解析专题A 集合与常用逻辑用语（理科）

A 集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．A1[2012·湖南卷] 设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝(　　)
A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}
1．B　[解析] 本题考查集合的运算，意在考查考生对集合交集的简单运算．
解得集合N＝{ x|0≤x ≤1}，直接运算得M∩N＝{0,1}．
2．A1[2012·广东卷] 设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM＝(　　)
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
2．C　[解析] 因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，所以 UM＝{3,5,6}，所以选择C.
1．A1[2012·北京卷] 已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝(　　)
A．(－∞，－1) B. C. D．(3，＋∞)
1．D　[解析] 因为A＝{x|3x＋2>0}＝＝，
B＝{x|x<－1或x>3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A∩B＝(3，＋∞)，答案为D.
2．A1[2012·全国卷] 已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝(　　)
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
2．B　[解析] 本小题主要考查集合元素的性质和集合的关系．解题的突破口为集合元素的互异性和集合的包含关系．
由A∪B＝A得B A，所以有m＝3或m＝.由m＝得m＝0或1，经检验，m＝1时B＝{1,1}矛盾，m＝0或3时符合，故选B.
1．A1[2012·江苏卷] 已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
1．{1,2,4,6}　[解析] 考查集合之间的运算．解题的突破口为直接运用并集定义即可．由条件得A∪B＝{1,2,4,6}．
1．A1[2012·江西卷] 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
1．C　[解析] 考查集合的含义与表示；解题的突破口为列出所有结果，再检验元素的互异性．当x＝－1，y＝0时，z＝－1，当x＝－1，y＝2时，z＝1，当x＝1，y＝0时，z＝1，当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.
1．A1[2012·课标全国卷] 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)
A．3 B．6 C．8 D．10
1．D　[解析] 对于集合B，因为x－y∈A，且集合A中的元素都为正数，所以x>y.故集合
B＝{(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)}，其含有10个元素．故选D.
1．A1[2012·辽宁卷] 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则( UA)∩( ∪B)＝(　　)
A．{5,8} B．{7,9} C．{0,1,3} D．{2,4,6}
1．B　[解析] 本小题主要考查集合的概念及基本运算．解题的突破口为弄清交集与补集的概念以及运算性质．
法一：∵ UA＝， UB＝，∴( UA)∩( UB)＝.
法二：∵A∪B＝，∴( UA)∩( UB)＝ U＝.
2．A1[2012·山东卷] 已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则( UA)∪B为(　　)
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
2．C　[解析] 本题考查集合间的关系及交、并、补的运算，考查运算能力，容易题．
∵U＝，A＝，B＝，
∴ UA＝，( UA)∪B＝.
1．A1[2012·陕西卷] 集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝(　　)
A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2]
1．C　[解析] 本小题主要考查集合的概念及基本运算以及对数函数的性质、一元二次不等式的解法．解题的突破口为解对数不等式以及一元二次不等式．对于lgx>0可解得x>1；对于x2≤4可解得－2≤x≤2，根据集合的运算可得12．A1[2012·上海卷] 若集合A＝{x|2x＋1＞0}，B＝{x||x－1|＜2}，则A∩B＝________.
2.　[解析] 考查集合的交集运算和解绝对值不等式，解此题的关键是解绝对值不等式，再利用数轴求解．
解得集合A＝，集合B＝(－1,3)，求得A∩B＝.
13．A1[2012·四川卷] 设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则( UA)∪( UB)＝________.
13．{a，c，d}　[解析] 法一：由已知， UA＝{c，d}， UB＝{a}，故( UA)∪( UB)＝{a，c，d}．
法二：( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)＝ U{b}＝{a，c，d}．
1．A1、E3[2012·浙江卷] 设集合A＝{x|1A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
1．B　[解析] 本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等．由于B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，则 RB＝{x|x<－1或x>3}，那么A∩( RB)＝{x|3[点评] 不等式的求解是进一步处理集合的关系与运算的关键．
A2 命题及其关系、充分条件、必要条件
2．A2[2012·天津卷] 设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．A　[解析] 本题考查命题及充要条件，考查推理论证能力，容易题．
当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx为偶函数成立；但当f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数时，φ＝kπ，k∈Z, φ＝0不一定成立．
3．A2、H2[2012·浙江卷] 设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．A　[解析] 本题主要考查直线的平行关系与充要条件的判断等基础知识和基本方法．
法一：直接推理：分清条件和结论，找出推出关系即可．当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行，所以条件具有充分性；若直线l1与直线l2平行，则有：＝，解之得：a＝1 或 a＝－2，经检验，均符合，所以条件不具有必要性．故条件是结论的充分不必要条件．
法二：把命题“a＝1”看作集合M＝{1}，把命题“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”看作集合N＝{1，－2}，易知M N，所以条件是结论的充分不必要条件，答案为A.
