3.8 圆内接正多边形 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
北师版九年级下册 圆
§3.8 圆内接正多边形
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画正多边形．
3、利用正多边形的性质能解决一些简单的计算问题.
情景导入
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
正多边形：
___________，___________ __的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
三条边相等，三个角也相等（60°）.
四条边都相等，四个角也相等（90°）.
各边相等
各角也相等
新知讲解
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
新知探究
如图, 把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B.
·
A
B
C
D
E
O
同理∠B = ∠C = ∠D = ∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
我们以圆内接正五边形为例证明.
∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，
弧BCE=弧CDA，
探究一
如图3-33，五边形ABCDE是 圆0的内接正五边形、圆心O叫做这个正五边形的中心；
OA是这个正五边形的半径;
∠AOB是这个正五边形的中心角;
OM是这个正五边形的边心距.（OM⊥BC，垂足为M）
中心、半径、中心角、边心距
把一个圆 n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.
新知讲解
如图3-34在圆内接正六边形 ABCDEF中、半径 OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
解：连接OD.
∵六边形ABCDEF为正六边形.
∴∠COD＝ ×360°＝60°.
∴△COD为等边三角形.
∴CD＝OC＝4.
在Rt△COG中，OC＝4，GC＝ BC＝ ×4＝2.
∴OG＝ ＝2√3.
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2√3.
F
A
D
E
.
.
O
B
C
G
正多边形的计算问题
典例精讲
1．中心角为30°的圆内接正n边形的n等于( )
A．10 B．12 C．14 D．15
B
C
跟踪练习
2．下列说法错误的是( )
A．圆内接正多边形每个内角都相等
B．圆内接正多边形都是轴对称图形
C．圆内接正多边形都是中心对称图形
D．圆内接正多边形的中心到各边的距离相等
正多边形的计算问题
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )
A. B．2 C．2 D．2
B
跟踪练习
3．(2020·河南师大附中期末)如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，
则∠ABD的度数是( )
A．60° B．70° C．72° D．144°
C
正多边形的计算问题
你能用尺规作一个圆的内接正六边形吗？
例如，我们可以这样来画一个边长为2cm的正六边形．
第一种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六边形．
·
60°
O
利用这种方法可以画出任意的正n边形.
90
0
180
60
120
正多边形的作图问题
新知探究二
第二种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各分点即可．
由此,你能画出正三角形,正十二边形吗
·
O
正多边形的作图问题
新知探究二
方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，误差较大．
一、度量法：依次画出相等的中心角来等分圆．
二、尺规法：先用量角器画一个中心角，然后在圆上依次截取等于该中心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点．
比较准确，但是麻烦．
作圆 确定圆心角 所对的弧 截取等弧 顺次连接各分点 正多边形
正多边形的作图问题
归纳总结
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120 °
A
O
C
B
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，∠BAO=∠CAO=30°
跟踪练习
正多边形的作图问题
问题2：你能用以上方法画出正四边形、正五边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
90°
72°
跟踪练习
正多边形的作图问题
问题3：你用能尺规作出正四边形、正八边形吗？
·
A
B
C
D
O
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
G
E
H
F
跟踪练习
正多边形的作图问题
用等分圆周的方法画出下列图案：
跟踪练习
正多边形的作图问题
1.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的边BC上的高AD,垂足为D.
连接OB，则OB=R.
在Rt△OBD中 ， ∠OBD=30°,
边心距＝OD=
在Rt△ABD中 ， ∠BAD=30°,
·
A
B
C
D
O
由勾股定理，求得AB=
正多边形的综合计算问题
合作共学
解：连接OB，OC，过点O 作OE⊥BC垂足为E.
则∠OEB=90°，∠OBE= ∠ BOE=45°.
Rt△OBE为等腰直角三角形.则有
·
A
B
C
D
O
E
合作共学
⊙O的半径为r，它的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a，b，c．
（1）求a，b，c；
跟踪练习
a=BC=2BD=√3r
b=BC=√2r
c=AB=2AG=r
正多边形的综合计算问题
（2）以a，b，c为边可否构成三角形？如果能，构成的是什么三角形？
如果不能，请说明理由．
解：能构成三角形，构成直角三角形；理由如下：
由（1）得
a=√3r，b=√2r，c=r
∴c2+b2=a2，
∴能构成直角三角形．

A
如图1，2，3，…，m中，点M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是 ；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系。
解：(1)连接OA，OB. ∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，OA＝OB，∠OAM＝∠OBN＝30°，
∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
∴△AOM≌△BON(SAS)．
∴∠AOM＝∠BON.
∴∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM，
即∠AOB＝∠MON＝120°.
(3)∠MON＝
90°
72°
拓展练习
正多边形的综合计算问题
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．熟练掌握与正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距有关的计算方法．
通过本课时的学习，需要我们掌握：