2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.2.1 三角函数的概念课件

(共30张PPT)
第五章 三角函数
5.2.1 三角函数的概念
教学目标
借助单位圆理解任意角三角函数的定义；（重点）
01
根据定义认识函数值的符号，理解诱导公式一；（重点）
02
能初步运用定义解决与三角函数值有关的一些简单问题；（重点、难点）
03
04
学科素养
三角函数的概念；
数学抽象
三角函数的第一定义和第二定义；
数学建模
三角函数的第二定义的推导；
逻辑推理
通过定义求角的三角函数值；
数学运算
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
弧度制的定义：
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.
角的扩充：
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
象限角与轴线角：
把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x轴的非负半轴重合.那么，角α的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角. 如果角的终边落在坐标轴上,这个角称轴线角.
锐角α的正弦、余弦和正切叫做角α的锐角三角函数，分别记作sinα，cosα，tanα.
A
B
C
α
02
新 知 探 索
New Knowledge explore
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系，下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题，即研究单位圆上点的运动．
如图，单位圆⊙O上的点P，以A为起点做逆时针方向旋转，我们将如何建立一个数学模型，刻画单位圆上点P位置变化情况．



根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上
研究这个问题．
如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)，射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止
位置为OP．
﹒
【探究】当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？
利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或
时，点P的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的(如图).












【结论】一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x和纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义．
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)
(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；
(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的 ,记作 ,即 (x≠0).
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
可以看出，当 时，α的终边始终在y轴上，这时P点的横坐标x等于0，所以 无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，称为正切函数．
角确定→角的终边唯一确定→角的终边与单位圆的交点确定→角的三角函数值（正弦值、余弦值、正切值）确定，所以角的三角函数值是关于角的函数，通常我们把自变量角记为x，对应的函数值记为y．
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常把它们记为：
正弦函数：y=sinx， x∈R；
余弦函数：y=cosx， x∈R；
正切函数：y=tanx， ．
O
x
y
P(x，y)
α
1
M
利用锐角三角函数概念可得：
与按本节三角函数定义求得的结论是相同的．
【探究】在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，
以比值为函数值的函数，设 ，把按锐角三角函数的定义求得的锐角x的正弦值记为z1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦值记为y1，那么z1与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
【例1】求 的正弦、余弦和正切值．
O
x
y
1
M
【解析】在坐标系中作出∠AOB= ，易知:
∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为 ，
所以
如何求α角的三角函数值
借助解直角三角形求得α终边与单位圆交点的坐标，再通过三角函数的定义求出α的三角函数值．
【例2】如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：
【解析】设α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)，分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则: |P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，ΔOMP∽ΔOM0P0
α
思考：根据例2，若已知点P（x，y）为角α终边上异于原点的任意一点，那么α的各个三角函数值是否可以确定？
α
故只要知道角α终边上任意一点，那么就可以求得角α的各个三角函数值，显然任意角α的三角函数值仅与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关.
【练习】已知点P（3，-4）在角α终边上，求sinα，cosα，tanα的值．














不存在







常见角的三角函数值


三角函数 sinα cosα tanα
定义域
象限角三角函数值 符号
探究：根据任意角的三角函数的定义，确定正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域，再确定这三种三角函数的值在各个象限的符号．





















象限角函数值取正：一全二正弦，三切四余弦.
【例3】求证：角θ为第三象限角的充要条件为

【证明】首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
因为sinθ＜0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和y轴的负半轴重合；
又因为tanθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限；
综合可知：θ为第三象限角．
再证明必要性：即如果θ为第三象限角，那么①②都成立.
因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ＜0， cosθ＞0，所以必要性成立，
即充要性成立．
由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同.
由此得到一组公式：
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
sin(α+2kπ)=sinα
其中k∈Z
公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系：即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因．
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求[0，2π]的角的三角函数值．
【例4】确定下列三角函数值的符号：
【例5】求下列三角函数值：















【练习】填表：
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
04
归 纳 总 结
Sum Up
1.三角函数的第一定义和第二定义：
2.三角函数值在各个象限和轴线上的符号：
象限角函数值取正：一全二正弦，三切四余弦.
3.终边相同的角的统一三角函数值相等
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
sin(α+2kπ)=sinα
若点P（x，y）为角α终边上异于原点的任意一点，则
05
课 后 作 业
Homework After Class
1. 已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边过点P（-12，5），
求sinα，cosα，tanα的值．
2.已知角α、β的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边关于y轴对称，
若角α的终边上有一点的坐标为 ，则tanβ的值是多少？
3.求下列三角函数值：