人教版初中数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径
第二十四章 圆
18cm
A
B
篮球放在两张凳子之间，经测量两凳子之间的距离AB=24cm，篮球顶端（圆弧的中点）离凳子表面的距离为18cm，则这个篮球的半径为多少cm？
.o
情境引入
实践探究
准备一张圆形纸片，并将这个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
活动一
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
理由：在△OAA1中，
∵OA=OA1,AA1⊥CD，
∴AE=A1E.
即CD是AA1的对称轴，
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A1,
因此⊙O关于直线CD对称.
圆是轴对称图形证明过程：
将圆形纸片沿直径CD对折，在弧上找一组对称点A与B，连结AB，
请同学们找出图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
实践探究
活动二
CD⊥AB于E
CD与AB有什么样的位置关系？
D
·
O
A
E
B
C
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
即如果CD过圆心，且 CD⊥弦AB,
那么AE=EB，
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
｛
｝
·
O
A
E
叠合法
B
C
D
图1
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
O
E
D
C
A
B
D
O
A
B
c
C
O
A
B
【变式训练，巩固新知一】
2.如图1，已知⊙O的弦AB=4,圆心O到AB的距离为1,那么⊙O的
半径为____
3.如图2，已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .若半径R = 5 ，AB = 8 , 则DE 的长________
C
O
A
B
┐
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
是
不是
不是
O
E
D
C
A
B
注意：定理中的两个条件
（过圆心，垂直于弦）缺一不可！
D
O
A
B
c
C
O
A
B
【变式训练，巩固新知一】
垂径定理常见的几个基本图形
E
C
O
A
B
E
C
O
A
B
D
E
C
O
A
B
过圆心线段
是直径
过圆心线段是
圆心到弦的垂线段
过圆心线段是
弧中点到弦的垂线段
两个条件:
过圆心，
垂直于弦
过圆心线段
是半径
2.如图1，已知⊙O的弦AB=4,圆心O到AB
的距离为1,那么⊙O的半径为____
3.如图2，已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
若半径R = 5 ，AB = 8 , 则DE 的长________
⊙O的弦AB=6，H为AB的中点，OH=3,则∠OAB=
C
O
A
B
图1
┐
图2
2
CD⊥AB,
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
O
A
E
B
D
C
AB与CD位置关系式是：
等量关系有：
实践探究
如果把图中的“直径CD⊥AB”改为“直径CD
平分AB”，即AE=BE那么CD还垂直AB吗？
两个结论还成立吗？请说出理由.
活动三
直径CD平分弦AB
那么CD⊥AB，
C
O
D
A
B(弦AB不是直径）
A
B(弦AB是直径）
A
B(弦AB是直径）
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD
如果题目中的
（AB是直径）
还成立吗？
┐
C
O
D
B(弦AB不是直径）
A
B(弦AB是直径）
A
B(弦AB是直径）
A
E
（垂径定理推论） 平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
可推得
垂直于弦

④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
条件
结论
C
O
A
B
D
过圆心
平分弦
(弦不 是直径）
【变式训练，巩固新知二】
1.如图1，⊙O的弦AB=6，H为AB的中点，OH=3,则∠OAB= 度。
图2
C
O
A
B
图1
2.如图2，⊙O的弦AB=10，C为AB的中点，OC=3,则⊙O的半径为_____。
H
O
A
B
45
方法总结
应用垂径定理时常用到哪几个量？
它们用怎样的关系？
O
弦长a、圆半径r、
圆心到弦的距离d，
a
r
d
【变式训练，巩固新知三】1.篮球放在两张凳子之间，经测量两凳子之间距离AB=24cm，篮球顶端（圆弧的中点）
离凳子表面的距离为18cm，
篮球顶球的半径 为 多少cm？
18cm
·
A
D
C
B
O
18cm
24cm
·
A
D
C
B
O
18cm
24cm
证明：过O作OC⊥AB,并延长CO交优弧AB于点D,连接OA
∵OC⊥AB
∴AC=BC= AB,D为优
弧AB的中点
∴CD=18cm,AC=24× =12cm
设圆O的半径为R,则
AO=R,OC=18-R
∵R2=(18-R)2+122
∴R=13cm 答：篮球的半径为13cm
1、如图⊙O中，两条互相平行的弦AB、CD的长分别为10cm和24cm，已知半径为13cm,求两弦之间的距离 。
课堂练习
2、如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（　D　）。
A.8 B.4 C.10 D.5
3、如图，在⊙O中，C是弧AB的中点，∠A＝50 ，则∠BOC＝（ ）。
A.40 B.45 C.50 D.60
A
4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　B　）。
A.DE=BE B.BC=BD
C. BOC是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形
课堂练习
5、银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道。如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？
解：如图所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，
则AE= AB = 30cm。
令⊙O的半径为R，则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10。
解得R =50cm。
修理人员应准备内径为100cm的管道。
在Rt AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+（R-10）2。
课堂练习
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理:
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 。
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
课堂小结
挖掘潜力
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
N
M
A
E
H
F
B
D
O
已知⊙O 的半径为5，⊙O 的两条平行弦AB＝6， CD＝8，那么AB 与CD 间的距离等________ 。
【课后思考】垂径定理推论还有其它正确形式吗？请大家课后小组讨论并完成证明过程。
拓展提高
谢 谢