3．A2、L4[2012·陕西卷] 设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．B　[解析] 本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突破口为弄清什么是纯虚数，然后根据充要条件的定义去判断．a＋＝a－bi，若a＋为纯虚数，a＝0且b≠0，所以ab＝0不一定有a＋为纯虚数，但a＋为纯虚数，一定有ab＝0，故“ab＝0”是复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.
7．A2、B4[2012·重庆卷] 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)
A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．充要条件
7．D　[解析] 由于f(x)是R的上的偶函数，当f(x)在[0,1]上为增函数时，根据对称性知f(x)在[－1,0]上为减函数．根据函数f(x)的周期性将f(x)在[－1,0]上的图象向右平移2个周期即可得到f(x)在[3,4]上的图象，所以f(x)在[3,4]上为减函数；同理当f(x)在[3,4]上为减函数时，根据函数的周期性将f(x)在[3,4]上的图象向左平移2个周期即可得到f(x)在[－1,0]上的图象，此时f(x)为减函数，又根据f(x)为偶函数知f(x)在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示，如图1－1所示)，所以“f(x)为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件，选D.
3．A2、B3[2012·山东卷] 设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．A　[解析] 本题考查充分必要条件及函数的单调性，考查推理论证能力，容易题．
当f＝ax为R上的减函数时，00，此时g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数成立；当g(x)＝(2－a)x3为增函数时，2－a>0即a<2，但14．A2[2012·辽宁卷] 已知命题p： x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是(　　)
A． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0 D． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
4．C　[解析] 本小题主要考查存在性命题与全称命题的关系．解题的突破口为全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
故 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0的否定是 x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))<0，故而答案选C.
2．A2[2012·湖南卷] 命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α＝
2．C　[解析] 本题考查命题的逆否命题，意在考查考生对命题的逆否命题的掌握，是基础题；解题思路：根据定义，原命题：若p则q，逆否命题：若綈q则綈p，从而求解．
命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”，故选C.
[易错点] 本题易错一：对四种命题的概念不清，导致乱选；易错二：把命题的逆否命题与命题的否定混淆．
14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷] 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：
① x∈R，f(x)<0或g(x)<0；② x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.
则m的取值范围是________．
14．(－4，－2)　[解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能．
满足条件①时，由g(x)＝2x－2<0，可得x<1，要使 x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0恒成立，
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，即可得m∈(－4,0)．
满足条件②时，因为x∈(－∞，－4)时，g(x)<0，所以要使 x∈(－∞，－4)时，f(x)g(x)<0，只要 x0∈(－∞，－4)时，使f(x0)>0即可，只要使－4比2m，－m－3中较小的一个大即可，当m∈(－1,0)时，2m>－m－3，只要－4>－m－3，解得m>1与m∈(－1,0)的交集为空集；
当m＝－1时，两根为－2；－2>－4，不符合；当m∈(－4，－1)时，2m<－m－3，所以只要－4>2m，
所以m∈(－4，－2)．
综上可知m∈(－4，－2)．
3．A2、L4[2012·北京卷] 设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．B　[解析] ∵若a＝0，则复数a＋bi是实数(b＝0)或纯虚数(b≠0)．
若复数a＋bi是纯虚数则a＝0.综上，a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
6．A2、G5[2012·安徽卷] 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．A　[解析] 本题考查线面关系的判断，证明，充要条件的判断．
由题知命题是条件命题为“α⊥β”，命题“a⊥b”为结论命题，当α⊥β时，由线面垂直的性质定理可得a⊥b，所以条件具有充分性；但当a⊥b时，如果a∥m，就得不出α⊥β，所以条件不具有必要性，故条件是结论的充分不必要条件．
15．A2、C8、E6、E9[2012·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①若ab>c2，则C<； ②若a＋b>2c，则C<；
③若a3＋b3＝c3，则C<； ④若(a＋b)c<2ab，则C>；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.
15．①②③　[解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．
对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC＝＋≥2，则cosC>，因为0对于②，由4c2＝4a2＋4b2－8abcosC3即
8cosC＋2>3≥6，则cosC>，因为0对于③，a3＋b3＝c3可变为3＋3＝1，可得0<<1,0<<1，所以1＝3＋3<2＋2，所以c2对于④，c<2ab可变为2×>＋≥，可得>c，所以ab>c2，因为a2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<，④错误；
对于⑤，c2<2a2b2可变为＋<，即>，所以c2≥，所以C<，故⑤错误．故答案为①②③.
21．A2、D5 [2012·安徽卷] 数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；
(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．
21．解：(1)证明：先证充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c再证必要性，若{xn}是递减数列，
则由x2(2)(i)假设{xn}是递增数列，
由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c，
由x1由xn对任意n≥1都有xn<.①
注意到－xn＋1＝x－xn－c＋＝
(1－－xn)(－xn)．②
由①式和②式可得1－－xn>0即xn<1－.
