【精品解析】高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2020高二上·淄博期末）椭圆 的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·济宁模拟）已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点，若 为 的中点，则直线AB的方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·肥城模拟）已知 分别是双曲线 的左、右焦点，双曲线 的右支上一点 满足 ，直线 与该双曲线的左支交于 点，且 恰好为线段 的中点，则双曲线 的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·淄博模拟）实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线 是黄金双曲线，则 等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高三上·青岛期末）已知双曲线 的焦点到渐近线的距离等于 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2021·烟台模拟）已知 为抛物线 的焦点，直线 与 交于 两点，若 中点的横坐标为 则 （　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
7．（2021·济南模拟）已知抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限）．若直线AB的斜率为 ，点A的纵坐标为 ，则 的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
8．（2020高二上·济宁期末）已知抛物线 的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若 ，则当 最大时， （　　）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．（2021·滨州模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，左、右顶点分别是 ， ，点 是椭圆上异于 ， 的任意一点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．直线 与直线 的斜率之积为
C．存在点 满足
D．若 的面积为 ，则点 的横坐标为
10．（2021·德州模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，点 是圆 关于直线 对称的曲线 上任意一点，若 的最小值为 ，则下列说法正确的是（　　）．
A．椭圆 的焦距为2
B．曲线 过点 的切线斜率为
C．若 、 为椭圆 上关于原点对称的异于顶点和点 的两点，则直线 与 斜率之积为
D． 的最小值为2
11．（2021·日照模拟）已知双曲线 （ ， ）， ， 是其左、右顶点， ， 是其左、右焦点， 是双曲线上异于 ， 的任意一点，下列结论正确的是（　　）
A．
B．直线 ， 的斜率之积等于定值
C．使得 为等腰三角形的点 有且仅有8个
D． 的面积为
12．（2021·临沂模拟）已知抛物线 的焦点为 ，且 ， ， 在抛物线上， 为坐标原点．下列说法正确的是（　　）
A．点 的坐标为
B．若 ，则
C．若 ，则 的中点到 轴距离最小值为2
D．若直线 过点 ，则直线 与 的斜率之积为
三、填空题
13．（2021·潍坊模拟）已知椭圆 ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，点 ， 在椭圆上，且满足 ， ，则椭圆 的离心率为　 　．
14．（2020高三上·山东期中）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，且离心率 ，点 是椭圆上位于第二象限内的一点，若 是腰长为4的等腰三角形，则 的面积为　 　.
15．（2021·济宁模拟）设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过点 的直线 分别与双曲线的左、右支交于点 、 ，若以 为直径的圆过点 ，且 ，则该双曲线的离心率为　 　．
16．（2021·潍坊模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上， 垂直 于点 ， 与 轴交于点 为坐标原点，且 ，则 　 　．
四、解答题
17．（2020高二上·济宁期末）在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线C上，且___________.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且 ，求直线l的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（2021·济南模拟）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率 ，且椭圆C上一点N到 距离的最大值为4，过点 的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足 （O为坐标原点），当 时，求实数t的取值范围.
19．（2021·临沂模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，以 为直径的圆 过焦点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 的右顶点为 ，与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 ， 两点（ ， 与 点不重合），且满足 ，点 为 中点，求直线 与 的斜率之积的取值范围．
20．（2021·济宁模拟）已知抛物线 ，过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 ， 两点， 交抛物线 于 、 两点，当点 的横坐标为1时，抛物线 在点 处的切线斜率为 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）已知 为坐标原点，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，求 面积的最小值．
21．（2021·济南模拟）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线与椭圆 相交于A， 两点，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，点 ，若 ， ，求证： 为定值．
22．（2021高三下·常州开学考）已知等轴双曲线C： (a>0，b>0)经过点( ， ).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点B(0，1).
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；
②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点， 为定值 ，求点A的坐标及实数 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 可得 ，
因此 ，且焦点在 轴上，
所以焦点坐标为 .
故答案为：C.
