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25.2.1：用列表法求概率--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据树状图首先计算出总数，再计算出小球标号之和大于5的数，利用概率的计算公式可得摸出的小球标号之和大于5的概率.
【详解】解：根据题意可得树状图为：
一共有25种结果，其中15种结果是大于5的
因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为
故选C.
【点评】本题主要考查概率的计算的树状图，关键在于画树状图，根据树状图计算即可.
2．某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，
∴恰好选中两名男学生的概率是：．
故选A．
【点评】本题考查列表法与树状图法求概率．
3．如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】两个转盘分别自由转动一次后，共出现以下16种等可能的情况，指针都指向2的情况只有1种，（两个转盘的指针都指向2）．
4．郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表得出进出的所有情况，再从中确定出恰好选择从同一个口进出的结果数，继而根据概率公式计算可得．
【详解】解：列表得：
A B C D E
A AA BA CA DA EA
B AB BB CB DB EB
C AC BC CC DC EC
D AD BD CD DD ED
E AE BE CE DE EE
∴一共有25种等可能的情况，恰好选择从同一个口进出的有5种情况，
∴恰好选择从同一个口进出的概率为=，
故选C．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．在一个袋子中有红，黄，蓝，绿四种颜色的球各一个，从中随机摸出一个小球记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用列表法求出所有的等可能性的结果数，然后找到两次颜色相同的结果数，利用概率公式求解即可得到答案.
【详解】解：由表格可知，一共有16种等可能性的结果，两次摸出的小球的颜色相同的结果有4种情况，
∴两次摸出的小球的颜色相同的概率，
故选D.
红 黄 蓝 绿
红 红红 红黄 红蓝 红绿
黄 黄红 黄黄 黄蓝 黄绿
蓝 蓝红 蓝黄 蓝蓝 蓝绿
绿 绿红 绿黄 绿蓝 绿绿
6．小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列表法或树状图即可解决．
【详解】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：
R B W
r rR rB rW
b bR bB bW
则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．
7．现从四个数，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数中a，b的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用列表的方法求解从四个数，0，1，2中任意选出两个不同的数的结果数，再判断使函数的图像分布在一二三象限的结果数，再直接利用概率公式进行计算即可得到答案.
【详解】解：列表如下：
一共有种等可能的结果，
而分布在一二三象限，
＞＞
所以符合条件的等可能的结果数有种，
所以使分布在一二三象限的概率是
故选：
【点评】本题考查的是利用画树状图或列表的方法求解等可能事件的概率，一次函数的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
二、填空题
8．一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的__________，记为________．
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）＝________．
【答案】概率 P（A）
9．当事件涉及的对象比较单一，且出现的等可能结果数目较少时，可以用直接___________法求概率．
【答案】列举
10．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
第一步 列举出所有________的结果：正正、反反、正反、反正
第二步 根据概率公式计算：P（两枚硬币都正面朝上）＝______
【答案】等可能
11．当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，可以用_____法求概率．
【答案】列表
12．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B． C. D．
列表如下：
S1 S2 S3
S1 (S2，S1) (S3，S1)
S2 (S1，S2) (S3，S2)
S3 (S1，S3) (S2，S3)
共有_____种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是_________＝．
【答案】6
13．甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其它情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是________（填“公平”、“对甲有利”或“对乙利”）．
【答案】对乙利
【分析】利用列表法先求出所有的可能性结果，然后分别求出对甲、对乙有利的概率，然后比较即可得到答案.
