(共13张PPT)
3. 圆周角和圆心角的关系
(1)圆周角定理
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
圆周角
在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
读一读
1
圆周角 顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
●O
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
圆周角也可以看作两条有公共端点的弦所夹的角.
问题1、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，那么你发现了些什么结论？
A
C
O
B
图2
师生合作
1
1
师生合作
1
1
师生合作
1
1
师生合作
1
2
定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角
A
C
O
B
图2
11
1
2
证明：连接OC. AB是⊙O的直径，
OA=OB=OC
∴∠A=∠1,
∠2=∠B.
∴∠ACB= ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B ，
∵△ABC中，∠ACB+∠A + ∠B=180°
∴2∠ACB =180 °
∴∠ACB =90 °
它的逆命题
也成立吗？
师生合作
1
1
师生合作
1
1
师生合作
1
1
师生合作
1
3
逆定理：90°的圆周角所对的弦是直径。
A
C
O
B
已知：A,B,C是⊙O上任一点,
求证：AB是⊙O的直径
∠ACB =90 °
你自己可以证明出来吗吗？
师生合作
1
1
师生合作
1
1
师生合作
1
1
师生合作
1
4
●O
A
B
C
回顾与复习
1
1
回顾与复习
1
1
例题赏析
1
5
如图， AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，CD⊥AB，垂足为D，图中有哪些成比例线段？
△ACD∽ △CBD ∽ △ABC
●O
A
B
C
D
回顾与复习
1
1
回顾与复习
1
1
挑战自我
1
6
补充例题
例2、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：AB · AC = AE · AD
A
O
B
C
D
E
分析：要证AB · AC = AE · AD
△ADC∽ △ABE
或△ACE∽ △ADB
题后思：1、证明题的思路寻找方法；
2、等积式的证明方法；
3、辅助线的思考方法。
回顾与复习
1
1
回顾与复习
1
1
例题赏析
1
7
A
B
C
D
O
E
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，那么你能得到什么结论？
结论：
（1）AE = BE，AC = BC，AD = BD
（2）AC = BC，∠CAB = ∠ABC = ∠D，
∠ACE =∠BCE =∠DAB
（3）BC2 = AC2 = CE · CD，AD2 = DE · DC
BE2 = AE2 = DE · CE
师生合作
1
1
师生合作
1
1
师生合作
1
1
讨论思考
1
8
回顾与复习
1
1
回顾与复习
1
1
自我练习
1
9
小结与作业
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、证明等积式的一般思路你掌握了吗？
课后作业（完成时间：25分钟）：
练习题T3 习题4.3：T1,T2
结束寄语
盛年不重来,一日难再晨,及时宜自勉,岁月不待人.
下课了!(共15张PPT)
5.直线和圆的位置关系(2)
切线及切线性质定理
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
直线和圆相交
复习回顾
1
d r;
d r;
直线和圆相切
直线和圆相离
d r;
直线与圆的位置关系量化揭密
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
<
=
>
直线何时变为切线
如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时,
你能写出一个命题来表述这个事实吗
议一议
2
1.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化 直线CD与⊙O的位置关系如何变化
2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径 此时,直线CD与⊙O有的位置关系 有为什么
B
●O
A
C
D
┓
d
α
┏
d
α
d
┓
切线的判定定理
定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
老师提示:
切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.
议一议
3
C
D
B
●O
A
如图
∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A点,且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
切线判定定理的应用
1.已知⊙O上有一点A,你能过点A点作出⊙O的切线吗
做一做
4
老师提示:
根据“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”只要连接OA,过点A作OA的垂线即可.
●O
● A
┑
2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗
●O
● P
┓
┓
┓
┓
┓
探索切线性质
如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系 说说你的理由.
直径AB垂直于直线CD.
议一议
5
驶向胜利的彼岸
老师期望:
圆的对称性已经在你心中落地生根.
小颖的理由是:
∵右图是轴对称图形,AB是对称轴,
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因此,∠BAC=∠BAD=90°.
C
D
B
●O
A
探索切线性质
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
议一议
6
驶向胜利的彼岸
老师期望:
你能看明白(或掌握)用反证法说理的过程.
则OMC
D
B
●O
A
所以AB与CD垂直.
M
切线的性质定理
参考小颖和小亮的说理过程,请你写出这个命题
定理 圆切直线垂直于过切点的半径.
议一议
7
驶向胜利彼岸
老师提示:
切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.