【分析】利用椭圆的标准方程即可求得其焦点坐标。
2．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设点 、 ，由中点坐标公式可得 ，所以 ，
因为 ，两式作差得 ，即 ，
即 ，所以， ，
因此，直线AB的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】首先设出点的坐标，由此即可求出中点的坐标，再由点差法求出直线的斜率，然后结合点斜式求出直线的方程即可。
3．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，令 ，则有 ，
令 ，由双曲线定义得 ，而点P是QF1中点且在双曲线左支上，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，则 ， ，
在 中， ，即 ， ，于是得 ， ，
所以双曲线C的渐近线方程为 .
故答案为：C
【分析】利用已知条件，结合直角三角形的性质，利用勾股定理转化求解a，b关系，然后求解 双曲线 的渐近线方程即可。
4．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，
所以 ，
解得 。
故答案为：A
【分析】利用实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，进而结合双曲线中实轴和焦距的定义，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b的关系式，从而求出 的值。
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的焦点坐标为
由 ，又 ，可得双曲线的渐近线方程为：
则焦点到渐近线的距离为 ，由
所以
故答案为：C
【分析】根据题意由双曲线的方程即可求出焦点坐标，再结合角的取值范围即可判断出焦点的位置由此求出渐近线的方程，由已知条件结合点到直线的距离公式计算出的值由此即可求出角的大小。
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 的中点的横坐标为4，
设 ， ， ， ， ，
则 ．
故答案为：C．
【分析】设 ， ， ， ， ，根据抛物线的定义即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意得，抛物线 焦点在 轴上，准线方程为 ，
设 ，则 ，设直线AB的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：C
【分析】由已知条件结合抛物线的性质以及定义即可得出，再由题意结合斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，从而得出，进而求出P的值。
8．【答案】B
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为 ，抛物线 的焦点为F，所以 ，抛物线的准线方程为： ，因此 ，
令 ，
，
当 时，即当 时， 有最大值，最大值为1，此时 。
故答案为：B
【分析】因为点P为该抛物线上的动点，所以设出点P的坐标，再利用抛物线标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点F的坐标和准线方程，再利用抛物线定义求出PF的长为点P的纵坐标的二次函数，令 ，进而推出为关于t的二次型函数，再利用二次函数图象求最值的方法，进而求出当 最大时对应的 的值。
9．【答案】B,D
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意 ， ， ， ， ，短轴一个顶点 ，
，A不符合题意；
设 ，则 ， ，
所以 ，B符合题意；
因为 ，所以 ，从而 ，而 是椭圆上任一点时，当 是短轴端点时 最大，因此不存在点 满足 ，C不符合题意；
， ， ，则 ， ，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】 根据题意椭圆的定义即可判断出选项A错误，根据题意设出点P的坐标再由斜率的坐标公式整理得出结果由此判断出选项B正确，求出当P是短轴端点时的由此即可判断出选项C错误，由三角形的面积公式求出点P的坐标由此即可判断出选项D正确，从而得出答案。
10．【答案】B,C
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】圆 关于直线 对称的曲线为以 为圆心，1为半径的圆，
即曲线E的方程为 ，
由椭圆定义有 知，
由图知 ，
， ，椭圆方程为
故焦距 ，A不符合题意；
，D不符合题意；
设曲线 过点 的切线斜率为k，则切线方程为 ，
由圆心到切线方程的距离等于半径有 ，B符合题意；
设 ， ，
则 ，
又 都在椭圆上，即 ，C符合题意；
故答案为：BC.
【分析】 对于A：由椭圆的定义可知 ，进而得，解出c，即可判断A是否正确；
对于B：由圆心到切线方程的距离等于半径，解出k，即可判断B是否正确；
对于C：根据 ，又 都在椭圆上，得出 ，即可判断C是否正确；
对于D： ，即可判断D是否正确．
11．【答案】A,B,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得 ，所以A符合题意；
B，设点 ，
有 ， ，
直线 的斜率之积
，所以B符合题意；
C，根据双曲线对称性分析：要使 为等腰三角形，则 必为腰，
在第一象限双曲线上有且仅有一个点 使 ，
此时 为等腰三角形，
也且仅有一个点 使 ，此时 为等腰三角形，
同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C符合题意；
D， ，
设 ， ，由双曲线的定义可得 ，
则 ，①
由余弦定理可得 ，②
②①得， ，
则
，所以D不正确.