【详解】解：两个骰子同时抛出，出现的情况如下，共有36种等可能的结果，
出现两个5点的情况有1种，出现一个4点和一个6点的情况有2种，
甲赢的概率为，乙赢的概率为，
所以对乙有利．
骰子 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
14．一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字-3，1，，2，它们除所标数字外完全相同，摇匀后从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之积是正数的概率为______．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两球上所标数字之积是正数的情况，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表如下：
所有等可能的情况有12种，其中两球上所标数字之积是正数的情况有6种，
则两球所标数字之积是正数的概率为6÷12＝，
故答案是：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，正确区分是否是放回事件还是不放回事件是解题的关键．
15．现有三张分别标有数字、、1的卡片，它们除了数不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为；放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为，则一次函数的图象经过第一象限的概率_________．
【答案】
【分析】首先利用列表法表示出所有可能的结果，然后从中找到图象经过第一象限的情况数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】解：列表格如下：
-2 -1 1
-2
-1
1
共有9种等可能的结果，而只有时，当一次函数的图象不经过第一象限，所以经过第一象限的情况有5种，
∴一次函数的图象经过第一象限的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查随机事件的概率以及一次函数的图像，掌握列表法及概率公式是关键．
16．现有三个自愿献血者，其中两人血型为O型，一人为A型，若在三人中随机挑选一人献血，两年后又从此三人中随机挑选一人献血，那么两次献血的人血型均为O型的概率是 ___．
【答案】
【分析】列表得出共有9种等可能情况，两次献血的人血型均为O型的有4种情况，再由概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
共有9种等可能的情况，两次献血的人血型均为O型的有4种情况，
∴两次献血的人血型均为O型的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
17．在一个20人的小组里，12名女生中有3名共青团员，8名男生中有2名共青团员．则
（1）随机选取一名学生，是女生的概率 ；
（2）随机选取一名学生，是共青团员的概率 ；
（3）在五名共青团员中随机选取两名同学，通过画树形图或者列表等方式求这两名同学恰好都是男生的概率；
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）直接根据概率公式求解即可；
（3）列出表格，用符合条件的情况数除以所有等可能情况的总数即可．
【详解】解：（1）=，
故答案为：；
（2）=，
故答案为：；
（3）列表如下：
女1 女2 女3 男1 男2
女1 女1，女2 女1，女3 女1，男1 女1，男2
女2 女2，女1 女2，女3 女2，男1 女2，男2
女3 女3，女1 女3，女2 女3，男1 女3，男2
男1 男1，女1 男1，女2 男1，女3 男1，男2
男2 男2，女1 男2，女2 男2，女3 男2，男1
随机抽取2名同学有20种结果，两名都是男生有2种结果，所以抽到两名男共青团员的概率为．
【点评】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即．
18．目前，彭水正处在“脱贫攻坚”的关键阶段，为了调查“脱贫攻坚”工作对广大市民的影响以及公众对“脱贫攻坚”工作的了解程度，彭水县某媒体在全县范围内对“脱贫攻坚”工作开展情况进行调研．问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，分别记作，，，；并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(未完成)，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次被调查的人数共有 人；在被调查者中“基本了解”的有 人．
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整．
（3）在“非常了解”的调查结果里，教师共有5人，其中3男2女，在这5人中，打算随机选出2位进行采访，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位教师恰好都是男教师的概率．
【答案】（1）50，10；（2）见解析；（3）
【分析】（1）利用A的人数为15，占比为30%即可求出总人数，然后求出C、D的人数即可；
（2）根据（1）的计算结果补全统计图即可；
（3）利用列表法求解概率即可.
【详解】解：（1） ∵A的人数为15人，占比为30%
∴总人数=15÷30%=50人，
∴D的人数=50×10%=5人
∴C的人数=50-15-5-20=10人
（2）如图
（3）解：列表如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 (男1男2) (男1男3) (男1女1) (男1女2)
男2 (男2男1) (男2男3) (男2女1) (男2女2)
男3 (男3男1) (男3男2) (男3女1) (男3女2)
女1 (女1男1) (女1男2) 女1男3) (女1女2)
女2 (女2男1) (女2男2) (女2男3) (女2女1)
共有20种等可能的结果数，其中恰好都是男教师的结果数有6种
∴P(都是男教师)＝.
