2021-2022 学年第一学期三明市四地四校期中考试联考协作卷
高二数学
（评分细则）
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.A 2.B 3.C 4.D5.B 6.A 7.D 8.C
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全对得 5 分，少选得 3
分，多选、错选不得分）
9.ABD 10.BC11.AD 12.BCD
三 填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。第 13题第一空 2分，第
二空 3分，把答案填写在答题卡上相应位置的横线上）
10
13. 6， 14. 2 2(x 1) (y 1) 1
3
1
15. [- , 2] 16. 2 2(x 2) y 68
3
四、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分，共 70
分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（10分） 已知直线 l : ax 3y 1 0,l : x (a 2)y 1 01 2 ．
（1）若 l l1 2 ，求实数 a 的值；（2）当 l //l1 2时，求实数 a 的值；．
【解】
（1）∵ l : ax 3y 1 0,l : x (a 2)y 1 0 l l1 2 ，且 1 2 ，
∴ a 1 3 (a 2) 0，
3
.解得 a .........................5 分
2
（2）∵ l : ax 3y 1 0,l : x (a 2)y 1 0，且 l //l1 2 1 2，
∴ a(a 2) 3 1且 a 1，
解得 a 3 .......................10分
1
18.（12 分）如图在边长是 2的正方体 ABCD A B C D1 1 1 1中，E , F 分别为 AB ，AC1
的中点．
（1）求异面直线 EF 与CD1所成角的大小．
（2）证明：EF 平面 ACD1 ．
【解】
据题意，建立如图坐标系．于是：
D(0,0,0) ， A (2,0,2)，C(0, 2, 0)， E(2,1,0) ， F (1,1,1)，D (0,0,2)1 1
∴EF ( 1,0,1)，CD1 (0, 2,2)，.....................3分
EF CD 1 0 0 2 1 2 1
（1） cos EF ,CD
1
1 ，.............5分
EF CD 2 2 2 2
1
∴ EF ,CD1 60
∴异面直线 EF和CD1所成的角为 60 ．.....................6分
（2）DA1 (2,0,2)，DC (0,2,0).....................8分
EF DA 1 2 0 0 1 2 0
1
∴ EF DA1 ，即 EF DA 1 ............................9 分
EF DC 1 0 0 2 1 0 0 ，
∴ EF DC 即 EF DC．......................10 分
2
又∵DA1，DC 平面DCA 且DA DC D1 1 ........11 分
∴EF 平面 ACD1 ．..........................12 分
19．(12 分)在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以
解答.
①与直线 4x 3y 5 0垂直；②过点 (5, 5) ；③与直线3x 4y 2 0平行.
问题：已知直线 l过点 P(1, 2)，且___________.
（1）求直线 l 的一般式方程；
（2）若直线 l 与圆 2 2x y 5相交于点 P ，Q ，求弦 PQ的长.
【解】
方案一选条件①.
4
（1）因为直线 4x 3y 5 0的斜率为 ，又直线 4x 3y 5 0与直线 l 垂直，
3
3
所以直线 l的斜率 k ..............................2 分
4
3
依题意，直线 l的方程为 y 2 (x 1) ，即3x 4y 5 0 .......5分
4
5
（2）圆 2 2x y 5的圆心 (0,0)到直线3x 4y 5 0的距离为 d 1....7分
2 2
3 4
又圆 2 2x y 5的半径为 所以 2 2r 5 PQ 2 r d 4................10 分
方案二选条件②.
（1）因为直线 l过点 5, 5 及 1, 2 ，
x 5 y 5
所以直线 l的方程为 ，.................................2 分
1 5 2 5
即3x 4y 5 0 ...................................5 分
（2）圆 2 2x y 5的圆心 (0,0)到直线3x 4y 5 0的距离
5
为 d 1.............................7 分
2 2
3 4
又圆 2 2x y 5的半径为 r 5 ，所以
2 2
PQ 2 r d 4...................................10 分
方案三选条件③.
3
3
（1）因为直线 3x 4y 2 0的斜率为 ，直线 l 与直线 3x 4y 2 0平行，
4
3
所以直线 l的斜率为 k ....................2 分
4
3
依题意，直线 l的方程为 y 2 (x 1) ，
4
即3x 4y 5 0 ..............................5 分
（2）圆 2 2x y 5的圆心 (0,0) 到直线3x 4y 5 0的距离
5
为 d 1.......................7 分
2 2
3 4
又圆 2 2x y 5的半径为 r 5 ，所以
2 2
PQ 2 r d 4............................10 分
20. (12分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，
AB=2，M 是 PD的中点.
（1）求平面 ACD和平面 ACM夹角的余弦值；
（2）求点 P到平面 ACM 距离.