如图
∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,∴CD⊥OA.
C
D
B
●O
A
切线的性质定理的应用
例题欣赏
8
切线的性质定理的应用
1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取值范围..
随堂练习
9
2.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少 .
老师提示:硬币滚动一圈,圆心经过的路经是与直线平行的一条线段,其长度等于圆的周长.
r
B
C
●O
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
驶向胜利的彼岸
挑战自我
1.已知:如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切线,A,B是切点.请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系 并证明你的结论.
补充作业
10
2.由1所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论 如果有,仍请你予以证明.
老师提示:根据这个结论写出的命题称为切线长定理及其推论.
A
B
P
●O
挑战自我
习题4.4 3-5题
祝你成功!
独立作业
11
驶向胜利的彼岸
结束寄语
具有丰富知识和经验的人，比只须一种知识和经验更容易产生新的联想和独到的见解。
下课了!(共17张PPT)
第四章 圆的综合复习
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
确定圆的方法:
A
B
O
1、确定圆心和半径
2、不在同一直线上的三个点
C
1、圆的定义：
圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
圆的有关概念：
弦 直径 弧 半圆 优弧 劣弧
弓形 同心圆 等圆 等弧
P
C
P
O
性质1：（圆半径的不变性）得出：
点与圆的位置关系
(1)点P在⊙O上
(2)点P在⊙O内
(3)点P在⊙O外
OP=r
OPOP>r
2、 点与圆的位置关系
返回
3、三角形与圆的位置关系
这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
A
B
C
●
I
A
三角形的外接圆
圆的内接三角形
三角形的外心
B
C
Ｄ
Ｃ
4、垂径定理及推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｅ
分 解 成 5点
经过圆心
垂直于弦
平分弦
平分优弧
平分劣弧
推论1： 满足2个得到3个
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等
5、圆心角、圆心角所对的弦、弧及弦心距之间的关系
A
B
定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等， 所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等
推论： 在同圆或等圆中，如果 两个圆心角 ，两条弧， 两条弦，两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都相等
6、圆周角定理
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
C1
A
B
C2
C3
半圆（或直径）所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径。
A
C
O
B
7、直线和圆的三种位置关系：
P
l
(1)直线 l 和⊙O相交
(2)直线 l 和⊙O相切
(3)直线 l 和⊙O相离
OP=r
OPOP>r
O
O
O
l
l
P
P
8、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线
O
A
∵OA是半径，l⊥OA
∴直线 l 是⊙O的半径
9、切线的性质定理推论:
O
l
A
垂直于切线的直线：
(1)过圆心必过切点
(2)过切点必过圆心
已知条件为：切线和垂直于切线的直线
10、圆与圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
0
1
2
1
0
d>R+r
d=R+r
R-rd=R-r
0 ≤ d公共点
圆心距和半径的关系
两圆位置
一圆在另一
圆的外部
一圆在另一
圆的外部
两圆相交
一圆在另一
圆的内部
一圆在另一
圆的内部
名称
驶向胜利彼岸
如图：AC=12cm,BC=5cm,求：CD、BD
O
A
D
C
B
如图：⊙O是RtABC的内切圆，且AB=6，AC=8，BC=10。求⊙O的半径。
A
C
O
E
F
B
D
C
结束寄语
不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.
下课了!(共20张PPT)
圆
与
圆
的 位 置 关 系
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
奥运会会徽
日全食
按钮
活动 一
活动 二
1、亲自动手实验
实验步骤与目的:
在两张透明纸上画出两个半径不同的圆，把两张纸叠合在一起，固定其中一张
而移动另一张，请观察圆与圆有几种位置关系？你能画出几种不同的位置关系
吗？每种位置关系中两圆有多少公共点？
2、演示圆与圆相对运动
驶向胜利彼岸
外离
驶向胜利彼岸
外切
演示---
切点
驶向胜利彼岸
相交
交点
驶向胜利彼岸
内切
切点
驶向胜利彼岸
内含
驶向胜利彼岸
同心圆
驶向胜利彼岸
相 离
相 切
相 交
外离
内含
外切
内切
你能再举出一些表示生活中两圆不同的位置关系实例吗？
活动三
活动四
定理探索
演示
发现规律
1、两圆的位置关系与半径和差有关
R-r
内切
R+r
外切
口决：和差切，交中间，内含外离在两边
内含
相交
外离
驶向胜利彼岸
1、⊙01和⊙02的半径分别为3cm和4cm,设
(1) 0102=8cm (2) 0102=7cm
(3) 0102=5cm (4) 0102=1cm
(5) 0102=0.5cm (6) 01和02重合
⊙0和⊙02的位置关系怎样
练习
(2)两圆外切
(3)两圆相交
(4)两圆内切
(5)两圆内含
(6)两圆同心
答: (1)两圆相离
例1:如图⊙O的半径为4cm，点P是⊙O外一点,OP=6cm
求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P 的半径是多少
(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少
解：(1)设⊙O与⊙P外切
于点A，则 PA=OP-OA
∴ PA=2 cm
(2)设⊙O与⊙P内切
于点B，则 PB=OP+OB
∴ PB=10 cm.