【点评】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用列表法或树状图法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
19．一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的数字是偶数的概率为多少？
（2）小明同学从中任取一球，记下数字后再放回袋中，然后再从中任取一球，求出小明取出的两个球上的数字之和为偶数的概率；
（3）小红同学从中任取一球，不放回，再从中任取一球，求出小红取出的两个球上的数字之和为偶数的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）用出现偶数的情况数除以总的情况数即可；
（2）用列表法或树状图法列出所有等可能的情况数，找出其中符合题意的情况数除以总情况数即可；
（3）用列表法或树状图法列出所有等可能的情况数，找出其中符合题意的情况数除以总情况数即可．
【详解】解：（1）从口袋中任取一个球有5种等可能情况，其中为偶数的情况有2种，
从中任取一个球，球上的数字是偶数的概率为；
（2）由题意，列表如下：
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
共有25种等可能情况，其中和为偶数的情况有13种，
小明取出的两个球上的数字之和为偶数的概率为；
（3）由题意，列表如下：
1 2 3 4 5
1 3 4 5 6
2 3 5 6 7
3 4 5 7 8
4 5 6 7 9
5 6 7 8 9
共有20种等可能情况，其中和为偶数的情况有8种，
∴小红取出的两个球上的数字之和为偶数的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为A，B，C，D．随机抽出一个小球然后放回，再随机抽出一个小球．
（1）请用列表法或画树状图法列举出两次抽出的球的所有可能结果；
（2）求两次抽出的小球的标号不相同的概率．
【答案】（1）(A，A)，(B，A)，(C，A)，(D，A)，(A，B)，(B，B)，(C，B)，(D，B)，(A，C)，(B，C)，(C，C)，(D，C)，(A，D)，(B，D)，(C，D)，(D，D)，见解析；（2）
【分析】（1）根据题意利用列表法求出所有的结果即可得到答案；
（2）根据（1）中的结果，求出标号不同的所有结果数，然后根据概率公式求解即可得到答案.
【详解】解：（1）列表如下：
A B C D
A (A，B) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
（2）由（1）知，共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次抽出的小球的标号不相同的结果有12种．
∴两次抽出的小球的标号不相同的概率为.
【点评】本题主要考查了用列表法或树状图法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
21．在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．
（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为 ；
（2）随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率求解即可．
【详解】解：（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
我 爱 白 云
我 （我，我） （爱，我） （白，我） （云，我）
爱 （我，爱） （爱，爱） （白，爱） （云，爱）
白 （我，白） （爱，白） （白，白） （云，白）
云 （我，云） （爱，云） （白，云） （云，云）
由表可知，共有16种等可能结果，其中两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的有7种结果，所以两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率为．
【点评】本题考查了简单概率计算，列举法计算概率，熟练掌握概率计算公式，灵活选择列表法或画树状图法计算概率是解题的关键．
22．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“幸”、“福”、“赣”、“县”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别．
（1）若从袋中任取一个球，球上的汉字刚好是“福”的概率为 ；
（2）若同时从袋中任取两个球，记取出的两个球上的汉字恰能组成“幸福”或“赣县”为事件A，请用列表或画树状图的方法求出事件A的概率．
【答案】（1）；（2）P（A）＝．
【分析】（1）4个汉字中“福”只有1个，即可求出所求概率；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“幸福”或“赣县”的情况数，即可求出所求概率．
【详解】（1）若从袋中任取一个球，球上的汉字刚好是“福”的概率为，
故答案为：；
（2）可列表得：
幸 福 赣 县
幸 幸福 赣幸 县幸
福 幸福 赣福 县福
赣 幸赣 福赣 赣县
县 幸县 福县 赣县
由表格可知共有12种不同取法，取出的两个球上的汉字恰能组成“幸福”或“赣县”的有4种，
∴P（A）．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度，在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动．
（1）请用画树状图或列表的方法表示2位家长所在班级的所有可能出现的结果；
（2）求选出的2位家长来自相同班级的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用列表法展示所有12种等可能的结果；
（2）找出抽到两位家长在一个班的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）设初三（1）两位家长分别为A1，A2，初三（2）两位家长分别为B1，B2，列表如下：
由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，分别为（A2，A1），（B1，A1），（B2，A1），（A1，A2），（B1，A2），（B2，A2），（A1，B1），（A2，B1），（B2，B1），（A1，B2），（A2，B2），（B1，B2）；
（2）由（1）知：所有可能出现的结果共有12种，其中抽到两位家长在一个班的情况4种，即（A2，A1），（A1，A2），（B2，B1），（B1，B2），
∴P（两位家长是同一个班）＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字3、－3、6、－6的小球，小球的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为．
（1）用列表法或树状图法表示出（，）所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的数字和为0的概率．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据题意列表表示（，）所有等可能的结果；
（2）根据（1）中表格，即可解题 ．
【详解】解：（1）列表如下：
3 －3 6 －6