【解】
（1）建立如图所示空间直角坐标系，则
P 0,0, 4 , B 2,0,0 ,C 2, 4,0 , D 0, 4,0 , M 0, 2, 2 ..................3 分
设平面 ACM 的法向量为 n x, y, z1 ，
的4
n AM 2 y 2z 0
1则 ，故可设 n 2,1, 11 ....................6 分
n AC 2x 4 y 01
平面 ACD的法向量为 n (0,0,1) .............................7 分 2
设平面 ACM 和平面 ACD的夹角为 ，
n n 1 6
则 cos 1 2 ..................................9 分
n n 6 6
1 2
（2） P 到平面 ACM 的距离为
AP n 4 2 6
1 .........................12 分
n 6 3
1
21.(12 分)如图，某海面上有 、 、 三个小岛（面积大小忽略不计）， 岛在
岛的北偏东45 方向且距 岛40 2 千米处， 岛在 岛的正东方向且距
岛 20 千米处.以 为坐标原点， 的正东方向为 轴的正方向，建立如图所示
的平面直角坐标系.圆 经过 、 、 三点.
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 区域内有未知暗礁，现有一船在 岛的南偏西30 方向且距 岛
40 千米的 处，正沿着北偏东45 方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没
有触礁的危险？请说明理由.
5
【解】
（1）由题意得 (40，40) 、 (20，0) ，.....................1 分
设过 、 、 三点的圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0( 2 + 2
4 > 0) ，
= 0，
则 402 + 402 + 40 + 40 + = 0， ...................3分
202 + 20 + = 0，
解得 = 20 ， = 60 ， = 0 ，....................5分
所以圆 的方程为 2 + 2 20 60 = 0 ...............6分
（2）答：该船有触礁的危险。...................7分
理由如下：
由题意得 ( 20， 20 3) ，...................8分
且该船的航线所在的直线 的斜率为 1，
故该船的航线为直线 l： + 20 20 3 = 0...........9分
由（1）知圆心为 (10，30) ，半径 = 10 10 ，
|10 30+20 20 3|
因为圆心 到直线 的距离 = = 10 6 < 102 10 1 +12
所以该船有触礁的危险..................................12分
2 2
x y
22．(12分)已知椭圆 : 1 a b 0 经过点M 2,1 ，且右焦点为 F 3,0 .
2 2
a b
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）过点 N 1,0 的直线 AB交椭圆 于 A ，B 两点，记t = M A M B ，若 t 的最大
值和最小值分别为 t1， t2 ，求 t t1 2 的值.
【解】
2 2a b 3
（1）由题意可知， 2 2 4 1 ，解得 a 6 ，b 3，
12 2
a b
2 2
x y
故椭圆 的标准方程为 1..............................4 分
6 3
6
（2）当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 y k x 1 ，A x , y1 1 ，B x , y2 2 .
2 2x y
1 2 2 2 2
联立 6 3 ，消去 y ，得 1 2k x 4k x 2k 6 0 .
y k x 1
1, 0
因为 在椭圆内部，所以 0，
2 2
4k 2k 6
所以 x x 1 2 ， x x 1 2 ..............................6 分 2 2
1 2k 1 2k
则 t MA MB x 21 x 22 y 1 y 11 2 ，
x x 2 x x 4 kx k 1 kx k 11 2 1 2 1 2 ，
2 2 2
1 k x x 2 k k x x k 2k 51 2 1 2 ，
2 2
2k 6 4k
2 2 21 k 2 k k k 2k 5， 2 2
1 2k 1 2k
2
15k 2k 1
，.............................................8 分
2
1 2k
2所以 15 2t k 2k 1 t 0， k R，
2
则 2 4 15 2t 1 t 0.
∴ 2t 15 t 1 1 0 ，即 22t 13t 16 0 .
13
设 t t 21， 2 是 2t 13t 16 0的两根，∴ t t 1 2 ..................10 分
2
2 2x y
1 10
当直线 AB斜率不存在时，联立 6 3 ，得 y .
2
x 1
10 10
不妨设 A 1, B ， 1, ，
2 2
10 10
则MA 3, 1 ，MB 3, 1 ，
2 2
10 15
MA MB 9 1 .此时 t 为定值，不存在最大值与最小值.
