24.1.2垂直于弦的直径 课件 人教版初中数学九年级上册（共19张ppt）

(共19张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径
第二十四章 圆
人教版九年级上册
1．探索并理解圆的对称性和垂径定理及其推论；
2. 会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的计算或证明问题；
目
标
学
习
学
思考一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ （自主学习 动手操作）
思考二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E ，你能找出图中相等的量吗？你通过什么样的方式得到结论？
·
O
B
A
E
C
D
自
活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，
任何一条直径所在的直线都是对称轴。
教学过程
作
探
合
究
交
流
小组交流：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E ，你能找出图中相等的量吗？你通过什么样的方式得到结论？
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
·
O
A
B
C
D
E
2.几何符号:
1.文字语言:
(1)条件 (2)结论
垂径定理的逆命题是真命题吗？作图试试？
③AE=BE,
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⑤ .
④ ,
验
证
验
证
垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
2.几何符号:
1.文字语言:
(1)条件 (2)结论
·
O
B
A
E
C
D
②CD⊥AB,
由 ① CD是直径
③ AE=BE
④ ,
⑤ ,
可推得
垂径定理
B
A
O
C
D
E
垂直于弦的直径
平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
问题：此定理的条件和结论分别是什么？
题设
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
（1）过圆心
总结归纳
O
讨论
(1)过圆心 (2)垂直于弦
(3)平分弦 (4)平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧
1.若知道“过圆心”和“平分弦”，
你是否能得到另外三个结论？
思考：
2.若知道“垂直于弦”和“平分弦”，
你能得到另外三个结论吗？
O
推论 过圆心平分非直径的弦的直线
垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
例 ： 如图，在⊙O中，弦AB的长为2 cm，圆心O到AB的距离为1cm，求⊙O的半径．
A
B
.
O
E
1
2
在⊙ O中,
若⊙ O的半径、圆心到弦的距离、弦长中,
任意知道两个量，可根据　　定理求出第三个量.
勾股
总结：
弦心距2+半弦2=半径2
弦心距
半径
半弦
解
题
例
析
例 ： 如图，在⊙O中，弦AB的长为2 cm，圆心O到AB的距离为1cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为2cm.
在Rt△AOE中
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
　②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　
　必平分此弦所对的弧
辨
别
例1：如图所示，在⊙O中，OC⊥AB于C，
OA=2cm，OC=1cm，求弦AB的长。
解题方法总结：
1、见半弦、半径、弦心距三者构造直角三角形来解决;
2、常用辅助线：过圆心作弦的垂线（弦心距）。
练
习
变式练习：
变式 1 在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O 的半径为
变式2 AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，CD=1， 则弦AB的长
变式3 ⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .
练
习
例2：如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？
练
习
解：连接OA
∵CD⊥AB，且CD过圆心O，
∴AD＝ AB＝1米，∠CDA＝90°
在Rt△OAD中，设⊙O的半径为R，则
OA＝ OC＝R，OD＝5－R.
由勾股定理，得：OA2＝AD2＋OD2，即
R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.
故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．
小
结
说说本节课自己的收获
垂径定理：
垂径定理的推论：　　
①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．
②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—（结合）勾股定理—建立方程．
1．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5，则CD的长为
2．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为 ．
3．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径长为
5．如图，⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
.
当
检
4．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．
堂
测
6、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C。测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为多少cm？
解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∴设半径为r，则OD=r-10，
根据题意得：
解得：r=50。
r2=（r-10）2+302
谢 谢