3 （3，3） （3，－3） （3，6） （3，－6）
－3 （－3，3） （－3，－3） （－3，6） （－3，－6）
6 （6，3） （6，－3） （6，6） （6，－6）
－6 （－6，3） （－6，－3） （－6，6） （－6，－6）
（2）由（1）中表格可得，共16种情况，它们出现的可能性是一样的，其中数字和为0的有4种，所以概率是．
【点评】本题考查用列表法或树状图法表示概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
25．如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题
（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料
平均价格（元/瓶） 0 2 3 4
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的3名班委干部（其中有两位班长记为A，B，剩余一位记为C）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
【答案】（1）50人，补图见解析；（2）2.2元；（3）
【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．
【详解】解（1）∵B种饮品的人数为15人，占比为30%
∴这个班级的学生人数=人，
选择C饮品的人数=人，
补全图形如下：
（2）元，
答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；
（3）列表如下：
由表格共有6种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，
所以恰好抽到2名班长的概率为：
【点评】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，加权平均数，用树状图或列表法求概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
26．请你设计一个双人的摸球游戏，使游戏对双方都是公平的；并说明，在你设计的游戏中，游戏者获胜的概率是多少．
【答案】见解析
【分析】设计的摸球游戏小球的标号中奇数和偶数相等即可，列表得出所有等可能的情况数有16种，其中小明、小华获胜的结果各有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：小明和小亮一起玩一个摸球游戏，他们手里各自拿一个不透明的袋子，每个袋子装有标号分别为2，3，4，5的4个小球，小球除标号外其他均相同．游戏规则是，小明和小亮从各自的袋子中随机摸出一个球，然后将摸出的小球标号相加，如果和为偶数，则小亮胜，如果和为奇数，则小明胜．
列表如下：
2 3 4 5
2
3
4
5
所有等可能的情况数有16种，其中小明、小亮获胜的结果各有4种，
则小明获胜的概率是，
小亮获胜的概率是，
，
这个游戏规则对双方是公平的，
即游戏者获胜的概率是．
【点评】本题考查了游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
27．第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
【答案】
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．
【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
白 黑
白 白、白 黑、白
黑1 白、黑1 黑1、黑
黑2 白、黑2 黑、黑2
共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，
所以取出的2个球都是白球的概率为．
答：取出的2个球都是白球的概率为．
【点评】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．
28．一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高
【分析】（1）列表格列出所有可能性；
（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．
【详解】（1）所有可能性如下表：
甲
乙 红1 红2 白1 白2
红1 （红，红） （白，红） （白，红）
红2 （红，红） （白，红） （白，红）
白1 （红，白） （红，白） （白，白）
白2 （红，白） （红，白） （白，白）
总共12种情况．
（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种
∴甲获胜概率=，乙获胜概率=
∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
29．如图所示，甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动的游戏规则是：两人先猜裁判所抛硬币向上一面的正反，再根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）用树状图（树状图也称树形图）或列表法中的一种方法，求每次移动游戏中甲猜对的概率的值；
（2）直接写出经过第一次移动游戏后，甲乙两人相距6个单位的概率．
【答案】（1）图表见解析，；（2）1
【分析】（1）根据列表法，即可求出概率；
（2）无论①、②、③哪种情况发生，甲、乙之间的距离都是6个单位，即可求出概率．
【详解】解：（1）根据题意：
由上表可知，总共有4种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同．
其中甲猜对的结果有2种．
∴．
（2）根据题意，无论①、②、③哪种情况发生，甲、乙之间的距离都是6个单位，
∴经过第一次移动游戏后，甲乙两人相距6个单位的概率是1．
【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出表格进行解题．
30．一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，0.3，，0
（1）从口袋中随机出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；
（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分记作x，y，请用列表法（或树状图）求点在第四象限的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与这两个球上数字组成坐标在第四象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）∵0.3可以化为分数，
∴摸出小球上的数字是分数的概率=；
（2）由题意可列出如下表格：
由表格可知：
共有12种等可能的结果，其中两个球上数字组成坐标在第四象限的情况有2种，
∴摸出的两个球上数字组成坐标在第四象限的情况的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意本题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
31．为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．
类别 A B C D
