，当的值最大时．
①求此时点的坐标；
②求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标．
【答案】（1）；（2）①；②，
【解析】解：（1）当时，，∴，
时，，∴，
过作轴于，则
..
（2）①当时，，，
∴，，
由，可求，
直线的解析式为：.
∵轴于点，
∴设，，，
，
中，，，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
当时，有最大值，此时.
②∵，，∴，
将点向右平移个单位，得到，
作点与关于轴对称 则有，
连交轴于点，左侧个单位处为点，如图：此时，，
所以四边形为平行四边形，
∴，∴最短，
∵，，∴四边形周长的最小值为.
∵，，∴.
