福建省四地六校2013届高三上学期第一次月考 数学理试题

“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考
2012-2013学年上学期第一次月考
高三数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、已知集合，集合，且，则( )
A． B． C． D．
2、函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3、在某个物理实验中，测量得变量和变量的几组数据，如下表：
则对,最适合的拟合函数是 （ ）
A． B． C． D．
4、已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
5、设，则（ ）21世纪教育网
A． B． C． D．
6、设，则函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
7、下列关于命题的说法错误的是 ( )
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；
C．若命题：，则：；
D．命题“ ”是真命题
8、设为实数，函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
9、函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　 ）
10、设函数是定义在R上的函数，其中的导函数满足 对于恒成立，则 （ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题：(本大题5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置). K*S&5#U.C︿OM
11、如图，已知幂函数的图象过点，则图中阴影部分的面积等于 .
12、已知奇函数满足时，，则的
值为 .
13、已知函数，若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是 ．
14、已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ．
15、已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出以下命题：
①当时，； ②函数有五个零点；
③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；
④对恒成立.
其中，正确命题的序号是 . 21世纪教育网
三、解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、（本小题满分13分）
已知集合，,若,求实数的取值范围.
17、（本小题满分13分）
已知命题实数满足,命题实数满足
，若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
18、（本小题满分13分）
已知函数满足，对任意都有，且．
（1）求函数的解析式；
（2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
19、（本小题满分13分）
某厂生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为．当年产量不足千件时， (万元)．当年产量不小于千件时，
(万元)．每件商品售价为 万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润 (万元)关于年产量 (千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21世纪教育网
20、（本小题满分14分）
已知函数,
(1)若曲线在点处的切线垂直于轴，求函数 的单调区间；
(2)若函数在区间上无极值，求实数的取值范围．
21、（本小题满分14分）
本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵有一个属于特征值的特征向量，
①求矩阵；
②已知矩阵，点，，，求在矩阵的对应变换作用下所得到的的面积．
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.
①求直线普通方程和曲线的直角坐标方程；
②设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
已知函数
①求不等式的解集；
②若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
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“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考
2012-2013学年上学期第一次月考
高三数学（理科）试题参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 C B D A A C D B C B
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,满分20分.把答案填在题中相应位置横线上)
11、 12、 13、 14、 15、①④　
三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤)
16、解： 由已知得， …………………2分
∵， ∴. …21世纪教育网………3分
又
①当即时, 集合.
要使成立，只需，解得 ……21世纪教育网……………6分
②当即时, ，显然有，所以符合 …………9分
③当即时, 集合.
要使成立，只需,解得 …………………12分
综上所述,所求的取值范围是. …………………13分
17、解 ：由,得, …………………3分
∴记
由得，…………………6分
记
∵是的必要不充分条件
∴是的充分不必要条件, 即且, ∴，…………………8分
要使，又，则只需 …………………11分
∴
故所求实数的取值范围是. …………………13分
【另解】由,得, …………………3分
∴记
由得， …………………6分
记
∵是的必要不充分条件
∴且 ∴ 21世纪教育网…………………8分
∴要使，则只需 …………………11分
∴
故所求实数的取值范围是. …………………13分
18、解：（1）由及 ∴ ………………1分
又对任意，有
∴图像的对称轴为直线，则，∴ ………………3分
又对任意都有，
即对任意成立，
∴，故 ………………6分
∴ ………………7分
（2）由（1）知 ，其定义域为……………8分
令
要使函数在上为减函数，
只需函数在上为增函数， ………………10分
由指数函数的单调性，有，解得 ………………12分
故存在实数，当时，函数在上为减函数
………………13分19、解：
(1) 因为每件商品售价为万元，则千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得：
当0＝－x2＋40x－250. …21世纪教育网…………2分
当x≥80时，L(x)＝（0.05×1000x）－51x－＋1450－250
＝1200－. ………………4分
所以L(x)＝ ………………6分
(2)当0此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元． ………………9分
当x≥80时，L(x)＝1 200－
≤1 200－2 ＝1 200－200＝1000.
此时，当x＝时，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．………………12分
∵ 950 < 1000
所以，当产量为100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．
………………13分
20、解：（1）∵
∴ ………………1分
又∵曲线在点处的切线垂直于轴
∴，
由得， ………………3分
∴ ∴
令得，
令得，
∴故的增区间为,减区间为 21世纪教育网………………6分
（2）∵
∴ ………………7分
①当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递减，故函数在区间上无极值； 21世纪教育网……………9分
②当时，令得：，
当变化时，和的变化情况如下表21世纪教育网
x
+ 0 －
单调递增↗ 极大值 单调递减↘
∴函数在处有极大值，
∴要使函数在区间上无极值，只需， ………………13分
综上①②所述，实数的取值范围为 ………………14分
21、解：(1)解：①由已知得：，
∴ 解得 故. ……………3分
②∵ ……………4分
∴，， ……………6分
即点，，变成点，，
∴的面积为 21世纪教育网…………………7分
(2) 解：①直线的普通方程为：. …………………2分
曲线的直角坐标方程为：【或】.
…………………4分
②曲线的标准方程为，圆心，半径为1；
∴圆心到直线的距离为: …………………6分
所以点到直线的距离的取值范围是 ………………7分
（3）解：①原不等式等价于或或， ……………… 1分
解得
∴不等式的解集为。……………… 4分
②依题意得：关于的不等式在上恒成立，
………………5分
，即，解得
∴实数的取值范围是 21世纪教育网……………7分