福建省四地六校2012-2013学年高二上学期第一次月考 数学理试题

四地六校联考2012-2013学年上学期第一次月考
高二数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图所示的程序框图输出的结果是（ ）
　（A）　　（B） 　　（C） 　　　（D）
2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级
有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，
已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应
抽取的人数为(　 )
A．6 B．8 C．10 D．12
3.将1 010 011化为八进制数为( )
A.123 B.321 C.23 D.32
4.线性回归方程必过（ ）21世纪教育网
A、(0，0)点 B、(，0)点 C、(0，)点 D、(，)点
5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是(　 　)
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.6 8.9 8.9 8.2
方差s2 3.5 3.5 2.1 5.6
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为(　 　)
A．90 B．100 C．900 D．1000
7.右图给出的是计算的值的一个
程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A． B．
C． D．
8. 某城市2010年的空气质量状况如表所示：
污染指数 30 60 100 110 130 140
概率
n＝5s＝0WHILE　s＜14s＝s＋nn＝n－1WENDPRINT nEND
其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2010年空气质量达到良或优的概率为 （ ）
A. B. C. D.
9. 下列程序执行后输出的结果是 (　　 )
A．－1　　　　　B．0 C．2 D．1
10．某市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x(单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的
频率是(　 　) A．0.20 B．0.40 C．0.60 D．0.80
第Ⅱ卷 (非选择题 共100 分)
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)
11．两个整数490和910的最大公约数是 ．
12.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则
甲、乙两人比赛得分的中位数之和是__________．
13. 用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为_____________
14． 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为_________________
15. 给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是_______________________
三、解答题(本大题共6个大题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. （本小题满分13分）求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点(，－1)； (2)在y轴上的截距是－5.
17．（本小题满分13分）
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
组别 PM2.5（微克/立方米） 频数（天） 频　率
第一组 (0,15] 4 0.1
第二组 (15,30] 12
第三组 (30,45] 8 0.2
第四组 (45,60] 8 0.2
第五组 (60,75] 0.1
第六组 (75,90) 4 0.1
（Ⅰ）试确定的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（Ⅱ）完成相应的频率分布直方图.
（Ⅲ）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.
18．（本小题满分13分）
圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；21世纪教育网
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
20．(本小题满分14分)
如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，
A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N.
(1) 若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
(2) 若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
(3) 是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距 离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分）
对任意函数，可按右图构造一个数列发生器．记由数列发生器产生数列．
（Ⅰ）若定义函数，且输入，请写出数列的所有项；
（Ⅱ）若定义函数，且输入，求数列的通项公式．
(Ⅲ)若定义函数，且要产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值及相应数列的通项公式．
四地六校联考2012-2013学年上学期第四地六校联考2012-2013学年上学期第一次月考
高二数学答题卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11.__________________ 12.________________ 13._________________
14._____________________ 15._________________
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16. (本小题满分13分)21世纪教育网
17. (本小题满分13分)
18.（本小题满分13分）
19．（本小题满分13分）
20.（本小题满分14分）
21．（本题满分14分）
四地六校联考2012-2013学年上学期第一次月考
高二数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共50分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D C B A A D B
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 70 12. 64 13. －57
14. 10 15. 49921世纪教育网
三、解答题(本大题共6个大题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. （本小题满分13分）
解：∵直线的方程为y＝－x＋1，
∴k＝－，倾斜角α＝120°，
由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为.…………………………………4分
(1)∵直线经过点(，－1)，
∴所求直线方程为y＋1＝(x－)，
即x－3y－6＝0. …………………………………9分
(2)∵直线在y轴上的截距为－5，
∴由斜截式知所求直线方程为y＝x－5，
即x－3y－15＝0. …………………………………13分
17. （本小题满分13分）
解：(Ⅰ)，……………………………………………………… 2分
众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.……………………4分
（Ⅱ）其频率分布直方图如图所示：
…21世纪教育网…………………………8分
(Ⅲ)样本的平均数为
……10分
因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.……………………………………… 13分
18．（本小题满分13分）
解：(1)证明：∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
∴l过，的交点M(3,1)．
又∵M到圆心C(1,2)的距离为
d＝＝<5，
∴点M(3,1)在圆内，
∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．…………………………………6分
(2)∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，
弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，
∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
∴弦长AB的最小值|AB|min＝4.
此时，kCM＝－，kl＝－.
∵l⊥CM，
∴·＝－1，解得m＝－.
∴当m＝－时，取到最短弦长为4.…………………………………13分
19. （本小题满分13分）
解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，
则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 则圆C的半径为＝3.
则以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. …………………………………6分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
.消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0. 从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1
…………………………………13分
20．(本小题满分14分)
解： (1) 圆心M(－1.1)．∴ 圆M方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
∴ 直线CD方程为x＋y－a＝0. 21世纪教育网
∵ ⊙M与直线CD相切，
∴ 圆心M到直线CD的距离d＝＝，化简得：a＝±2(舍去负值)．
∴ 直线CD的方程为x＋y－2＝0. ……………………………5分
(2) 直线AB方程为：x－y＋2＝0，圆心N.
∴ 圆心N到直线AB距离为＝.
∵ 直线AB截⊙N所得弦长为4，∴ 22＋()2＝.∴ a＝±2(舍去负值)．
∴ ⊙N的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝6. …………………………………5分
(3) 存在．由(2)知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，
∴ 当且仅当圆N半径＝2，即a＝4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为
…………………………………14分
21. (本小题满分14分)
解：（Ⅰ）函数的定义域…1分
把代入可得，把代入可得，把代入可得
因为，
所以数列只有三项： ………4分
（Ⅱ）的定义域为，21世纪教育网
若，则，
则，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
即数列的通项公式． ………9分
(Ⅲ) 若要产生一个无穷的常数列，则在上有解，
即在上有解，则或，所以或
即当
故当；当．21世纪教育网…14分
开始
i＝2，s＝0
s＝s＋i
i＝i＋2
否
i1000？
是
结束
（第15题）