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25.2.3：用频率估计概率--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．在一个不透明的盒子中装有若干个黑球和白球，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则摸到白球的概率约为（ ）
A．0.8 B．0.3 C．0.2 D．0.5
【答案】C
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴摸到白球的概率约为0.2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
2．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（ ）粒．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可．
【详解】设瓶子中有豆子粒豆子，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：估计瓶子中豆子的数量约为粒．
故选：．
【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
3．某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.2附近，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（ ）
A．90° B．72° C．60° D．45°
【答案】B
【分析】由概率公式的意义即可得出答案．
【详解】解：∵通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.2，
∴可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是360°×0.2=72°；
故选B．
【点评】本题考查了概率公式的应用；理解题意，熟练掌握概率公式是解题的关键．
4．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出正方形二维码的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，然后进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故选C．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．数学兴趣小组在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面向上的概率
B．抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率
C．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率
D．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率
【答案】C
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.6附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.6者即为正确答案．
【详解】解：、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
、抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率为，故此选项不符合题意；
．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率为，故此选项符合题意；
．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率为，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．
6．下表是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数 96 282 382 570 948 1904 2850
发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950
对于下列推断：
①当为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验大豆粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；
③若大豆粒数为4000，可以估计大豆发芽的粒数大约为3800粒；
④通过表格中的试验数据可以确定，若试验大豆为2500粒，则大豆发芽的概率是0.951．
正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．
【详解】解：①当n=400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；
③若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为4000×0.950=3800粒，此结论错误．
通过表格中的试验数据可以确定，若试验大豆为2500粒，则大豆发芽的概率是0.95，故此结论错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
7．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干枚（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
黑棋数 1 3 2 0 3 2 1 4 3 1
根据以上数据，估计袋中的白棋子数量大约为（ ）
A．60枚 B．50枚 C．40枚 D．30枚
【答案】C
【分析】先计算摸到黑棋的频率，由频率估算概率，设白棋子有枚，根据概率公式即可求得白棋子的数量
【详解】根据表格中的数据，摸到黑棋子的频率为：
，
设白棋子有枚，根据题意，得：
，
解得，
经检验是原方程的解．
故选C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，概率公式的简单运用，根据试验次数得出黑棋子的频率，从而得出关于白棋子个数的方程是解题的关键．
二、填空题
8．当事件涉及的对象比较单一，且出现的等可能结果数目较少时，可以用直接___________法求概率．
【答案】列举
9．当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，可以用_____法求概率．
【答案】列表
10．当一次试验涉及两个或更多个因素时，可以用______法求概率．
【答案】树状图
11．所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时，事件发生的次数与__________的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变． 而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数________ ．
从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个_____附近，具有______性，即试验频率稳定于其理论概率．
【答案】试验总次数 无关 常数 稳定
12．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率．
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______．
【答案】P（A）＝ 统计频率 概率
13．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．
【答案】
【分析】根据频率的定义先求出黑球的个数，即可知红球个数.
【详解】解：黑球个数为：，红球个数：.
故答案为6
【点评】本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键.
14．某鱼塘里养了200条鲤鱼若干条草鱼和150条罗非鱼，该鱼塘主人通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5附近若该鱼塘主人随机在鱼塘捕捞-条鱼，则估计捞到鲤鱼的概率为________.
【答案】
【分析】设鱼塘里养了条草鱼，根据题意，得，求出草鱼，再求概率.
【详解】设鱼塘里养了条草鱼，根据题意，得，解得，
经检验，是原分式方程的根，所以（捞到鲤鱼）.
故答案为
【点评】考核知识点：用概率公式求概率.先求出草鱼数量再求所占比例是关键.
15．有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是______.
石块的面 1 2 3 4 5
频数 17 28 15 16 24
【答案】
【分析】根据表中的信息，先求出石块标记3的面落在地面上的频率，再用频率估计概率即可．
【详解】解：石块标记3的面落在地面上的频率是=，
于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是．
故答案为．
【点评】本题考查用频率来估计概率，在大量重复试验下频率的稳定值即是概率，属于基础题．
16．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是_____.
【答案】6
【分析】根据概率公式得到＝，然后利用比例性质求出n即可.
【详解】解：根据题意得＝
解得n＝6，
经检验：n＝6是分式方程的解，
所以口袋中小球共有6个.
故答案为：6.
【点评】此题主要考查概率公式的运用，解题的是熟知概率公式的运用.