故答案为：ABC
【分析】根据双曲线标准方程以及双曲线的定义可得 ；设点 ，再利用代入法得出 ，再结合两点求斜率公式，得出直线 的斜率之积 ；根据双曲线对称性分析，要使 为等腰三角形，则 必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点 使 ，此时 为等腰三角形，也且仅有一个点 使 ，此时 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个；因为 ，设 ， ，由双曲线的定义，可得 ，再利用平方法得出 ，①，由余弦定理可得 ，②
②①得， ，再利用三角形面积公式结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式，从而得出 ，从而找出结论正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由于点 在抛物线 上得 ，故 ，
所以 的坐标为 ，A不符合题意；
对B选项， 得
所以 ，又
所以 成立，B符合题意；
对C选项，由 ，所以
则 ，所以则 的中点到 轴距离最小值为2，C符合题意；
对D选项，设直线 方程为 ，代入抛物线 得
所以 ，直线 与 的斜率之积为 ，D符合题意
故答案为：BCD
【分析】由抛物线的性质即可求出p的值以及焦点的坐标，由此皮带秤线线A错误，由向量的运算性质结合抛物线的定义整理即可得出选项B正确，由中点的定义以及抛物线的定义即可判断出选项C正确，联立抛物线与直线的方程消元，利用韦达定理结合斜率的坐标公式整理计算出结果由此判断出选项d正确，从而得出答案。
13．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】设 ，因为 ，再利用共线定理，所以 ，又因为 ，再利用勾股定理，所以 ，再利用勾股定理得出 ，再结合椭圆的定义得出 ，所以 ，又因为 ，所以 ，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率。
14．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知 ，则 ，
又 ，∴ ，由椭圆的定义得 ，
又 是腰长为4的等腰三角形，且点 在第二象限，∴ ， ，
过 作 于点 ，则 ， ，
∴ 的面积为 ，
故答案为： .
【分析】由题意可计算出 ， ，由 是腰长为4的等腰三角形，且点 在第二象限，可得 、 的值，过 作 于点 ，可得 ， 的值，可得 的面积.
15．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，又 ，所以△ 为等腰直角三角形，所以 .
设 ，则 由双曲线的定义可得： ，两式相加得： ，即 .所以 ，解得： .
在△ 中， ， ， ，
由余弦定理得： ，
即 ，整理化简得：
.
故答案为： .
【分析】利用双曲线的性质以及定义得出即，结合三角形的几何计算关系求出，再由余弦定理整理结合整体思想计算出结果即可。
16．【答案】5
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：依题意可得 ， ，根据抛物线的定义可知 ，设 与 轴相交于点 ，因为 ，又 ，所以 ，所以 为 的中点，所以 即 的纵坐标为 ，在 中令 ，
得 ，所以 ，所以
故答案为：5
【分析】 先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，利用数形结合求出点P的坐标，然后利用抛物线的定义即可求解．
17．【答案】（1）解：若选择条件①，根据焦半径公式可知 ，
解得： ，
所以抛物线方程是 ；
若选择条件② ，即 ，代入抛物线方程，得 ，
所以抛物线方程是 ；
（2）解：抛物线的焦点 ，
当直线 的斜率不存在时， ，
所以直线 的斜率存在，设直线 ，与抛物线方程联立
，化简为 ，
，
，解得： ，
所以直线 的方程是 或y=-x-1
【知识点】直线的斜截式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】 在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在问题中， 若选择条件①，根据焦半径公式结合已知条件 ，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程；若选择条件② ， 再结合代入法和抛物线的标准方程，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2）利用（1）求出的抛物线标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点坐标，再利用分类讨论的方法联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理和弦长公式，再利用已知条件 ， 进而求出k的值，从而求出直线l的斜截式方程。
18．【答案】（1）椭圆C的半焦距c， ，即 ，
则椭圆方程为 ，即 ，设 ，
则 ，
当 时， 有最大值 ，即 ，解得 ， ，
故椭圆方程是 ；
（2）设 ， ， ，直线AB的方程为 ，
由 ，整理得 ，
则 ，解得 ， ， ，
因 且 ，则 ，
于是有 ，化简，得 ，则 ，即 ，
所以 ，
由 得 ，则 ， ，
而点P在椭圆上，即 ，化简得 ，