人数 2 18 3
根据所给信息：
（1）求被抽查的学生人数；
（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；
（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．
【答案】（1）50人；（2）300人；（3）
【分析】（1）用B类抽查的人数除以它所占的百分比即可；
（2）用总人数乘以周六做家务2小时以上的百分比即可；
（3）根据列表法即可求出．
【详解】（1）（人）
（2）C类的人数为：50-2-18-3=27（人）
九年级周六做家务2小时以上的人数为：（人）
（3）设A类两人分别是A1、A2、D类3人分别是D1、D2、D3
A1 A2 D1 D2 D3
A1 A2 A1 A1 D1 A1 D2 A1 D3
A2 A1A2 A2 D1 A2 D2 A2 D3
D1 A1D1 A2D1 D1 D2 D1 D3
D2 A1D2 A2D2 D2 D1 D2 D3
D3 A1D3 A2D3 D3 D1 D3 D2
两次抽取的结果共有10种，A类和D类各有一人共12种，故概率为；
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出符合事件的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．
32．“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫，本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）先列表求解所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，从而利用概率公式进行计算即可.
【详解】解：（1）由概率的含义可得：
居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率是
（2）列表如下：
由表中信息可得一共有种等可能的结果数，属于同种疫苗的结果数有：
，，，，，，，共 种，
所以居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为：
【点评】本题考查的是随机事件的概率，利用列表法或画树状图求解概率，掌握列表的方法与画树状图的方法是解题的关键.
33．为了丰富同学们的课余生活，开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为______．
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）该学校共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名；
（4）被抽查的两名学生在四类活动至少一人选择“绘画”的概率？
【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）
【分析】（1）根据条形统计图中绘画的人数和其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%即可求出总人数；
（2）通过总人数减去绘画、剪纸、书法的人数得到舞蹈的人数，补全条形统计图即可；
（3）根据剪纸的人数和总人数，得到剪纸占所调查人数的百分比，乘以1500即得该中学最喜欢剪纸小组的学生人数；
（4）用列表法列出等可能，求出概率．
【详解】解：（1）（名）
答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；
（2）（名），补全条形统计图如图所示：
（3）20÷50=0.4，（名），
答：该中学1500名学生中最喜欢剪纸小组的学生有600名．
（4）列表法：我们把绘画、剪纸、舞蹈、书法分别用、、、表示
学生1 学生2
DB
DC
DD
由表可以看出，共有16种等可能的结果，其中至少一人选择“绘画”有7种结果；
则
【点评】本题考查的是条形统计图，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题的关键．
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25.2.1：用列表法求概率--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（）
A． B． C． D．
3．如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向2的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好选择从同一个口进出的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在一个袋子中有红，黄，蓝，绿四种颜色的球各一个，从中随机摸出一个小球记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．现从四个数，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数中a，b的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的__________，记为________．
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）＝________．
9．当事件涉及的对象比较单一，且出现的等可能结果数目较少时，可以用直接___________法求概率．
10．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
第一步 列举出所有________的结果：正正、反反、正反、反正
第二步 根据概率公式计算：P（两枚硬币都正面朝上）＝______
11．当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，可以用_____法求概率．
12．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B． C. D．
列表如下：
S1 S2 S3
S1 (S2，S1) (S3，S1)
S2 (S1，S2) (S3，S2)
S3 (S1，S3) (S2，S3)
共有_____种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是_________＝．
13．甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其它情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是________（填“公平”、“对甲有利”或“对乙利”）．
14．一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字-3，1，，2，它们除所标数字外完全相同，摇匀后从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之积是正数的概率为______．
15．现有三张分别标有数字、、1的卡片，它们除了数不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为；放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为，则一次函数的图象经过第一象限的概率_________．