17．箱子内有m个除颜色外其他完全相同的球，若这m个球中白球有6个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个再放回去，通过大量重复实验发现摸出白球的频率稳定在20%，则推算m大约是：___．
【答案】30
【分析】根据白球的个数除以它占总数的比例即为球的总数m，求出即可．
【详解】解：m=6÷20%=30．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，利用总体=部分的个数除以它占的比例得出是解决问题的关键．
18．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为________．
【答案】
【分析】首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：；
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
∴，解得x=7．
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
19．下列说法：①如果下周一降雨的概率是，那么下周一有的时间降雨；②如果彩票中奖的概率是，那么买100张彩票一定会中奖；③抛一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是0.5，如果大量重复抛这个骰子，那么平均每抛2次就有1次向上一面的点数为奇数；④小王做掷图钉实验，他将一枚图钉掷了10次，其中8次钉尖朝上，则掷该图钉一次钉尖朝上的概率是0.8．其中正确的序号是__________．
【答案】③
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【详解】解：∵下周一降雨的概率是80%，说明降雨的可能性是80%，而不是时间，
∴①说法错误，
∵彩票中奖的概率是1%，是指每次中奖的可能性是1%，和买多少彩票无关，
∴②说法错误，
∵骰子向上一面共有6中情况，其中奇数为3中，
∴概率为0.5，
∵大量重复试验时，频率接近概率，
∴平均每抛2次就有1次向上一面的点数为奇数，
∴③说法正确，
∵图钉的尖朝上和背朝上不是等可能事件，
∴不能直接求概率，
∴④说法错误，
故答案为③．
【点评】本题主要考查概率的意义，熟练掌握概率的含义是解决本题的关键．
20．在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀．在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则袋子中一共有球____________个．
【答案】4
【分析】根据摸到红球的频率，可以得到黑球的个数，进而可得袋子中一共有球的个数．
【详解】解：观察折线统计图可知：
摸到红球的频率稳定在0.25，
设袋子中有x个黑球，
所以=0.25，
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
所以袋子中一共有1+2+1=4（个）球．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
三、解答题
21．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253
（1）补全上表中的有关数据 ；
（2）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（精确到0.01）
（3）估算袋中白球的个数．
【答案】（1）0.251；（2）0.25；（3）3
【分析】(1)依据图表中的数据及数据间的关系，摸到黑球次数÷摸球的次数即可求得；
(2)利用摸到黑球的频率进行求解平均值即可；
(3)设白球的个数为个，利用黑球的概率，可求解；
【详解】(1)依题可知，摸到黑球的频率为：摸到黑球次数÷摸球的次数；摸到黑球的频率为：；
(2)利用实验数据的处理方法，对所得的摸到黑球的频率进行求解平均值：
；
(3) 设白球的个数为个，
结合(2)中摸到黑球的概率为：；
∴ ，可得：；
∴估算袋中的白球个数为3个；
【点评】本题考查频率、频数、概率的定义及关系式，重点在理解和应用概率来解决问题求值；
22．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
（2）小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？
（3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
【答案】（1）“1点朝上”的频率为0.16，“6点朝上”的频率为0.13；（2）不正确；（3）
【分析】（1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为16，13，即可求得“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率．
（2）由一次试验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）“1点朝上”的频率为：16÷100＝0.16；
“6点朝上”的频率为13÷100＝0.13；
（2）小亮的判断是错误的；
因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
小亮的判断是错误的；因为事件发生具有随机性；
（3）任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中不小于4一共有3种情况，
∴P（朝上的点数不小于4）＝＝．
【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值．
23．小覃和小莫两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 12 19 15 18 20 x
（1）求表格中x的值．
（2）计算“3点朝上”的频率．
（3）小覃说：“根据实验，一次实验中出现1点朝上的概率是12%”：小覃的这一说法正确吗？
（4）小莫说：“如果掷6000次，那么出现5点朝上的次数大概是1500次左右．”小莫的这一说法正确吗？为什么？
【答案】（1）16；（2）；（3）不正确；（4）不正确，见解析．
【分析】（1）总次数减去1、2、3、4、5点出现的总次数即可求得；
（2）利用频率公式计算即可；
（3）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可完成；
（4）根据随机事件发生的概率的意义回答即可答案．
【详解】（1）由题意得：x=100-12-19-15-18-20=16
（2）“3点朝上”出现的次数是15，所以“3点朝上”的频率为：
（3）小覃的这一说法不正确．因为1点朝上的频率是12%，不能说明1点朝上的概率是12%，只有当实验的次数足够多时，事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以把这个频率的稳定值作为该事件发生的概率．
（4）小莫说法不正确的，因为5点朝上的频率是20%，所以掷6000次，则出现5点朝上的次数大概是1200次左右．
【点评】本题考查了频率的计算，用频率估计概率，关键是了解“大量重复实验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”．
24．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的小球共20只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回袋里，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：表
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数n 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到0.1）
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率 ，摸到黑球的概率 ．
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.60；（2）0.6，0.4；（3）黑、白两种颜色的球各有8只、12只
【分析】（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近表格中频率的平均数，求出平均数即可；
（2）根据（1）中求得的摸到白球的频率即可得；
（3）用球的总个数乘以各自的频率即可求得球的个数．
【详解】解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近（0.58+0.64+0.58+0.59+0.605+0.601）÷6≈0.60，
故答案为：0.60；
（2）摸到白球的概率是0.60，摸到黑球的概率是1-0.60=0.40，
故答案为0.60，0.40；
（3）白球有20×0.60=12（只），黑球有20-12=8（只），
答：黑、白两种颜色的球各有8只、12只.
