福建省四地六校2013届高三上学期第一次月考 数学文试题

“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考
2012-2013学年上学期第一次月考
高三文科数学试卷
(考试时间：120分钟 总分：150分)
选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合要求的）。
1.设全集＜，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知条件，条件，则成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3.的值为（　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．如果，那么(　 　)
A． B． C． D．
5.若a＞0＞b＞-a，c＜d＜0，则下列命题①ad＞bc，②＜0，③a-c＞b-d，④a(d-c)＞b(d-c)中能成立的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 ( )
A． B． C． D．
7.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.521世纪教育网
8．设等比数列中，前n项和为 （ ）
A． B． C． D．
9.函数的值域是
（A） （B）
（C） （D）
10.将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．函数的图象大致是（ ）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知实数的最小值为 ．
14．已知函数，则的值为
15． 的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则 ________________.
16．已知函数的定义域[-1，5]，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，
下列关于函数的命题；
①函数的值域为[1，2]；
②函数在[0，2]上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当有4个零点。
其中真命题为 （填写序号）
解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分12分）已知中，内角的对边分别为，且，． 21世纪教育网
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的面积．
18．（本题满分12分）已知等差数列，公差d大于0，且是方程的两个根，数列的前n项和为。
（1）求数列、的通项公式；
（2）记
19.（本题满分12分）函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的最小正周期及解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－cos 2x，求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值．
20. 某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件。由于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为（单位：万元）．（纯利润=每件的利润×年销售量-投入的成本）
⑴求的函数解析式；
⑵求的最大值，以及取得最大值时的值．
21.（本题满分12分）已知等差数列中，，，数列中，，．
（I）求数列的通项公式，写出它的前项和；
（II）求数列的通项公式；
（III）若，求数列的前项和．
22．（本小题满分14分）
已知函数，是常数．
求函数的图象在点处的切线的方程，并证明函数（）的图象在直线的下方；
讨论函数零点的个数．
参考答案
1-6 DBACCB 7-12 BACCDC
13、 -3 14、 15、 16、②
17.解：（Ⅰ）∵为的内角，且，，
∴
……………21世纪教育网……………………4分
∴
………………………………………6分
（Ⅱ）由（I）知， ∴ ……………………………7分
∵，由正弦定理得
………………21世纪教育网………………10分
∴ …………………………………12分
18．解：（1）设的公差为d，由题意得：
……………………4分
………7分
（2）
…………………………………………12分
19.解答：（1）由图可得A=1，，所以T=π。ω=2………………3分
当x=时，f（x）=1，可得sin（2×+φ）=1
∵|φ|＜，∴φ=。∴f(x)=sin(2x+)…………………21世纪教育网…………………6分
g(x)=f(x)-cos2x =sin（2x+）-cos2x =sin2x cos+cos2x sin-cos2x
=sin2x-cos2x =sin(2x-)………………………………9分
∵0≤x≤，∴-≤2x-≤。
当2x-=，即x=时，g(x)有最大值为1；
当2x-=-，即x=0时，g(x)有最小值为-……………………………………12分
解：⑴依题意，
产品升级后，每件的成本为元，利润为元…………2分，
年销售量为万件……………………………3分，
纯利润为………………………………………5分，
（万元）……………………………………7分
⑵……9分，
………………………………………21世纪教育网…………10分，
等号当且仅当……11分，即（万元）……12分。
21.解：（I）设，由题意得，，
所以，； ……3分
（II），，
所以，，……………………5分
()
又时，
所以数列的通项； ……7分
（III）
21世纪教育网…12分
22．解：（1），，所以切线的方程为
，即．……………………………………3分
作，，则
-
↗ 最大值 ↘
，解得．
所以且，，，即函数（）的图像在直线的下方．…………………………………………………7分
法一
令y=0，即lnx=ax-1，画图可知
当a≤0时，直线y=ax-1与y=lnx的图像有且只有一个交点，即一个零点；……8分
当a＞0时，设直线y=ax-1与y=lnx切于点（x0，lnx0），切线斜率为k=
∴切线方程为y-lnx0=（x-x0），把（0，-1）代入上式可得x0=1，k=1…………9分
∴当0＜a＜1时，直线y=ax-1与y=lnx有两个交点，即两个零点；………………10分
当a=1时直线y=ax-1与y=lnx相切于一点，即一个零点；………………………11分
当a＞1时直线y=ax-1与y=lnx没有交点，即无零点。……………………………12分
综上可知，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点．…………………………………………………………14分
法二
⑵有零点，即有解， ……………………8分
，解得，类似⑴列表讨论知，即若有零点，则；若，则无零点．………………………………………………9分
若，，由⑴知有且仅有一个零点.………………10分
若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）………………………11分
若，解得，类似⑴列表讨论知，在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，………………12分
当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点，…………13分
综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点．……………………………………………………………14分
其余解法酌情给分。