从而有 ，而 ，
于是得 ，解得 或 ，
故实数t的取值范围为 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的性质求出，再把点的坐标代入结合两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可得出当 时， 有最大值，结合已知条件求解出a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由弦长公式整理得到结合已知条件即可得到关于k的不等式求解出k的取值范围，然后由点在椭圆上代入整理得到，结合k的取值范围即可得出t的取值范围。
19．【答案】（1）在圆 的方程中，令 ，得 ，解得 ，所以， ， 的坐标分别为 ， ．
∵ ，又因为 ， ，所以点 的坐标为 ，
所以， ，得 ， ，
即椭圆 的方程为 ．
（2）右顶点为 ，由题意可知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，由 与 轴不垂直，故 ．
由 得： ，
设 ， ，又点 ，
则由根与系数的关系可得： ，得 ， ，
∵ ，∴直线 的方程为 ，
用 替换 可得： ， ，
∴点 坐标为 ，
∴直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
∴ ，
∵ 且 ，∴ ，
∴ ．即 ．
∴直线 与 的斜率之积的取值范围是 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意求出焦点的坐标，再利用平行关系求出点P的坐标，结合椭圆的定义整理即可求出a与b的值，从而得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由直线垂直斜率之间的关系整理得出
和，由此得到结合基本不等式即可求出即。
20．【答案】（1）解：因为 可化为 ，所以 ．
因为当 点的横坐标为1时，抛物线 在 点处的切线斜率为 ，
所以 ，所以 ，
所以，抛物线 的标准方程为 ．
（2）由（1）知点 坐标为 ，
由题意可知，直线 和 斜率都存在且均不为0，
设直线 方程为 ，
由 联立消去 并整理得， ，
，
设 ， ，则 ， ，
所以， ，
因为 为 中点，所以 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
所以，直线 的方程为
整理得 ，
所以，直线 恒过定点 ．
所以 面积 ，
当且仅当 即 时， 面积取得最小值为8．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件对函数求导由此得出抛物线 在 点处的切线斜率，再由题意就求出p的值，由此得出抛物线的方程。
(2)由(1)求出T的坐标再由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，利用直线垂直斜率之间的关系整理得出从而得出直线 恒过定点 ，结合三角形的面积公式以及基本不等式即可求出最小值。
21．【答案】（1）由题意知 ，则 ，
又椭圆 经过点 ，所以 ；
联立解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）证明：设直线 方程为 ， ， ，
由 ，联立消x得 ，
所以 ， ， ，
由题意知， ， 均不为1．
设 ， ，
由 ， ，A三点共线知 与 共线，
所以 ，化简得 ；
由 ， ， 三点共线，同理可得 ；
由 ，得 ，即 ；
由 ，同理可得 ；
所以
，
所以 为定值．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 首先根据题意由椭圆的性质结合离心率公式整理得出，再把点的坐标代入整理计算出a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，设出点的坐标再由三点共线的性质整理得到和，然后由向量共线的坐标公式整理得出，代入上式整理即可得出为定值。
22．【答案】（1）由题意 ，且 解得 ，
所以双曲线 的标准方程为
（2）①由对称性可设 ，且 ，则 ，
因为 点在双曲线 上，所以 ，所以 ，所以 ，
当 时， 为直角，
当 吋， 为钝角.
因此， 最小时， .
②设 过点 的动直线为：
设 联立 得 ，
所以 ，由 且 ，解得 且 ，
，即 即 ，
化简得 ，
所以 ，
化简得 ，
由于上式对无穷多个不同的实数 都成立，
所以
如果 那么 此时 不在双曲线 上，舍去.
因此 从而 代入 解得 .
此时 在双曲线 上.
综上， 或者 .
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意：a=b，将点 ( ， )代入方程，即可求出 a，b，从而写出双曲线方程；
（2） ① 根据对称性，设出E，F的坐标，利用向量的知识，建立关系式，进一步通过复杂的推理运算
即可求得k；
② 设出 再设过点 的动直线为： 代入双曲线方程，利用韦达定理等建立关系，通过复杂的推理，直到得出结果。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2020高二上·淄博期末）椭圆 的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 可得 ，
因此 ，且焦点在 轴上，
所以焦点坐标为 .
