专题07 圆和圆的位置关系
设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下：
1.外离
(1)定义：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
（2）性质及判定：两圆外离
2.外切
(1)定义：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
（2）性质及判定：两圆外切
3.相交
(1)定义：两个圆有两个公共点．
（2）性质及判定：两圆相交
4.内切
(1)定义：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
（2）性质及判定：两圆内切
5.内含
(1)定义：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
（2）性质及判定：两圆内含
说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【例题1】已知两圆的半径分别为5和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】B
【解析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系．根据两圆的位置关系得到其数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R-r＜d＜R+r；内切，则d=R-r；内含，则d＜R-r．
因为5-4=1，5+4=9，圆心距为8，
所以1＜d＜9，
根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，
所以两圆相交．
【例题2】两圆的半径分别是x2﹣5x＋6＝0的两根，圆心距是6，则这两圆的位置关系是_____．
【答案】外离
【解析】解此一元二次方程即可求得两圆半径R和r的值，又由两圆的圆心距等于6，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
∵x2﹣5x＋6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x＝2或x＝3，
∵R、r是方程x2﹣5x＋6＝0的两根，
∴R＝3，r＝2，
∵R＋r＝5，两圆的圆心距等于6，
∴两圆位置关系是外离．
【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8
【答案】B
【解析】连接AD，
∵AC＝4，CD＝3，∠C＝90°，
∴AD＝5，
∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，
∴r＞5﹣3＝2，
∵BC＝7，
∴BD＝4，
∵点B在⊙D外，
∴r＜4，
∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4．
一、单选题
1．⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【答案】B
【解析】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离d＞R+r；外切d=R+r；相交R﹣r＜d＜R+r；内切d=R﹣r；内含d＜R﹣r．
根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断⊙O1与⊙O2的位置关系．
∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，
则d=5﹣2=3，
∴⊙O1和⊙O2内切.
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，则⊙A与⊙B的位置关系是 ( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】A
【解析】由∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，根据勾股定理，即可求得AB的长，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定两圆之间的位置关系．
∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB==5cm，
∵⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，
又∵1+4=5，
∴⊙A与⊙B的位置关系是外切．
3．如果⊙O1的半径是 5，⊙O2的半径为8，O1O2＝4，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】C
【解析】先求出两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系
∵⊙O1和⊙O2的半径分别是5和8，圆心距O1O2是4，
则8﹣5＝3，5+8＝13，O1O2＝4，
∴3＜O1O2＜13，
两圆相交时，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，
∴两圆相交．
4．两圆半径分别为5和3，圆心距为8，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】C
【解析】根据半径与弦心距的大小关系判断即可.
根据题意，得R+r＝5+3＝8＝圆心距，∴两圆外切．
5．已知两圆的直径分别为7和1，当它们相切时，圆心距为（ ）
A．8 B．6 C．8或6 D．4或3
【答案】D
【解析】∵直径分别为7和1，
∴两圆半径分别为3.5和0.5，
∴当两圆外切时，圆心距为3.5+10.5=4；
当两圆内切时，圆心距为3.5 0.5=3.
6．已知⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，如果⊙C与⊙A有公共点，那么⊙C的半径长r的取值范围是（ ）
A．r≥2 B．r≤8 C．2＜r＜8 D．2≤r≤8
【答案】D
【解析】先确定点C到⊙A的最大距离为8，最小距离为2，利用⊙C与⊙A相交或相切确定r的范围．
∵⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，
∴点C到⊙A的最大距离为8，最小距离为2，
∵⊙C与⊙A有公共点，
∴2≤r≤8．
二、填空题
1．已知两圆半径分别为3和7，圆心距为d，若两圆相离，则d的取值范围是______________．
【答案】或
【解析】两圆相离，可能外离，或者内含，分情况即可求出d的取值范围.
两圆相离有两种情况：
内含时圆心距大于等于0，且小于半径之差，故；
外离时圆心距大于半径之和，故.
所以d的取值范围是或.
2．的半径为，的半径为，圆心距，这两圆的位置关系是_______．
【答案】内切
【解析】根据R-r=圆心距可判定两圆内切.
∵4-1=3,
∴两圆的位置关系是内切.
3．如图，已知⊙A、⊙B、⊙C两两相切，连接圆心构成△ABC，如果AC=3，BC=5，AB=6，那么⊙C的半径长为_________.
【答案】1
【解析】根据相切两圆的性质得到，,,利用数量关系即可求解.
依题意得，,
∴
三、解答题
1．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
【答案】见解析。
【解析】首先求得大圆的半径，然后分别求得两个小圆的滚动半径，从而确定滚动的周数．
∵圆O的周长为20πcm，∴圆O的半径=10cm，∵圆A圆B周长都是4πcm，
∴圆A圆B周长半径都是2，
∴圆A在圆O内沿圆O滚动半径是10﹣2=8，圆B在圆O外沿圆O滚动半径是10+2=12
∴要回到原来的位置，圆B转动的周数=12÷2=6，圆A转动的周数=8÷2=4．
2．（2020 临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．
【答案】见解析。
【分析】（1）由题意得出O1P＝AP＝O2P，则可得出∠O1AO2＝90°，由平行线的性质可得出∠O1BC＝90°，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠BO1P＝60°，由勾股定理求出BC长，则可根据S阴影求出答案．
【解析】（1）证明：连接AP，
∵以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，
∴O1P＝AP＝O2P，
∴∠O1AO2＝90°，
∵BC∥O2A，
∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，
∴O1B⊥BC，
∴BC是⊙O2的切线；
（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，
∴O1A，
∴∠BO1P＝60°，
∴O1C＝2O1B＝4，
∴BC2，
∴S阴影2π．
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各种题型 强化训练专题07 圆和圆的位置关系
设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下：
1.外离
(1)定义：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
（2）性质及判定：两圆外离
2.外切
(1)定义：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
（2）性质及判定：两圆外切
3.相交
(1)定义：两个圆有两个公共点．
（2）性质及判定：两圆相交
4.内切
(1)定义：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
（2）性质及判定：两圆内切
5.内含
(1)定义：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
（2）性质及判定：两圆内含
说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【例题1】已知两圆的半径分别为5和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【例题2】两圆的半径分别是x2﹣5x＋6＝0的两根，圆心距是6，则这两圆的位置关系是_____．
【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8
一、单选题
1．⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm，4cm，则⊙A与⊙B的位置关系是 ( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
3．如果⊙O1的半径是 5，⊙O2的半径为8，O1O2＝4，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外离
4．两圆半径分别为5和3，圆心距为8，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
5．已知两圆的直径分别为7和1，当它们相切时，圆心距为（ ）
A．8 B．6 C．8或6 D．4或3
6．已知⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，如果⊙C与⊙A有公共点，那么⊙C的半径长r的取值范围是（ ）
A．r≥2 B．r≤8 C．2＜r＜8 D．2≤r≤8
二、填空题
1．已知两圆半径分别为3和7，圆心距为d，若两圆相离，则d的取值范围是______________．
2．的半径为，的半径为，圆心距，这两圆的位置关系是_______．
3．如图，已知⊙A、⊙B、⊙C两两相切，连接圆心构成△ABC，如果AC=3，BC=5，AB=6，那么⊙C的半径长为_________.
三、解答题
1．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
2．（2020 临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．
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