0
P
A
B
.
.
请看课本：以P为圆心作⊙P与⊙O相切？
定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm,
(1) 设⊙ P和⊙ 0相外切,那么点P与点O的距离
是多少 点P可以在什么样的线上运动
(2) 设⊙ P 和 ⊙O 相内切,情况又怎样
(1) 解:∵⊙0和⊙P相外切
∴OP＝ R + r
∴OP=5cm
∴ P点在以O点为圆心,以5cm
为半径的圆上运动
讨论思考
(2) 解: ∵⊙0和⊙P相内切
∴ OP=R-r
∴OP=3cm
∴ P点在以O点为圆心,以3cm
为半径的圆上运动
课堂小结
外离
外切
相交
内切
内含
0
1
2
1
0
d>R+r
d=R+r
R-rd=R-r
0 ≤ d公共点
圆心距和半径的关系
两圆位置
一圆在另一
圆的外部
一圆在另一
圆的外部
两圆相交
一圆在另一
圆的内部
一圆在另一
圆的内部
名称
驶向胜利彼岸
布置作业
1、将例题增加一问：以点P为圆心，作圆P与圆O外离，相交或内含，圆P的半径各是多少？
2、将讨论作变式训练： ⊙O1半径为2，⊙O2半径为1，如果⊙O1固定，⊙O2 绕⊙O1滚动一周，且⊙O2不停自转，当⊙O2回到原来位置,⊙O2转了几周？
驶向胜利彼岸
驶向胜利彼岸(共18张PPT)
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
4.1圆的对称性-垂径定理
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
想一想
1
驶向胜利的彼岸
如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
●O
你是用什么方法解决上述问题的
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么 你能找到多少条对称轴？
你又是用什么方法解决这个问题的
圆的对称性
圆是轴对称图形.
想一想
2
驶向胜利的彼岸
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个问题.
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆 (如 弧ABC).
读一读
3
驶向胜利的彼岸
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
●O
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
AB
⌒
以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”.
AB
⌒
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).
⌒
AmB
大于半圆的弧叫做优弧,如记作
(用三个字母).
A
B
C
⌒
m
D
③AM=BM,
垂径定理
AB是⊙O的一条弦.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
做一做
4
驶向胜利的彼岸
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
●O
右图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
小明发现图中有:
A
B
C
D
M└
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
做一做
5
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想
6
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
②CD⊥AB,
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
做一做
7
驶向胜利的彼岸
过点M作直径CD.
●O
右图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
小明发现图中有:
C
D
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
┗
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
你可以写出相应的命题吗
相信自己是最棒的!
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
想一想
8
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●O
A
B
C
D
M└
垂径定理及逆定理
想一想
9
条件 结论 命题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
试一试
10
驶向胜利的彼岸
挑战自我 画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
试一试
11
驶向胜利的彼岸
挑战自我 填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
试一试
12
驶向胜利的彼岸
挑战自我画一画
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
试一试
13
驶向胜利的彼岸
挑战自我画一画
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
试一试
14
驶向胜利的彼岸
挑战自我画一画
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
·
A
B
C
D
0
E
F
G
H
挑战自我
习题4.1 1-2题
祝你成功!
独立作业
15
驶向胜利的彼岸
结束寄语
不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.
下课了!(共14张PPT)
5.直线和圆的位置关系(1)
切线及切线性质定理
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
直线与圆的位置关系
1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的
你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
议一议
1
驶向胜利的彼岸
a(地平线)
a(地平线)
●O
●O
●O
直线与圆的位置关系
2.观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的
你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
议一议
2
a(地平线)
a(地平线)
●O
●O
●O
驶向胜利彼岸
驶向胜利彼岸
直线与圆的位置关系
作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,
议一议
3
直线和圆有哪几种位置关系
●O
●O
有三种位置关系:
相交
直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.