故答案为：C.
【分析】利用椭圆的标准方程即可求得其焦点坐标。
2．（2021·济宁模拟）已知椭圆 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点，若 为 的中点，则直线AB的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设点 、 ，由中点坐标公式可得 ，所以 ，
因为 ，两式作差得 ，即 ，
即 ，所以， ，
因此，直线AB的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】首先设出点的坐标，由此即可求出中点的坐标，再由点差法求出直线的斜率，然后结合点斜式求出直线的方程即可。
3．（2021·肥城模拟）已知 分别是双曲线 的左、右焦点，双曲线 的右支上一点 满足 ，直线 与该双曲线的左支交于 点，且 恰好为线段 的中点，则双曲线 的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，令 ，则有 ，
令 ，由双曲线定义得 ，而点P是QF1中点且在双曲线左支上，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，则 ， ，
在 中， ，即 ， ，于是得 ， ，
所以双曲线C的渐近线方程为 .
故答案为：C
【分析】利用已知条件，结合直角三角形的性质，利用勾股定理转化求解a，b关系，然后求解 双曲线 的渐近线方程即可。
4．（2021·淄博模拟）实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线 是黄金双曲线，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，
所以 ，
解得 。
故答案为：A
【分析】利用实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，进而结合双曲线中实轴和焦距的定义，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b的关系式，从而求出 的值。
5．（2020高三上·青岛期末）已知双曲线 的焦点到渐近线的距离等于 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的焦点坐标为
由 ，又 ，可得双曲线的渐近线方程为：
则焦点到渐近线的距离为 ，由
所以
故答案为：C
【分析】根据题意由双曲线的方程即可求出焦点坐标，再结合角的取值范围即可判断出焦点的位置由此求出渐近线的方程，由已知条件结合点到直线的距离公式计算出的值由此即可求出角的大小。
6．（2021·烟台模拟）已知 为抛物线 的焦点，直线 与 交于 两点，若 中点的横坐标为 则 （　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 的中点的横坐标为4，
设 ， ， ， ， ，
则 ．
故答案为：C．
【分析】设 ， ， ， ， ，根据抛物线的定义即可得出答案。
7．（2021·济南模拟）已知抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限）．若直线AB的斜率为 ，点A的纵坐标为 ，则 的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意得，抛物线 焦点在 轴上，准线方程为 ，
设 ，则 ，设直线AB的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：C
【分析】由已知条件结合抛物线的性质以及定义即可得出，再由题意结合斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，从而得出，进而求出P的值。
8．（2020高二上·济宁期末）已知抛物线 的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若 ，则当 最大时， （　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为 ，抛物线 的焦点为F，所以 ，抛物线的准线方程为： ，因此 ，
令 ，
，
当 时，即当 时， 有最大值，最大值为1，此时 。
故答案为：B
【分析】因为点P为该抛物线上的动点，所以设出点P的坐标，再利用抛物线标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点F的坐标和准线方程，再利用抛物线定义求出PF的长为点P的纵坐标的二次函数，令 ，进而推出为关于t的二次型函数，再利用二次函数图象求最值的方法，进而求出当 最大时对应的 的值。
二、多选题
9．（2021·滨州模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，左、右顶点分别是 ， ，点 是椭圆上异于 ， 的任意一点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．直线 与直线 的斜率之积为
C．存在点 满足
D．若 的面积为 ，则点 的横坐标为
【答案】B,D
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意 ， ， ， ， ，短轴一个顶点 ，
，A不符合题意；
设 ，则 ， ，
所以 ，B符合题意；
因为 ，所以 ，从而 ，而 是椭圆上任一点时，当 是短轴端点时 最大，因此不存在点 满足 ，C不符合题意；
， ， ，则 ， ，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】 根据题意椭圆的定义即可判断出选项A错误，根据题意设出点P的坐标再由斜率的坐标公式整理得出结果由此判断出选项B正确，求出当P是短轴端点时的由此即可判断出选项C错误，由三角形的面积公式求出点P的坐标由此即可判断出选项D正确，从而得出答案。
10．（2021·德州模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，点 是圆 关于直线 对称的曲线 上任意一点，若 的最小值为 ，则下列说法正确的是（　　）．
A．椭圆 的焦距为2
B．曲线 过点 的切线斜率为
C．若 、 为椭圆 上关于原点对称的异于顶点和点 的两点，则直线 与 斜率之积为
D． 的最小值为2
【答案】B,C
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】圆 关于直线 对称的曲线为以 为圆心，1为半径的圆，
即曲线E的方程为 ，
由椭圆定义有 知，
由图知 ，
， ，椭圆方程为
故焦距 ，A不符合题意；
，D不符合题意；
设曲线 过点 的切线斜率为k，则切线方程为 ，
由圆心到切线方程的距离等于半径有 ，B符合题意；
设 ， ，
则 ，
又 都在椭圆上，即 ，C符合题意；
故答案为：BC.