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，知道概率求数量，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
25．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小明做摸球实验，搅匀后，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 70 124 190 325 538 670 2004
摸到白球的频率 0.70 a 0.633 0.65 0.6725 0.670 0.668
（1）在表中：______；
（2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到0.01）
（3）试估算盒子里有______只黑球．
【答案】（1）0.62；（2）0.67；（3）33
【分析】（1）根据摸到白球的频率计算即可；
（2）根据大量重复实验下摸球的频率可以估计概率，据此求解即可；
（3）根据摸出白球的概率求出摸出黑球的概率，用摸出黑球的概率乘以总数100即可求得；
【详解】（1），
，
故答案为：0.62；
（2）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67，
故答案为：0.67；
（3）依题意的：，
所以，估计盒子里有33只黑球．
故答案为：33．
【点评】本题考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，理解频率估计概率是解题的关键．
26．下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000
合格品数 188 471 946 1425 1898 2850
合格品频率 0.94 0.942 0.946 0.95
（1）求表中、的值；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率约是多少？（精确到0.01）
【答案】（1）0.949，0.950；（2）0.95
【分析】（1）根据合格品数÷抽取数=合格品频率计算即可；
（2）由表中数据可以判断频率在0.95左右摆动，故判断任取一套是合格品的概率估计值为0.95．
【详解】解：（1）1898÷2000=0.949，2850÷3000=0.950；
故答案为：0.949，0.950；
（2）由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.95附近波动，
所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是0.95．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，理解随样品数增多，概率值越精确是解题的关键．
27．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 15 14 25 20 13 13
（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
（2）小明说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？
（3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
【答案】（1）0.15；0.13；（2）小明和小亮都是错误的，见解析；（3）
【分析】（1）结合表格中数据，根据“频率=频数÷总数”即可求得；
（2）根据频率估计概率的条件和事件发生的随机性判断正误；
（3）运用概率的计算公式计算即可
【详解】解：（1）“1点朝上”的频率为；
“6点朝上”的频率为；
（2）小明的说法错误；因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；（或出现3点朝上的概率应为）
小亮的判断是错误的；因为事件发生具有随机性；
（3）点数不小于4的可能性有3种，所有可能性有6种，
【点评】本题考查了根据频数、总数求频率，随机事件的定义，运用概率公式求概率，理解定义是解题的关键．
28．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个．
（1）先从袋子中取出个红球（且为正整数），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．
①若事件为必然事件，则的值为______；
②若事件为随机事件，则的值为______．
（2）先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黄球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个黄球的频率在附近摆动，求的值．
【答案】（1）①4；②2或3；（2）
【分析】（1）①当袋子中全部为黄球时，摸出黄球是必然事件，
②当袋子中没有全部为黄球时，摸出黄球是随机事件；
（2）由题意得到事件概率，再利用概率公式列出方程，求得m的值即可．
【详解】解：（1）①要使袋子中全为黄球，必须摸出4个红球，此时摸一个小球是黄球是必然事件；
故答案为4；
②∵m＞1，所以当摸出2个或3个红球时，袋子中剩余小球没有全部为黄球，此时摸到黄球为随机事件，
故答案为2或3．
（2）依题意，得，解得 m=2，所以 m的值为2．
【点评】本题考查的是概率的应用．熟练掌握随机事件和必然事件的意义、用频率估计概率的方法及简单概率的求法是解题关键．
29．一圆盘被平均分成等份，分别标有这个数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止，指针指向的数字即为转出的数字，现有两人参与游戏，一人转动转盘另一人猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则猜数的获胜，否则转动转盘的人获胜，猜数的方法从下面三种中选一种：
（1）猜“是奇数”或“是偶数”；
（2）猜“是的倍数”或“不是的倍数”；
（3）猜“是大于的数”或“是不大于的数”．若你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，应选第几种猜数方法？并请你用数学知识说明理由．
【答案】第2种，理由见解析
【分析】由一圆盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，利用概率公式即可求得“是奇数”或“是偶数”，“是3的倍数”或“不是3的倍数”，“是大于4的数”或“是不大于4的数”的概率．
【详解】解：选第2种猜数方法．
理由：P（是奇数）=0.5，P（是偶数）=0.5；
P（是3的倍数）=0.3，P（不是3的倍数）=0.7；
P（是大于4的数）=0.6，P（不是大于4的数）=0.4．
∵P（不是3的倍数）最大，
∴选第2种猜数方法，并猜转盘转得的结果不是3的倍数．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
30．某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为、、，并且设置了相应的垃圾箱，分别贴上“厨余垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”，分别记为，，．
（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表的方法求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共10吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
3 0.8 1.2
0.24 0.3 2.46
0.32 0.28 1.4
试估计“可回收垃圾”投放正确的概率．
（3）该小区所在城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算其中“可回收垃圾”每天投放正确的有多少吨？
【答案】（1）；（2）；（3）15吨
【分析】（1）画出树状图表示出所有可能的结果，并找出符合题意的结果，再利用概率公式计算即可．
（2）利用投放正确的“可回收垃圾”重量除以“可回收垃圾”总重量即可．
（3）先求出该小区所在城市每天大约产生生活垃圾中可回收垃圾的数量，再乘以“可回收垃圾”投放正确的概率即可．
【详解】解：（1）树状图如图，
由树状图可知垃圾投放共有9种等可能情况，其中正确的有3种为：，，，
故垃圾投放正确的概率为．
（2）“可回收垃圾”投放正确的概率为．
（3）（吨）．
