专题04 圆周角定理
1.圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及其推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形
（1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲）
（2）圆心O 在∠BAC的 内部（如图乙）
（3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙）
甲 乙 丙
4.圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
5.方法总结
在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
6.圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
推论1：圆的内接四边形的对角互补.
推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
【例题2】（2021黑龙江鹤岗）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 cm．
【答案】5．
【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．
解：如图，连接OC．
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5（cm），
∴⊙O的半径为5cm．
【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
【答案】见解析。
【解析】∵OA=OB=OC，
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
【例题4】如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
一、选择题
1．（2021湖南长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．116° D．128°
【答案】B
【解析】∵∠A＝54°，
∴∠BOC＝2∠A＝108°．
2．（2021甘肃威武定西平凉）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【答案】D
【解析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝∠COD＝21°．
解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED＝∠COD＝21°．
3．（2021湖北黄石）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．20° B．22.5° C．15° D．12.5°
【答案】C
【解析】先根据垂径定理得到＝，则∠AOF＝∠BOF＝30°，然后根据圆周角定理得到∠BAF的度数．
∵OF⊥AB，
∴＝，
∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOB＝×60°＝30°，
∴∠BAF＝∠BOF＝×30°＝15°．
4．（2021湖北宜昌）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
【答案】D
【解析】连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，再根据平角的性质可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数．
连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝30°，
∴．
5．（2021吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
【答案】D
【解析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．
6．（2021辽宁营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为（ ）
A．112° B．124° C．122° D．134°
【答案】B
【解析】作所对的圆周角∠APB，如图，先利用等腰三角形的性质得到OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC＝56°，再根据圆周角定理得到∠APB＝56°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ADB的度数．
解：作所对的圆周角∠APB，如图，
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝56°，
∴∠APB＝∠AOB＝56°，
∵∠APB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．
故选：B．
7．（2021四川眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
【答案】C
【解析】由圆周角定理可求∠ACB＝90°，由角的数量关系可求∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，由直角三角形的性质可求∠CAH＝∠ACE＝22.5°，即可求解．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵＝3，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE＝22.5°，
∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，
∴AH＝CH＝HG，
∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，
∵∠CAF＝∠CBF，
∴∠CBF＝22.5°，
故选：C．
8．如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠BCD＝120°，则∠B0D＝（ ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
【答案】B
【解析】∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠BOD＝2BCD＝120°．
9.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝40°，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°．
二、填空题
1．（2021江苏连云港）如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠OBC＝40°，则∠OAC＝ °．
【答案】25．
【解析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC＝80°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．
解：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°×2＝100°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝100°+30°＝130°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣∠AOB）＝．
2．（2021江苏盐城）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ °．
【答案】80
【解析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
3．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠C＝15°，则∠BOC的度数为 ．
【答案】30°．
【解析】结合图形，∠BOC＝2∠A，
又△OAC为等腰三角形，
即∠A＝∠C，
所以∠BOC＝2∠A＝2∠C＝30°
4．如图，在⊙O中，所对的∠AOB的度数为m，C是上一点，D、E是上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为 ．
【答案】180°﹣．
【解析】∵+＝，所对的∠AOB的度数为m，所对的圆周角是∠ADC，
所对的圆周角是∠CEB，
∴∠ADC+∠CEB＝（360°﹣∠AOB），
∴∠D+∠E＝180°﹣．
三、解答题
1.如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
【答案】10°.
【解析】∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.）
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
【答案】100°.
【解析】连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
3．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
【答案】见解析。
【解析】（1）△AOC是等边三角形
证明：∵＝，
∴∠1＝∠COD＝60°
∵OA＝OC（⊙O的半径），
∴△AOC是等边三角形；
（2）证法一：∵＝，
∴OC⊥AD
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD
∴OC∥BD…（10分）
证法二：∵＝，
∴∠1＝∠COD＝∠AOD
又∠B＝∠AOD
∴∠1＝∠B
∴OC∥BD
4．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
【答案】见解析。
【解析】（1）∠APC＝60°，∠BPC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M＝180°，
∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PBC＝180°，
∵∠MAC+∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△BCP；
（3）解：作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM＝CP AM＝BP，
又∠M＝60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+PB＝1+2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S梯形PBCM＝（PB+CM）×PH＝＝
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
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1.圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及其推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形
（1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲）
（2）圆心O 在∠BAC的 内部（如图乙）
（3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙）
甲 乙 丙
4.圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
5.方法总结
在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
6.圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
推论1：圆的内接四边形的对角互补.
推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【例题2】（2021黑龙江鹤岗）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 cm．
【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
【例题4】如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
一、选择题
1．（2021湖南长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27° B．108° C．116° D．128°
2．（2021甘肃威武定西平凉）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
3．（2021湖北黄石）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．20° B．22.5° C．15° D．12.5°
4．（2021湖北宜昌）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
5．（2021吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
6．（2021辽宁营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为（ ）
A．112° B．124° C．122° D．134°
7．（2021四川眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
8．如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠BCD＝120°，则∠B0D＝（ ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
9.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
二、填空题
1．（2021江苏连云港）如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠OBC＝40°，则∠OAC＝ °．
2．（2021江苏盐城）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ °．
3．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠C＝15°，则∠BOC的度数为 ．
4．如图，在⊙O中，所对的∠AOB的度数为m，C是上一点，D、E是上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为 ．
三、解答题
1.如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
3．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
4．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
概念规律 重在理解
典例解析 掌握方法
各种题型 强化训练