【分析】 对于A：由椭圆的定义可知 ，进而得，解出c，即可判断A是否正确；
对于B：由圆心到切线方程的距离等于半径，解出k，即可判断B是否正确；
对于C：根据 ，又 都在椭圆上，得出 ，即可判断C是否正确；
对于D： ，即可判断D是否正确．
11．（2021·日照模拟）已知双曲线 （ ， ）， ， 是其左、右顶点， ， 是其左、右焦点， 是双曲线上异于 ， 的任意一点，下列结论正确的是（　　）
A．
B．直线 ， 的斜率之积等于定值
C．使得 为等腰三角形的点 有且仅有8个
D． 的面积为
【答案】A,B,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得 ，所以A符合题意；
B，设点 ，
有 ， ，
直线 的斜率之积
，所以B符合题意；
C，根据双曲线对称性分析：要使 为等腰三角形，则 必为腰，
在第一象限双曲线上有且仅有一个点 使 ，
此时 为等腰三角形，
也且仅有一个点 使 ，此时 为等腰三角形，
同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C符合题意；
D， ，
设 ， ，由双曲线的定义可得 ，
则 ，①
由余弦定理可得 ，②
②①得， ，
则
，所以D不正确.
故答案为：ABC
【分析】根据双曲线标准方程以及双曲线的定义可得 ；设点 ，再利用代入法得出 ，再结合两点求斜率公式，得出直线 的斜率之积 ；根据双曲线对称性分析，要使 为等腰三角形，则 必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点 使 ，此时 为等腰三角形，也且仅有一个点 使 ，此时 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个；因为 ，设 ， ，由双曲线的定义，可得 ，再利用平方法得出 ，①，由余弦定理可得 ，②
②①得， ，再利用三角形面积公式结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合同角三角函数基本关系式，从而得出 ，从而找出结论正确的选项。
12．（2021·临沂模拟）已知抛物线 的焦点为 ，且 ， ， 在抛物线上， 为坐标原点．下列说法正确的是（　　）
A．点 的坐标为
B．若 ，则
C．若 ，则 的中点到 轴距离最小值为2
D．若直线 过点 ，则直线 与 的斜率之积为
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由于点 在抛物线 上得 ，故 ，
所以 的坐标为 ，A不符合题意；
对B选项， 得
所以 ，又
所以 成立，B符合题意；
对C选项，由 ，所以
则 ，所以则 的中点到 轴距离最小值为2，C符合题意；
对D选项，设直线 方程为 ，代入抛物线 得
所以 ，直线 与 的斜率之积为 ，D符合题意
故答案为：BCD
【分析】由抛物线的性质即可求出p的值以及焦点的坐标，由此皮带秤线线A错误，由向量的运算性质结合抛物线的定义整理即可得出选项B正确，由中点的定义以及抛物线的定义即可判断出选项C正确，联立抛物线与直线的方程消元，利用韦达定理结合斜率的坐标公式整理计算出结果由此判断出选项d正确，从而得出答案。
三、填空题
13．（2021·潍坊模拟）已知椭圆 ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，点 ， 在椭圆上，且满足 ， ，则椭圆 的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】设 ，因为 ，再利用共线定理，所以 ，又因为 ，再利用勾股定理，所以 ，再利用勾股定理得出 ，再结合椭圆的定义得出 ，所以 ，又因为 ，所以 ，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率。
14．（2020高三上·山东期中）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，且离心率 ，点 是椭圆上位于第二象限内的一点，若 是腰长为4的等腰三角形，则 的面积为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知 ，则 ，
又 ，∴ ，由椭圆的定义得 ，
又 是腰长为4的等腰三角形，且点 在第二象限，∴ ， ，
过 作 于点 ，则 ， ，
∴ 的面积为 ，
故答案为： .