由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有
－xn＋1≤(1－)(－xn)．③
反复运用③式，
得－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1，
xn<1－和－xn<(1－)n－1两式相加，
知2－1<(1－)n－1对任意n≥1成立．
根据指数函数y＝(1－)x的性质，得2－1≤0，c≤，故0(ii)若00.
即证xn<对任意n≥1成立．
下面用数学归纳法证明当0(1)当n＝1时，x1＝0<≤，结论成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk<.
因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)因此，xn＋1＝xn－x＋c>xn，即{xn}是递增数列．
由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.
A3 基本逻辑联结词及量词
5．A3[2012·江西卷] 下列命题中，假命题为(　　)
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N*，C＋C＋…＋C都是偶数
5．B　[解析] 考查命题的真假的判断、含量词命题真假的判断、组合数性质以及逻辑推理能力等；∵菱形四边相等，但不是正方形，∴A为真命题；∵z1，z2为任意实数时，z1＋z2为实数，∴B为假命题；∵x，y都小于等于1时，x＋y≤2，∴C为真命题；∵C＋C＋C＋…＋C＝2n，又n∈N*，∴D为真命题．故选B.
2．A3[2012·湖北卷] 命题“ x0∈ RQ，x∈Q”的否定是(　　)
A． x0 RQ，x∈Q B． x0∈ RQ，x Q
C． x RQ，x3∈Q D． x∈ RQ，x3 Q
2．D　[解析] 本命题为特称命题，写其否定的方法是：先将存在量词改为全称量词，再否定结论，故所求否定为“ x∈ RQ，x3 Q”. 故选D.
14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷] 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：
① x∈R，f(x)<0或g(x)<0； ② x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.
则m的取值范围是________．
14．(－4，－2)　[解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能．
满足条件①时，由g(x)＝2x－2<0，可得x<1，要使 x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0恒成立，
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，即可得m∈(－4,0)．
满足条件②时，因为x∈(－∞，－4)时，g(x)<0，所以要使 x∈(－∞，－4)时，f(x)g(x)<0，只要 x0∈(－∞，－4)时，使f(x0)>0即可，只要使－4比2m，－m－3中较小的一个大即可，当m∈(－1,0)时，2m>－m－3，只要－4>－m－3，解得m>1与m∈(－1,0)的交集为空集；
当m＝－1时，两根为－2；－2>－4，不符合；当m∈(－4，－1)时，2m<－m－3，所以只要－4>2m，
所以m∈(－4，－2)．
综上可知m∈(－4，－2)．
A4 单元综合
3．A4[2012·福建卷] 下列命题中，真命题是(　　)
A． x0∈R，ex0≤0 B． x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
3．D　[解析] A是假命题，根据指数函数的性质不存在x0，使得ex0≤0；B也是假命题，当x＝2时，2x＝x2；C是假命题，当a＋b＝0时，不一定满足＝－1，如a＝b＝0；显然D是真命题．
2012模拟题
1．[2012·唐山一模] 已知命题p： x∈R，ln(ex＋1)>0, 则綈p为(　　)
A． x∈R，ln(ex＋1)<0 B． x∈R，ln(ex＋1)<0
C． x∈R，ln(ex＋1)≤0 D． x∈R，ln(ex＋1)<0
1.C　[解析] 本题主要考查全称命题的否定．属于基础知识、基本运算的考查．
全称命题的否定是特称命题，p： x∈R，ln(ex＋1)>0，綈p： x∈R，ln(ex＋1)≤0.
2．[2012·金华十校联考] 已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，B＝，则A∩B＝(　　)
A．(－1,2] B．[0,2] C．{－1,0,1,2} D．{0,1,2}
2．D　[解析] A＝{x||x|≤2，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，
B＝{x|x>－1}，所以A∩B＝{0,1,2}，答案选D.
3．[2012·天门、仙桃、潜江中学联考] 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．C　[解析] 本题主要考查充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．
“x≥2且y≥2”可以得到x2＋y2≥4，反之不然，故选C.
4．[2012·江西重点中学一模] 给出以下四个命题：
①“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件；
②若命题p：“ x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“ x∈R，均有x2＋x＋1≥0”；
③如果实数x，y满足则z＝|x＋2y－4|的最大值为21；
④在△ABC中，若＝＝，则tanA∶tanB∶tanC＝3∶2∶1.
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2
4．C　[解析] 本题主要综合考查基本概念．属于基础知识、基本运算的考查．
|x|>1 x>1或x<－1，所以①正确；
特称命题的否定是全称命题，所以②正确；
作出的可行域可得目标函数过点(7,9)时
z＝|x＋2y－4|取最大值21，所以③正确；由＝＝，不能得到tanA∶tanB∶tanC＝3∶2∶1，所以④错．
5．[2012·深圳中学期末] 设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素个数是(　　)
A．7 B．10
C．25 D．52
5．B　[解析] A∩B＝{0,1}，A∪B{－1,0,1,2,3}，x有2种取法，y有5种取法，由乘法原理得2×5＝10，故选B.
w w.21世纪教育网 高 考 资源 网