2021-2022学年湘教版九年级数学上册第三章 图形的相似 单元测试卷(word解析版)

第三章图形的相似单元测试卷 2021-2022学年湘教版九年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
下列各组长度的线段单位：厘米中，是成比例线段的是
A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，
如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形阴影部分与相似的是
A. B.
C. D.
如图，直线，则下列结论不正确的为
A. B. C. D.
如图，已知：∽，，，的度数为
A. B. C. D.
如图，若点是线段的黄金分割点，则下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
如图，已知，为的中点，延长至，使，连接交于点，则
A. B. C. D.
如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在地面上点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是 ．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
如图，有一块三角形材料，，高，把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，那么矩形的周长的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
已知，则 ．
如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
如图，已知，为上一点，连接，要使∽，只需添加条件 写出一种合适的条件即可
如图，已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把的各边缩小到原来的，则与点对应的点的坐标是 ．
我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作海岛算经中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合问岛高几何如图
译文：今要测量海岛上一座山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是丈，和两处相隔步丈尺，步尺，并且，和在同一平面内从标杆后退步的处可以看到峰顶和标杆顶端在同一直线上从标杆后退步的处可以看到峰顶和标杆顶端在同一直线上，则山峰的高度是 ．
如图，在矩形中，，，点、分别为直线、上的动点，且，当为等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
已知，且
求的值
若，求的值．
如图，矩形中，为上一点，连接，过顶点作，垂足为，求证：∽．
王凯家附近有一个公园，公园内有一圆形环湖跑道，跑道中央有一个圆形湖泊周末，王凯晨跑之后来到湖边休息，他走到距离湖水边缘处恰好能观察到正对面紧贴湖水边缘的一棵树的树顶在水中的倒影，图中为示意图若岸堤到水面的高度为，王凯的眼睛距地面的高度为，树高为，请你利用学过的知识，计算该圆形湖泊的直径．
如图，，为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为计算工程量，必须计算，两点之间的直线距离，选择测量点，，，点，分别在，上，现测得千米，千米，米，米，米，求，两点之间的直线距离．
如图，已知，延长到，使取的中点，连接交于点．
求的值
若，，求的长．
如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，点从点出发，沿边向点以的速度移动如果、同时出发，用秒表示移动的时间．
当为何值时，
计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论
当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似
阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
特例感知：如图，已知边长为的等边的重心为点，求与的面积
性质探究：如图，已知的重心为点，请判断、是不是定值如果是，请求出这两个定值如果不是，请说明理由
性质应用：如图，在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
若正方形的边长为，求的长度
若，求正方形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【解析】
解：，故不是成比例线段；
B.，故不是成比例线段；
C.，故是成比例线段；
D.，故不是成比例线段．
故选C．
2.【答案】
【解析】易知题图中，，，
A.最大角，对应两边分别为，，
，
与相似
B.最大角，
与不相似
C.最大角，
与不相似
D.最大角，
与不相似．
故选A．
3.【答案】
【解析】A.，，故本选项结论正确
，，故本选项结论正确
C.，，，故本选项结论正确
D.如图，连接，交于，
，
∽，
，故本选项结论不正确．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
根据相似三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案．
【解答】
解：∽，
，，
，
故选D．
5.【答案】
【解析】解：根据题意可知
6.【答案】
【解析】设，
，
．
四边形是平行四边形，
，．
∽，
为的中点，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相似相似三角形的应用解题关键在于根据已知判定∽，然后利用相似三角形的对应边成比例，建立比例式求解即可．
【解答】
解：，，
∽
即，
解得：，
故该古城墙的高度是米．
故选C．
8.【答案】
【解析】设，交于点，
四边形是矩形，
，
∽，
，即，
，
，
矩形在内，
，
，
，即，
故选C．
9.【答案】
【解析】，
，
．
10.【答案】
【解析】设、两地的实际距离是厘米，
则，
解得，厘米千米．
故A、两地的实际距离是千米．
11.【答案】答案不唯一
【解析】答案不唯一已知为公共角，若添加条件，则可判定∽．
12.【答案】或
【解析】顶点的坐标为，以原点为位似中心，把的各边缩小到原来的，
与点对应的点的坐标是或．
13.【答案】步
【解析】由题意，得，，
，，
，
，
∽，
，
同理可得
步，步，步，丈步，
，，
，，
步，步．
故山峰的高度是步．
14.【答案】或
【解析】当点在边上时，如图，
为等腰三角形，
，
四边形为矩形，
，．
，
．
，，
，
∽，
，
，
．
当点在的延长线上时，如图，
同理得到∽，
，
，
．
综上所述，的长度为或．
15.【答案】解：，
．
，
，，，
，
，
．
【解析】见答案
16.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
．
，
，
，
∽．
【解析】见答案．
17.【答案】解：如图，
根据题意可知，，，，，
则．
根据水中倒影成像特点可知，．
，，
∽，
，
即，
．
，，
∽，
，
即，
．
．
答：该圆形湖泊的直径为．
【解析】见答案．
18.【答案】解：连接，
在与中，，
，，
∽．
，即
解得．
故，两点之间的直线距离为千米．
【解析】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质解答问题，先根据相似三角形的判定得出∽，再利用相似三角形的性质解答即可．
19.【答案】解析 取中点，连接，
为的中点，
，．
，．
∽．
又，
．
．
．
，
，
，
【解析】见答案
20.【答案】解：由题意得，，，．
当时，即，解得，
当时，．
在中，，
由计算结果发现：四边形的面积始终保持不变．
可分为两种情况：
当时，∽，那么有，解得，
即当时，∽
当时，∽，那么有，解得，
即当时，∽．
综上，当或时，以点，，为顶点的三角形与相似．
【解析】见答案．
21.【答案】解：如图，连接，
点是的重心，
，是，边上的中线，
，为，边的中点，
为的中位线，
，，
∽，
．
是边长为的等边三角形，为的中点，
，，，
，，
，
．
由同理可得，，是定值．
点到的距离和点到的距离之比为，
则和的面积之比等于点到的距离和点到的距离之比，
故，是定值．
如图，连接交于点，则点为的中点，
点为的中点，
点是的重心，
，
为的中点，
，
，
．
，且，
，
四边形是正边形，
，
∽，
，
，
，
又，
，
正方形的面积为．
【解析】见答案．
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