【分析】由题意可计算出 ， ，由 是腰长为4的等腰三角形，且点 在第二象限，可得 、 的值，过 作 于点 ，可得 ， 的值，可得 的面积.
15．（2021·济宁模拟）设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过点 的直线 分别与双曲线的左、右支交于点 、 ，若以 为直径的圆过点 ，且 ，则该双曲线的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，又 ，所以△ 为等腰直角三角形，所以 .
设 ，则 由双曲线的定义可得： ，两式相加得： ，即 .所以 ，解得： .
在△ 中， ， ， ，
由余弦定理得： ，
即 ，整理化简得：
.
故答案为： .
【分析】利用双曲线的性质以及定义得出即，结合三角形的几何计算关系求出，再由余弦定理整理结合整体思想计算出结果即可。
16．（2021·潍坊模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上， 垂直 于点 ， 与 轴交于点 为坐标原点，且 ，则 　 　．
【答案】5
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：依题意可得 ， ，根据抛物线的定义可知 ，设 与 轴相交于点 ，因为 ，又 ，所以 ，所以 为 的中点，所以 即 的纵坐标为 ，在 中令 ，
得 ，所以 ，所以
故答案为：5
【分析】 先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，利用数形结合求出点P的坐标，然后利用抛物线的定义即可求解．
四、解答题
17．（2020高二上·济宁期末）在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线C上，且___________.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且 ，求直线l的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：若选择条件①，根据焦半径公式可知 ，
解得： ，
所以抛物线方程是 ；
若选择条件② ，即 ，代入抛物线方程，得 ，
所以抛物线方程是 ；
（2）解：抛物线的焦点 ，
当直线 的斜率不存在时， ，
所以直线 的斜率存在，设直线 ，与抛物线方程联立
，化简为 ，
，
，解得： ，
所以直线 的方程是 或y=-x-1
【知识点】直线的斜截式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】 在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在问题中， 若选择条件①，根据焦半径公式结合已知条件 ，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程；若选择条件② ， 再结合代入法和抛物线的标准方程，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2）利用（1）求出的抛物线标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点坐标，再利用分类讨论的方法联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理和弦长公式，再利用已知条件 ， 进而求出k的值，从而求出直线l的斜截式方程。
18．（2021·济南模拟）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率 ，且椭圆C上一点N到 距离的最大值为4，过点 的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足 （O为坐标原点），当 时，求实数t的取值范围.