●O
相切
相离
练习1
１、直线与圆最多有两个公共
点 。…………………（ ）
２、若直线与圆相交，则直线上的
点都在圆内。… … … …( )
√
×
判断
.A
.B
.C
.O
.O
m
驶向胜利彼岸
随堂
练习
1
1
随堂
练习
1
1
随堂
练习
4
3 、若A、B是⊙O外两点， 则直线AB
与⊙O相离。… … … … …( )
4 、若C为⊙O内与O点不重合的一点，
则直线CO与⊙O相交。（ ）
√
×
.C
.O
想一想？
若C为⊙O内的一点，A为任意一点，
则直线AC与⊙O一定相交。是否正确？
.A
.B
.O
.C
驶向胜利彼岸
随堂
练习
1
1
随堂
练习
1
1
随堂
练习
5
如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系
想一想
6
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗
●O
●O
相交
●O
相切
相离
直线与圆的位置关系量化揭密
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
直线和圆相交
想一想
7
d r;
d r;
直线和圆相切
直线和圆相离
d r;
直线与圆的位置关系量化揭密
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
<
=
>
例题欣赏
8
驶向胜利彼岸
1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.
例题欣赏
10
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切
A
C
B
┐
D
┛
(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系
挑战自我
习题4.4 1-2题
祝你成功!
独立作业
11
驶向胜利的彼岸
结束寄语
具有丰富知识和经验的人，比只须一种知识和经验更容易产生新的联想和独到的见解。
下课了!(共15张PPT)
3. 圆周角和圆心角的关系
(2)圆周角定理
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
圆周角
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
想一想
1
驶向胜利的彼岸
●O
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
D
E
D
E
圆周角 顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
想一想
2
驶向胜利的彼岸
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.
●O
●O
●O
A
B
C
A
B
C
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
说说你的想法,并与同伴交流.
议一议
3
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
议一议
4
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
老师期望:你可要理解并掌握这个模型.
圆周角和圆心角的关系
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
议一议
5
老师提示:能否转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A
B
C
D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
圆周角和圆心角的关系
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
议一议
6
老师提示:能否也转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
A
B
C
圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
议一议
7
驶向胜利的彼岸
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
驶向胜利的彼岸
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
随堂练习
8
●O
B
A
C
解: ∠A = ∠BOC = 25°.
2.如图(2),在⊙O中,∠BAC=50°,
求∠C的大小.
A
●O
C
B
D
驶向胜利的彼岸
拓展 化心动为行动
猜一猜
9
1.如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系 为什么
2.想一想，等圆中也有这样的结论吗？
●O
B
A
C
D
E
同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
驶向胜利的彼岸
挑战自我
习题4.3 3-5题
祝你成功!
独立作业
10
驶向胜利的彼岸
驶向胜利的彼岸
结束寄语
要养成用数学的语言去说明道理,用数学的思维去解读世界的习惯.
下课了!(共14张PPT)
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
4.1圆的对称性-垂径定理应用
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想
6
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
垂径定理的应用
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
想一想
2
驶向胜利的彼岸
解:连接OC.
●
O
C
D
E
F
┗
老师提示:
注意闪烁的三角形的特点.
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
随堂练习
3
驶向胜利的彼岸
你是第一个告诉同学解题方法和结果的吗？
赵州石拱桥
随堂练习
4
驶向胜利的彼岸
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
R
D
37.4
7.2
船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
相信自己能独立完成解答.
做一做
5
驶向胜利的彼岸
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
做一做
6
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
垂径定理三角形
在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
想一想
7
⑴d + h = r
⑵
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
做一做
8
驶向胜利的彼岸
E
D
┌
600
垂径定理的逆应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
想一想
9
驶向胜利的彼岸
B
A
O
600
650
D
C
挑战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.
随堂练习
10
驶向胜利的彼岸
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
⑵
挑战自我
习题4.1 3-4题
祝你成功!
独立作业
11
驶向胜利的彼岸
结束寄语
形成天才的决定因素应该是勤奋.
下课了!(共12张PPT)
2. 圆的对称性(3)
圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
圆的对称性及特性
圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
想一想
2
驶向胜利的彼岸
圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法可以得到:
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
●O
A′
B′
圆心角
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB).
弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD).
如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.
想一想
2
驶向胜利的彼岸
你能发现那些等量关系 说一说你的理由.