16．现有三个自愿献血者，其中两人血型为O型，一人为A型，若在三人中随机挑选一人献血，两年后又从此三人中随机挑选一人献血，那么两次献血的人血型均为O型的概率是 ___．
三、解答题
17．在一个20人的小组里，12名女生中有3名共青团员，8名男生中有2名共青团员．则
（1）随机选取一名学生，是女生的概率 ；
（2）随机选取一名学生，是共青团员的概率 ；
（3）在五名共青团员中随机选取两名同学，通过画树形图或者列表等方式求这两名同学恰好都是男生的概率；
18．目前，彭水正处在“脱贫攻坚”的关键阶段，为了调查“脱贫攻坚”工作对广大市民的影响以及公众对“脱贫攻坚”工作的了解程度，彭水县某媒体在全县范围内对“脱贫攻坚”工作开展情况进行调研．问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，分别记作，，，；并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(未完成)，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次被调查的人数共有 人；在被调查者中“基本了解”的有 人．
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整．
（3）在“非常了解”的调查结果里，教师共有5人，其中3男2女，在这5人中，打算随机选出2位进行采访，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位教师恰好都是男教师的概率．
19．一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的数字是偶数的概率为多少？
（2）小明同学从中任取一球，记下数字后再放回袋中，然后再从中任取一球，求出小明取出的两个球上的数字之和为偶数的概率；
（3）小红同学从中任取一球，不放回，再从中任取一球，求出小红取出的两个球上的数字之和为偶数的概率．
20．一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为A，B，C，D．随机抽出一个小球然后放回，再随机抽出一个小球．
（1）请用列表法或画树状图法列举出两次抽出的球的所有可能结果；
（2）求两次抽出的小球的标号不相同的概率．
21．在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．
（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为 ；
（2）随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．
22．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“幸”、“福”、“赣”、“县”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别．
（1）若从袋中任取一个球，球上的汉字刚好是“福”的概率为 ；
（2）若同时从袋中任取两个球，记取出的两个球上的汉字恰能组成“幸福”或“赣县”为事件A，请用列表或画树状图的方法求出事件A的概率．
23．目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度，在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动．
（1）请用画树状图或列表的方法表示2位家长所在班级的所有可能出现的结果；
（2）求选出的2位家长来自相同班级的概率．
24．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字3、－3、6、－6的小球，小球的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为．
（1）用列表法或树状图法表示出（，）所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的数字和为0的概率．
25．如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题
（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料
平均价格（元/瓶） 0 2 3 4
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的3名班委干部（其中有两位班长记为A，B，剩余一位记为C）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
26．请你设计一个双人的摸球游戏，使游戏对双方都是公平的；并说明，在你设计的游戏中，游戏者获胜的概率是多少．
27．第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
28．一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
29．如图所示，甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动的游戏规则是：两人先猜裁判所抛硬币向上一面的正反，再根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）用树状图（树状图也称树形图）或列表法中的一种方法，求每次移动游戏中甲猜对的概率的值；
（2）直接写出经过第一次移动游戏后，甲乙两人相距6个单位的概率．
30．一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，0.3，，0
（1）从口袋中随机出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；
（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分记作x，y，请用列表法（或树状图）求点在第四象限的概率．
31．为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．
类别 A B C D
人数 2 18 3
根据所给信息：
（1）求被抽查的学生人数；
（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；
（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．
32．“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫，本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
33．为了丰富同学们的课余生活，开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为______．
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）该学校共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名；
（4）被抽查的两名学生在四类活动至少一人选择“绘画”的概率？
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