【答案】（1）椭圆C的半焦距c， ，即 ，
则椭圆方程为 ，即 ，设 ，
则 ，
当 时， 有最大值 ，即 ，解得 ， ，
故椭圆方程是 ；
（2）设 ， ， ，直线AB的方程为 ，
由 ，整理得 ，
则 ，解得 ， ， ，
因 且 ，则 ，
于是有 ，化简，得 ，则 ，即 ，
所以 ，
由 得 ，则 ， ，
而点P在椭圆上，即 ，化简得 ，
从而有 ，而 ，
于是得 ，解得 或 ，
故实数t的取值范围为 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的性质求出，再把点的坐标代入结合两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可得出当 时， 有最大值，结合已知条件求解出a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由弦长公式整理得到结合已知条件即可得到关于k的不等式求解出k的取值范围，然后由点在椭圆上代入整理得到，结合k的取值范围即可得出t的取值范围。
19．（2021·临沂模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，以 为直径的圆 过焦点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 的右顶点为 ，与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 ， 两点（ ， 与 点不重合），且满足 ，点 为 中点，求直线 与 的斜率之积的取值范围．
【答案】（1）在圆 的方程中，令 ，得 ，解得 ，所以， ， 的坐标分别为 ， ．
∵ ，又因为 ， ，所以点 的坐标为 ，
所以， ，得 ， ，
即椭圆 的方程为 ．
（2）右顶点为 ，由题意可知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，由 与 轴不垂直，故 ．
由 得： ，
设 ， ，又点 ，
则由根与系数的关系可得： ，得 ， ，
∵ ，∴直线 的方程为 ，
用 替换 可得： ， ，
∴点 坐标为 ，
∴直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
∴ ，
∵ 且 ，∴ ，
∴ ．即 ．
∴直线 与 的斜率之积的取值范围是 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意求出焦点的坐标，再利用平行关系求出点P的坐标，结合椭圆的定义整理即可求出a与b的值，从而得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由直线垂直斜率之间的关系整理得出
和，由此得到结合基本不等式即可求出即。
20．（2021·济宁模拟）已知抛物线 ，过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 ， 两点， 交抛物线 于 、 两点，当点 的横坐标为1时，抛物线 在点 处的切线斜率为 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）已知 为坐标原点，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，求 面积的最小值．
【答案】（1）解：因为 可化为 ，所以 ．
因为当 点的横坐标为1时，抛物线 在 点处的切线斜率为 ，
所以 ，所以 ，
所以，抛物线 的标准方程为 ．
（2）由（1）知点 坐标为 ，
由题意可知，直线 和 斜率都存在且均不为0，
设直线 方程为 ，
由 联立消去 并整理得， ，
，
设 ， ，则 ， ，
所以， ，
因为 为 中点，所以 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
所以，直线 的方程为
整理得 ，
所以，直线 恒过定点 ．
所以 面积 ，
当且仅当 即 时， 面积取得最小值为8．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知条件对函数求导由此得出抛物线 在 点处的切线斜率，再由题意就求出p的值，由此得出抛物线的方程。
(2)由(1)求出T的坐标再由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，利用直线垂直斜率之间的关系整理得出从而得出直线 恒过定点 ，结合三角形的面积公式以及基本不等式即可求出最小值。
21．（2021·济南模拟）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线与椭圆 相交于A， 两点，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，点 ，若 ， ，求证： 为定值．
【答案】（1）由题意知 ，则 ，
又椭圆 经过点 ，所以 ；
联立解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）证明：设直线 方程为 ， ， ，
由 ，联立消x得 ，
所以 ， ， ，
由题意知， ， 均不为1．
设 ， ，
由 ， ，A三点共线知 与 共线，
所以 ，化简得 ；
由 ， ， 三点共线，同理可得 ；
由 ，得 ，即 ；
由 ，同理可得 ；
所以
，
所以 为定值．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 首先根据题意由椭圆的性质结合离心率公式整理得出，再把点的坐标代入整理计算出a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，设出点的坐标再由三点共线的性质整理得到和，然后由向量共线的坐标公式整理得出，代入上式整理即可得出为定值。
22．（2021高三下·常州开学考）已知等轴双曲线C： (a>0，b>0)经过点( ， ).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点B(0，1).
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；
②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点， 为定值 ，求点A的坐标及实数 的值.
【答案】（1）由题意 ，且 解得 ，
所以双曲线 的标准方程为
（2）①由对称性可设 ，且 ，则 ，
因为 点在双曲线 上，所以 ，所以 ，所以 ，
当 时， 为直角，
当 吋， 为钝角.
因此， 最小时， .
②设 过点 的动直线为：
设 联立 得 ，
所以 ，由 且 ，解得 且 ，
，即 即 ，
化简得 ，
所以 ，
化简得 ，
由于上式对无穷多个不同的实数 都成立，
所以
如果 那么 此时 不在双曲线 上，舍去.
因此 从而 代入 解得 .
此时 在双曲线 上.
综上， 或者 .
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意：a=b，将点 ( ， )代入方程，即可求出 a，b，从而写出双曲线方程；
（2） ① 根据对称性，设出E，F的坐标，利用向量的知识，建立关系式，进一步通过复杂的推理运算
即可求得k；
② 设出 再设过点 的动直线为： 代入双曲线方程，利用韦达定理等建立关系，通过复杂的推理，直到得出结果。
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