●O
●O
A
B
┓
D
●O
A
B
┓
D
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
┓
D
┓
D
┓
D
┓
D
┓
D
┓
D′
A′
B′
┓
D′
圆心角
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.
想一想
3
驶向胜利的彼岸
●O
A′
B′
●O′
A
B
你又能发现那些等量关系 说一说你的理由.
●O
A′
B′
●O′
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
┓
D′
┓
D′
┓
D′
┓
D′
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
议一议
4
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
由条件:
①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒ ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
驶向胜利的彼岸
拓展与深化
在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件:
①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论 与同伴交流你的想法和理由.
猜一猜
5
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
如由条件:
②AB=A′B′
⌒ ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
推论
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
猜一猜
6
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
如由条件:
②AB=A′B′
⌒ ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
化心动为行动
1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
随堂练习
7
驶向胜利的彼岸
2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条件的图案:
(1)是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)即是轴对称图形又是中心对称图形.
3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关,试举几例.
⌒
AB
挑战自我
习题4.1 5-7题
祝你成功!
独立作业
11
驶向胜利的彼岸
结束寄语
你做成功一件事,千万不要等待着享受荣誉,应该再做那些需要做的事.
下课了!(共11张PPT)
4.5 三角形的内切圆
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切
做一做
1
老师提示:
假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离
三角形与圆的位置关系
A
B
C
A
B
C
┓
┗
┗
┓
I●
●
●
●
●
┓
┗
┗
┓
┗
┗
┓
┗
┗
I●
┓
●
这样的圆可以作出几个 为什么 .
想一想
2
∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么 ),
∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
三角形与圆的位置关系
A
B
C
I●
┓
●
E
F
三角形与圆的位置关系
这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
议一议
3
老师提示:
多边形的边与圆的位置关系称为切.
A
B
C
●
I
例题赏析
4
如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心,求∠BIC的度数
老师提示：若点I是外心呢？
挑战自我
5
1，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆
半径为r，你会求△ABC的面积吗？
2，已知Rt△ABC的两直角边分别为a，b，你会求它的
内切圆半径吗？
A
B
C
I●
┓
●
E
F
C
A
B
┐
●
四边形与圆的位置关系
如果四边形的四条边都与一个圆相切,这圆叫做四边形的内切圆.这个四边形叫做圆的外切四边形.
读一读
6
我们可以证明圆外切四边的一个重要性质:
1.圆外切四边形两组对边的和相等.
●O
A
B
C
D
三角形与圆的“切”关系
1.以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少 .
随堂练习
7
2.分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况
老师提示:
先确定圆心和半径,尺规作图要保留作图痕迹.
A
B
C
A
B
C
●
C
A
B
┐
●
●
挑战自我
习题4.5 1-3题
祝你成功!
独立作业
8
驶向胜利的彼岸
结束寄语
浪费别人的时间无异于图财害命,浪费自己的时间就等于慢性自杀.
下课了!(共17张PPT)
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
4.7弧长及扇形面积的计算
探索面积公式
设一圆的为⊙O，半径为r。
圆面积为多少
圆周角为360°，则1°的圆心角所对的扇形面积为多少？
n°的圆心角所对的扇形面积为多少
试一试
1
如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形的面积的计算公式为: S扇=______。
R
试一试
2
例1:
扇形AOB的半径为30cm,∠AOB=120°，
1、求弧AB的长(结果精确到0.1cm)
2、扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
例题赏析
3
例题赏析
4
n°
l
O
比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式,你能用弧长来表示扇形的面积吗
探索弧长与扇形面积的关系
S
r
探索发现
5
例3：在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大
（2）如果这只够只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大
例题赏析
6
挑战自我 7
练习1:扇形的面积是S,它的半径是r,求这个扇形的弧长.
练习2:如图,在同心圆中,两圆半径分别为2, 1,∠AOB=120°,求阴影部分的面积.
A
B
O
120°
练一练
8
B
C
A
练习3:⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交,且半径都是1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多少 弧长的和为多少
练一练
9
B
C
A
D
练习6:⊙A, ⊙B, ⊙C, ⊙D两两不相交,且半径都是1cm,则图中的四个扇形的面积之和为多少 弧长的和为多少
练一练
10
练习7:⊙A, ⊙B, ⊙C, ⊙D ,⊙E两两不相交,且半径都是1cm,则图中的五个扇形的面积之和为多少 弧长的和为多少
B
C
A
D
E
若象这样的n个圆呢？
练一练
11
挑战自我
习题4.7 3-2题
祝你成功!