【点评】本题考查利用列表或画树状图法求概率，简单的概率计算，由样本估计总体．正确的列出表格或画出树状图以及熟记概率公式是解答本题的关键．
31．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有______人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为______；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有3600人在使用手机：
①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是______．
【答案】（1）2000；144°；（2）见解析；（3）①1440人；②
【分析】（1）根据喜欢用电话沟通的人数和百分比求得总人数，根据总数求得，使用“微信”的人数，继而求得百分比，用百分比乘以360度即可求得圆心角的度数；
（2）根据（1）中的数据补全条形统计图即可；
（3）①由（1）中的使用微信的百分比乘以全校人数即可；②求得样本中的使用“QQ”的频率，即可用频率估计概率，即可解决问题
【详解】（1）∵喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了（人），
2000×5％=100（人），
（人），
表示“微信”的扇形圆心角的度数为：
，
故答案为：2000；144°；
（2）短信人数为（人），
微信人数为：
（人），
如图：
（3）①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在该校使用手机的3600人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有：
（人），
∴在该校3600人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有1440人；
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，
其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
在参与这次调查的人中随机抽取一人，
抽取的恰好使用“QQ”的频率是．
所以，用频率估计概率，在该校使用手机的人中随机抽取一人，
抽取的恰好使用“QQ”的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，用频率估计概率，从统计图中获取信息是解题的关键．
32．国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 睡眠时间分组 频数 频率
4 0.08
8 0.16
10
21 0.42
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，________，________；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【答案】（1）0.2,7；（2）；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【分析】（1）按照频率=进行求解，根据组别的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再按照公式频率=进行求解，即可得到，的值；
（2）根据（1）中所求得的的值，即可得到其在扇形中的百分比，此题得解；
（3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议．
【详解】（1）根据组别，本次调查的总体数量=，
∴组别的频率=，
∴组别的频数=频率×总体数量，
∴，；
（2）∵（1）中求得的值为0.2，
∴其在扇形中的度数；
（3）组别和的频率和为：，
∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数（人）；
（4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率=，解答本题的关键是掌握频率、频数和总体数量的关系．
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25.2.3：用频率估计概率--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．在一个不透明的盒子中装有若干个黑球和白球，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则摸到白球的概率约为（ ）
A．0.8 B．0.3 C．0.2 D．0.5
2．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（ ）粒．
A． B． C． D．
3．某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.2附近，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（ ）
A．90° B．72° C．60° D．45°
4．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A． B． C． D．
5．数学兴趣小组在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面向上的概率
B．抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率
C．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率
D．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率
6．下表是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数 96 282 382 570 948 1904 2850
发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950
对于下列推断：
①当为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验大豆粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；
③若大豆粒数为4000，可以估计大豆发芽的粒数大约为3800粒；
④通过表格中的试验数据可以确定，若试验大豆为2500粒，则大豆发芽的概率是0.951．
正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干枚（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
黑棋数 1 3 2 0 3 2 1 4 3 1
根据以上数据，估计袋中的白棋子数量大约为（ ）
A．60枚 B．50枚 C．40枚 D．30枚
二、填空题
8．当事件涉及的对象比较单一，且出现的等可能结果数目较少时，可以用直接___________法求概率．
9．当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，可以用_____法求概率．
10．当一次试验涉及两个或更多个因素时，可以用______法求概率．
11．所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时，事件发生的次数与__________的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变． 而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数________ ．
从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个_____附近，具有______性，即试验频率稳定于其理论概率．
12．一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率．
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______．
13．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．
14．某鱼塘里养了200条鲤鱼若干条草鱼和150条罗非鱼，该鱼塘主人通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5附近若该鱼塘主人随机在鱼塘捕捞-条鱼，则估计捞到鲤鱼的概率为________.