4 4
13
t t
1 2
综上所述： 2 .........................12 分
72021-2022 学年第一学期三明市四地四校期中考试联考协作卷
高二数学
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
学校___________班级__________姓名__________座号________
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。）
1.已知空间向量 a = (1, 1,0)， b = (1, 1,1)，则| a + b | = ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 5
x2 y2
2.若椭圆 + = 1上一点 P到焦点F1的距离为 3，则点 P到另一焦点F2的距离为( )25 4
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3. 圆 C: x2 + y2 4x + 2y 4 = 0的圆心与半径分别为( )
A. C( 2,1)，r = 3 B. C( 2,1)，r = 9
C. C(2, 1)，r = 3 D. C(2, 1)，r = 9
4.已知直线l1：2x y 2 = 0与直线l2：3x + y 8 = 0的交点为 A，则点 A与点 B(2,3)间
的距离为( )
A. 13 B. 2 2 C. 2 D. 1
5.圆x2 + y2 = 4与圆(x 3)2 + (y 4)2 = 9的公切线的条数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.如图，空间四边形OABC中，OA a，OB b，OC c，且OM 2MA，
BN NC，则MN ( )
A. - 2 a 1 1 1 1
1
b c B. a b c
3 2 2 2 2 2
C.- 2
a 2 b 1 1 2 1 c D. a b c
3 3 2 2 3 2
7. 数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重
心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△
ABC的顶点 A 2,0 ， B 1,2 ，且 AC BC，则△ ABC的欧拉线的方程为( )
A. x 2y 4 0 B. 2x y 4 0
C. 4x 2y 1 0 D. 2x 4y 1 0
x2 y2
8. 已知椭圆C1 : 1 a b 0 与圆C : x2 y2 b2，若在椭圆C 上存在点 P，使得过点 P所a2 b2 2 1
作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）
2021-2022学年第一学期三明市四地四校期中考试联考协作卷高二试卷（共 4页，第 1 页）
1
A． ,1
2 3 2 3
2 B．
, ,1
2 2 C． 2 D．
,1
2
二、多选题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。全对得 5分，少选得 3分，多选、
错选不得分。）
9.已知四边形 ABCD的顶点分别是 A(3, 1,2)，B(1,2, 1)，C( 1,1, 3)，D(3, 5,3)，
那么以下说法中正确的是( )
A. A B = ( 2,3, 3) B. A点关于 x轴的对称点为(3,1, 2)
C. AC的中点坐标为( 2,0, 1) D. D点关于 XOY面的对称点为(3, 5, 3)
10.已知直线 5x 12y + a = 0与圆(x 1)2 + y2 = 1相切，则实数 a的值可能为( )
A. 8 B. 8 C. 18 D. 18
11. 下列说法正确的是( )
A. 直线 y ax 2a 4 a R 必过定点 2,4
B. 直线 y 1 3x在 y轴上的截距为 1
C. 直线 x 3y 1 0的倾斜角为120
D. 过点 2,3 且垂直于直线 x 2y 3 0的直线方程为 2x y 1 0
x2 y2
12．已知椭圆 C： 1内一点 M(1,2)，直线 l与椭圆 C交于 A，B两点，且 M为线段 AB
4 8
的中点，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的焦点坐标为(2,0) (-2,0) B．椭圆 C的长轴长为4 2
4 3
C．直线 l的方程为 x y 3 0 D． AB
3
三 填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。第 13 题第一空 2分，第二空 3分。
把答案填写在答题卡上相应位置的横线上。）
13. 已知a ( 4,2, x),b (2, 1,3)，如果a // b ,则x __________;如果a b ,则x _________。
14. 圆心在第一象限，半径为 1，且同时与 x，y轴相切的圆的标准方程为 。
y
15．已知 A(3，－1)，B(1,2)，P(x，y)是线段 AB 上的动点，则 的取值范围是 。
x
x2 y2
16．设 P为椭圆 1上一动点，F1,F2分别为左右焦点，延长 F1P至点 Q，使得 | PQ | PF2 ，
17 13
则动点 Q的轨迹方程为 。
2021-2022学年第一学期三明市四地四校期中考试联考协作卷高二试卷（共 4页，第 2 页）
四、解答题（本大题共 6小题，第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分，共 70 分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（10 分）已知直线 l1 : ax 3y 1 0, l2 : x (a 2)y 1 0．
（1）若 l1 l2，求实数 a的值；（2）当 l1 //l2时，求实数 a的值；．
18．(12 分)如图在边长是 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E ,F 分别为 AB， A1C的中点。
（1）求异面直线EF与CD1所成角的大小。
（2）证明： EF 平面 A1CD。
19(12 分)在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答：
①与直线 4x 3y 5 0垂直； ②过点 (5, 5)； ③与直线3x 4y 2 0平行。
问题：已知直线 l过点 P(1, 2)，且__________。
（1）求直线 l的一般式方程；
（2）若直线 l与圆 x2 y2 5相交于点 P，Q，求弦 PQ的长。
20.(12 分) 如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，PA=AD=4，AB=2，
M 是 PD 的中点.
（1）求平面 ACD 和平面 ACM 夹角的余弦值；
（2）求点 P到平面 ACM的距离.
2021-2022学年第一学期三明市四地四校期中考试联考协作卷高二试卷（共 4页，第 3 页）
21.(12 分)如图，某海面上有 O、A、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在 O岛的北偏
东45 方向且距 O岛 40 2千米处，B岛在 O岛的正东方向且距 O岛 20 千米处.以 O为坐标
原点，O的正东方向为 x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆 C经过 O、A、B
三点.
（1)求圆 C的方程；
（2）若圆 C区域内有未知暗礁，现有一船在 O岛的南偏西30 方向且距 O岛 40 千米的 D处，
正沿着北偏东45 方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由.
2 2
22．(12 分)已知椭圆 : x y 1 a b 0 经过点M 2,1 ，且右焦点为F 3,02 2 .a b
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）过点 N 1,0 的直线 AB交椭圆 于A，B两点，记 t = M A M B ，若 t的最大值和最小
值分别为 t1， t2 ，求 t1 t2的值.
2021-2022学年第一学期三明市四地四校期中考试联考协作卷高二试卷（共 4页，第 4 页）
