5.4 三角函数图像与性质（知识梳理+例题+练习）（解析版）

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三角函数图像与性质
知识点1 正弦函数的图像与性质
研究的图像（五点法作图）→
1、利用五个关键点作图
2、利用诱导公式，函数于的图像完全一致，因此将的图像不断的进行向左，向右平移个单位，可以得到的图像。
正弦函数性质
定义域： （2）值域： 最大值为1，最小值为
（3）奇偶性：奇函数
（4）单调区间：在单调递增
在单调递减
对称轴：
对称中心： （7）最小正周期
知识点2 余弦函数的额图像与性质
，利用诱导公式，由向左平移个图像得到
余弦函数的五个关键点
余弦函数的性质
（1）定义域： （2）值域： 最大值为1，最小值为
（3）奇偶性：偶函数
（4）单调区间：在单调递增
在单调递减
（5）对称轴： （6）对称中心：
（7）最小正周期
知识点3 正切函数的图像和性质
正切函数性质
周期性： 利用诱导公式
奇偶性：奇函
定义域 （4）值域：，无最值
单调区间： （6）对称中心： （7）无对称轴2、正切函数图像
例题解析
例1：利用关键点，画出函数图像
【题干】画出下列函数简图（1） （2）
（1）
（2）
例2：三角函数定义域，周期性
（1）函数的定义域为　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】解：由，得，．
（2）函数，的最小正周期为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：函数，的最小正周期为：．
（3）函数的最小正周期为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：函数的最小正周期为
例3：三角函数单调性与最值
（1）已知函数，则的最大值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：，，
（2）函数的单调递增区间为　　．
【答案】故答案为 ．
【解析】解：令，，求得，，故函数的增区间为
（3）函数的单调递增区间是　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】解：由 即，，
故函数的单调性增区间为，，
（4）在上的值域为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：， 即，
（5）函数，，的值域是　　　　．
【答案】故答案为，．
【解析】解：，，，．
当时，取得最大值；
当时，取得最小值．
例4：三角函数对称轴与对称中心
（1）函数图象经过点，则该函数图象的一条对称轴方程为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数图象经过点，，即，由可得，，令可得，
对称轴方程为， 结合选项可得函数图象的一条对称轴方程为
例5：三角函数综合运用
（1）关于函数，下列说法正确的是　　
A．函数在区间，上单调递减 B．函数在区间，上单调递增
C．函数图象关于直线对称 D．函数图象关于点，对称
【答案】B
【解析】，令，，可得，，，
令可得，单调递减区间，结合选项可知错误；
令可得，，
令可得，可得函数在上单调递增，故正确；
当时不符合对称轴处取得最值的条件，错误；
当时，，不符合正弦函数对称中心函数值为0的条件，错误
（2）设函数，则下列结论错误的是　　
A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在，单调递减
【答案】D
【解析】解：．函数的周期为，当时，周期，故正确，
．当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故正确; 当时，，则的一个零点为，故正确 ．当时，，此时函数不是单调函数，故错误，
练习1．函数，的最小正周期为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：函数，的最小正周期为
2．函数，是　　
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】C
【解析】解：函数，显然函数是偶函数，函数的周期是．
3.函数的最小正周期、最大值依次为　　
A．，3 B．，2 C．，3 D．，2
【答案】A
【解析】解：函数的最小正周期为，最大值为，
4．已知函数是偶函数，则的一个值是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，，是奇函数，不正确；
因为，，是偶函数，正确；
因为，，不是奇函数也不是偶函数，不正确；
因为，，不是奇函数也不是偶函数，不正确；
5．函数在区间，的简图是　　
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：当时，，故排除，；当时，，故排除；
6..函数的最小正周期为，则函数的单调递增区间为　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】，，，
令，，解得，，
则函数的单调递增区间为，，
7．下列函数中，周期为，且在上为增函数的是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：对于，，时，，
函数是单调减函数，不合题意；对于，，
时，，函数在不是增函数，不满足题意；
对于，对于，周期为，不满足题意；
对于，，时，，
函数是单调递增区间，且周期为，满足题意．
8．函数的单调减区间为　　
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：令：， 根据对数函数的定义域可得，
，由复合函数的单调性可知，
函数的单调减区间为
9.函数的单调递减区间是　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间，
令，求得，可得原函数的减区间为，，．
10．同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在，上是增函数．”的一个函数是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的最小正周期为， ，得，答案应该在、中选，排除、两项 在，上是增函数当时，函数有最小值，当时，函数有最大值． 对于，为最大值，不符合题意；
而对于，恰好为最小值，为最大值．
而时，有最大值，故象关于直线对称，②也成立．
由，，可得③正确．
11．函数的最小正周期为　　．
【答案】2
【解析】解：函数的最小正周期为，
12．函数的定义域为　　．
【答案】
【解析】解：函数的有意义，必有，所以函数的定义域．
13.．已知函数的图象关于直线对称，则等于　　
【答案】
【解析】关于对称，，求得，
14．已知函数．
（1）求函数的单调区间； （2）求函数取得最大值时的集合．
【答案】见解析
【解析】解：（1）对于函数，由，，
得到， 解得：，，
单调递增区间为， 单调递减区间为，．
（2）显然，函数的最大值为1．
令：，，解得：，，
可得函数取得最大值的集合为：．
15．已知函数，．
求的最小正周期； 求的单调增区间；
求在区间上的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】解：由已知，，所以的最小正周期．
由，得：，
单调递增区间为．
由上，则，当时，取得最小值为．
当时，取得最大值为．
16．已知函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求函数的定义域； （Ⅱ）求函数的单调区间．
【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）由已知，，，所以，
由，解得，所以函数的定义域为．
（Ⅱ）由，解得，
所以函数的单调递增区间为，其中．
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