独立作业
12
驶向胜利的彼岸
结束寄语
形成天才的决定因素应该是勤奋.
下课了!(共13张PPT)
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
4.7弧长及扇形面积的计算
某圆拱桥的半径是30m，桥拱 所对的圆心角
∠AOB=90°，你会求桥拱 的长度吗？
AB
⌒
AB
⌒
小亮想的对吗？
想一想
1
把圆周等分成360份，每一份的弧叫做1°的弧；1°的弧所对的圆心角叫做1°的角。
课前准备
2
探索弧长公式
设一圆为⊙O，半径为r。
圆周长为多少
圆周角为360°，则1°的圆心角所对的弧长为多少？
n°的圆心角所对的弧长为多少
试一试
3
在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为: l =________。
例题赏析
4
驶向胜利的彼岸
求弧长，你会了吗？
练一练
5
驶向胜利的彼岸
练习1:如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,求扇形的半径.
O
A
B
练习2:如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm, 求这个扇形的周长.
O
A
B
练一练
6
挑战自我
习题4.7 1-2题
祝你成功!
独立作业
7
驶向胜利的彼岸
结束寄语
形成天才的决定因素应该是勤奋.
下课了!
补充：
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米
2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米
3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米
补充：
制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即弧AB的长.(共15张PPT)
4. 确定圆的条件(1)
三点定圆
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
确定圆的条件
类比确定直线的条件:
经过一点可以作无数条直线；
读一读
2
驶向胜利的彼岸
经过两点只能作一条直线.
●A
●A
●B
驶向胜利的彼岸
确定圆的条件
想一想,经过一点可以作几个圆 经过两点,三点,…,呢？
猜一猜
3
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆
●O
●A
●O
●O
●O
●O
2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆
●A
●B
●O
●O
●O
●O
确定圆的条件
2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
读一读
4
驶向胜利的彼岸
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的分布有什么特点 与线段AB有什么关系？
●A
●B
●O
●O
●O
●O
确定圆的条件
3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上),你能作出几个这样的圆
想一想
5
驶向胜利的彼岸
老师提示:
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的位置有什么特点 与A,B,C有什么关系？
┓
●B
●C
经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
┏
●A
经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置.
●O
确定圆的条件
请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).
以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可.
想一想
6
驶向胜利的彼岸
请你证明你做得圆符合要求.
●B
●C
●A
●O
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
∴⊙O就是所求作的圆,
┓
E
D
┏
G
F
∴OA=OB.
同理,OB=OC.
∴OA=OB=OC.
∴点A,B,C在以O为圆心的圆上.
这样的圆可以作出几个 为什么 .
三点定圆
定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆.
在上面的作图过程中.
议一议
7
驶向胜利的彼岸
老师期望:
将这个结论及其证明作为一种模型对待.
∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.
●B
●C
●A
●O
┓
E
D
┏
G
F
三角形与圆的位置关系
因此,三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接三角形.
做一做
8
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心.
老师提示:
多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
●O
A
B
C
四边形与圆的位置关系
如果四边形的四个顶点在一个圆,这圆叫做四边形的外接圆.这个四边形叫做圆的内接四边形.
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9
我们可以证明圆内接四边的两个重要性质:
1.圆内接四边形对角互补.
2.圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角.
3.对角互补的四边形内接于圆.
●O
A
B
C
D
D
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ ∠BAD等于弧BCD所对圆心角的一半,∠BCD等于弧BAD所对圆心角的一半.
而弧BCD所对的圆心角+弧BAD所对的圆心角=360°，
∴∠BAD＋∠BCD＝
180°.
同理∠ABC＋∠ADC＝180°.
圆内接四边形的对角互补.
四边形与圆的位置关系
C
O
B
A
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10
如果延长BC到E，那么
∠DCE＋∠BCD ＝
180°.
∴∠A＝∠DCE.
又 ∵∠A ＋∠BCD＝ 180°，
C
O
D
B
A
E
课外阅读
11
四边形与圆的位置关系
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角,我们把∠A叫做∠DCE的内对角.
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
三角形与圆的位置关系
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况
随堂练习
12
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
挑战自我
习题4.2 1-3题
祝你成功!
独立作业
13
驶向胜利的彼岸
结束寄语
盛年不重来,一日难再晨,及时宜自勉,岁月不待人.
下课了!