15．有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是______.
石块的面 1 2 3 4 5
频数 17 28 15 16 24
16．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是_____.
17．箱子内有m个除颜色外其他完全相同的球，若这m个球中白球有6个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个再放回去，通过大量重复实验发现摸出白球的频率稳定在20%，则推算m大约是：___．
18．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为________．
19．下列说法：①如果下周一降雨的概率是，那么下周一有的时间降雨；②如果彩票中奖的概率是，那么买100张彩票一定会中奖；③抛一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是0.5，如果大量重复抛这个骰子，那么平均每抛2次就有1次向上一面的点数为奇数；④小王做掷图钉实验，他将一枚图钉掷了10次，其中8次钉尖朝上，则掷该图钉一次钉尖朝上的概率是0.8．其中正确的序号是__________．
20．在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀．在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则袋子中一共有球____________个．
三、解答题
21．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253
（1）补全上表中的有关数据 ；
（2）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（精确到0.01）
（3）估算袋中白球的个数．
22．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 16 14 25 20 12 13
（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
（2）小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？
（3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
23．小覃和小莫两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验的结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 12 19 15 18 20 x
（1）求表格中x的值．
（2）计算“3点朝上”的频率．
（3）小覃说：“根据实验，一次实验中出现1点朝上的概率是12%”：小覃的这一说法正确吗？
（4）小莫说：“如果掷6000次，那么出现5点朝上的次数大概是1500次左右．”小莫的这一说法正确吗？为什么？
24．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的小球共20只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回袋里，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：表
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数n 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到0.1）
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率 ，摸到黑球的概率 ．
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
25．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小明做摸球实验，搅匀后，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 70 124 190 325 538 670 2004
摸到白球的频率 0.70 a 0.633 0.65 0.6725 0.670 0.668
（1）在表中：______；
（2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到0.01）
（3）试估算盒子里有______只黑球．
26．下表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数 200 500 1000 1500 2000 3000
合格品数 188 471 946 1425 1898 2850
合格品频率 0.94 0.942 0.946 0.95
（1）求表中、的值；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率约是多少？（精确到0.01）
27．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 15 14 25 20 13 13
（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
（2）小明说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？
（3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
28．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个．
（1）先从袋子中取出个红球（且为正整数），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．
①若事件为必然事件，则的值为______；
②若事件为随机事件，则的值为______．
（2）先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黄球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个黄球的频率在附近摆动，求的值．
29．一圆盘被平均分成等份，分别标有这个数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止，指针指向的数字即为转出的数字，现有两人参与游戏，一人转动转盘另一人猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则猜数的获胜，否则转动转盘的人获胜，猜数的方法从下面三种中选一种：
（1）猜“是奇数”或“是偶数”；
（2）猜“是的倍数”或“不是的倍数”；
（3）猜“是大于的数”或“是不大于的数”．若你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，应选第几种猜数方法？并请你用数学知识说明理由．
30．某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为、、，并且设置了相应的垃圾箱，分别贴上“厨余垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”，分别记为，，．
（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表的方法求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共10吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
3 0.8 1.2
0.24 0.3 2.46
0.32 0.28 1.4
试估计“可回收垃圾”投放正确的概率．
（3）该小区所在城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算其中“可回收垃圾”每天投放正确的有多少吨？
31．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有______人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为______；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有3600人在使用手机：
①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是______．
32．国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 睡眠时间分组 频数 频率
4 0.08
8 0.16
10
21 0.42
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，________，________；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
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